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14.3.1　提公因式法
学习目标
1.了解因式分解的概念;
2.了解公因式的概念,能用提公因式法进行因式分解.
学习策略
1.结合整式乘法理解因式分解的意义；
2.牢记确定公因式的方法.
学习过程
一.复习回顾：
1.我们学过的乘法公式：平方差公式和完全平方公式；用字母表示分别为：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２；（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２
2.填空：
（1）2（x＋3）＝_________________；
（2）x2（3＋x）＝______________；
（3）m（a＋b＋c）＝_______________.
二.新课学习：
知识点一：因式分解的意义
1.(1)x(x+1)= 　　 ；(2)(x+1)(x-1)=　 　.
【答案】x2+x；x2-1
2.若把第1题中(1)(2)两题反过来，写出其等式：　 　.
【答案】x2+x=x(x+1)；x2-1=(x+1)(x-1)
3.观察第2题中两个等式，你能说说它们的特征吗
【答案】能.特征：(1)等号左边是多项式；(2)等号右边是整式的积.
4.把一个　 　化成几个　 　的　 　的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式　 　.
【答案】多项式；整式；积；分解因式
知识点二：公因式的确定
1.多项式各项都含有的　 　的因式叫做这个多项式的公因式.
【答案】公共
2.怎样确定一个多项式的公因式.
【答案】当各项因式的系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数最低的，简称为“系数取最大，同字母取最低”.
3.根据上述方法确定多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是 .
【答案】5m2n 各项系数的最大公约数是5，各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以它的公因式是5m2n.
知识点三：利用提公因式法分解因式
提公因式法的一般步骤：首先 公因式，然后 公因式，再用　 　，确定另一个因式.
【答案】确定；提取；多项式除以公因式
三.尝试应用：
例1.根据因式分解的定义判断下列各式从左到右的变形是否是因式分解.
(1)(a+b)(a-b)=a2-b2； (2)3x3-6x2-3x=3x(x2-2x-1)；
(3)m3-m2-m=m(m2-m)； (4)x2+2x-3=x(x+2)-3.
【答案】(1)不是.本题是整式乘法的运算.
(2)是.本题是把多项式化成乘积形式，用单项式乘以多项式的性质计算，等式右边结果与左边相等，所以是因式分解
(3)不是.经计算等式不成立.
(4)不是.等式右边不是因式乘积形式.
例2. 27m2n-9mn2+18mn各项系数绝对值的最大公因数是9，公因式的系数就是 ；各项都含有字母m，n，所以公因式的字母是 ； 27m2n-9mn2+18mn中字母m，n的最小指数均为 ，所以27m2n-9mn2+18mn的公因式为 .
【答案】9；m；n；1；9mn
例3将下列多项式分解因式:
（1）8a3b2+12ab3c； （2）2a（b+c）﹣3（b+c）；（3）（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b．
解：（1）原式＝4ab2（2a2+3bc）；
（2）原式＝（2a﹣3）（b+c）；
（3）原式＝（a+b）（a﹣b﹣1）．
四.自主总结：
1.因式分解的概念和，因式分解与整式乘法的关系.
2什么叫公因式，找公因式的方法.
3.因式分解法的方法：提公因式法.
五.达标测试
一、选择题
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．xm+2x＝xm（m+2）
2.多项式36a2bc-48ab2c+24abc的公因式是(　　)
A.12a2b2c2 B.6abc C.12abc D.36a2b2c2
3. 多项式m2﹣4m分解因式的结果是（　　）
A．m（m﹣4） B．（m+2）（m﹣2）
C．m（m+2）（m﹣2） D．（m﹣2）2
4.将3x(a﹣b)﹣9y(b﹣a)因式分解，应提的公因式是(　　)
A.3x﹣9y B.3x+9y C.a﹣b D.3(a﹣b)
5. 已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1
二、填空题
6. 如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式____________．
7.若m-n=3，mn=-2，则2m2n-2mn2+1的值为_________.
8. 已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b的值为 　 　．
三、解答题
9. 因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）2a（b+c）－3（b+c）；
（3）（a+b）（a－b）－a－b．
10. 如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．
参考答案
1.C解析：A．从左到右的变形是乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
D．分解因式出现错误，应该是xm+2x＝x（m+2），故本选项不符合题意；
故选：C．
2.C　解析：系数的最大公因数是12，相同字母的最低指数次幂是abc，所以公因式为12abc.
3.A解析：m2﹣4m＝m（m﹣4），故选：A．
4. C解析：将3x（a-b）-9y（b-a）=3x（a-b）+9y（a-b）因式分解，应提的公因式是3（a-b）．故选：D．
5. A解析：因为xy＝﹣3，x+y＝2，所以x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣6 故选：A．
6. am+bm+cm=m（a+b+c）
7.-11 解析：因为2m2n-2mn2+1=2mn（m-n）+1将m-n=3，mn=-2代入得：原式=2mn（m-n）+1=2×（-2）×3+1=-11．
8. ﹣31解析：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）
＝（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）
＝（3x﹣7）（x﹣8），
因为（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），
所以（3x﹣7）（x﹣8）＝（3x+a）（x+b），
则a＝﹣7，b＝﹣8，
故a+3b＝﹣7+3×（﹣8）＝﹣31．
9. 解：（1）原式=4ab2（2a2+3bc）；（2）原式=（2a－3）（b+c）；（3）原式=（a+b）（a－b－1）．
10.解：因为边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，
所以a+b＝7，ab＝10，
所以a2b+2ab+ab2
＝ab（a+2+b）
＝10×（7+2）
＝90．

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