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2022-2023学年湖南省永州市江华县高二（上）联考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一正确答案）
1．（4分）设集合A＝{1，4}，B＝{4，5，6}，则A∪B＝（　　）
A．{4，5，6} B．{1，4，5，6} C．{1，4} D．{4}
2．（4分）已知f（x）＝g（x）+5，g（x）为奇函数，若f（5）＝1，则f（﹣5）＝（　　）
A．﹣1 B．6 C．9 D．4
3．（4分）设命题“x＞2”是命题“4﹣x2≤0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）函数的定义域是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）
C．（﹣∞，1）∪[2，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，2]
5．（4分）将函数y＝sinx，x∈R的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数y＝f（x）的图像，则函数f（x）＝（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）已知tanα＝﹣2，则的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
7．（4分）已知直线l1：mx+8y+5＝0，l2：2mx﹣y+3＝0，且l1⊥l2，实数m＝（　　）
A． B． C．±2 D．4
8．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．垂直于同一个平面的两个平面互相垂直
B．如果平面α内的两条直线分别平行于平面β内的两条直线，那么α∥β
C．如果平面α内的一条直线n平行于平面α外的一条直线m，那么m∥α
D．两个平面有三个公共点，这两个平面重合
9．（4分）等比数列{an}中，若a1＝4，a3＝36，则q＝（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
10．（4分）5人排成一行，其中甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法种数是（　　）
A．48 B．72 C．96 D．144
二、填空题（本大题共5小题，每空4分，共20分）
11．（4分）已知向量，，且，则x的值为 　 　．
12．（4分）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为 　 　。
13．（4分）若不等式x2+x﹣c≤0的解集为[﹣2，1]，则c＝　 　。
14．（4分）若一个球的大圆面积是36πcm2，则这个球的体积为 　 　。
15．（4分）已知F1，F2是椭圆x2+4y2＝1的两个焦点，A是椭圆上任意一点，AF1的延长线交椭圆于B，则△ABF2的周长是 　 　。
三、解答题（本大题共5小题，其中21，22小题为选做题，满分50分．解答应写出文字说明或演算步骤）
16．（10分）已知函数f（x）＝log2（x+1）+a过点（3，1）．
（1）求函数的定义域及实数a的值；
（2）求不等式f（x）＞2的解集．
17．（10分）一袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用ξ表示取出的小球的最大号码．
（1）求P（ξ＝3）；
（2）求ξ的分布列及E（ξ）．
18．（10分）等差数列{an}中，a2＝6，a5＝18．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求{bn}的前n项和Tn。
19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．
20．（10分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝5上，求m的值．
选考题：第21小题、22小题为选做题，请考生选择其中一题作答，如果两题都做了，将只对第21题计分．
21．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，．
（1）求△ABC的面积；
（2）求cos（A﹣C）的值．
选考题
22．某物流公司为相邻两个货场运货，货场甲的每一箱货物重40千克，体积为2个单位；货场乙的每一箱货物重50千克，体积为3个单位．物流公司运送货场甲、乙的每一箱货物分别获利2.2元和3元．若物流公司的运货车每一次装运重量不超过37000千克，体积不超过2000个单位，那么运货车一次在货场甲、乙各装载多少箱，能使物流公司获利最大，最大利润是多少？
2022-2023学年湖南省永州市江华县高二（上）联考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一正确答案）
1．（4分）设集合A＝{1，4}，B＝{4，5，6}，则A∪B＝（　　）
A．{4，5，6} B．{1，4，5，6} C．{1，4} D．{4}
【分析】根据集合并集的定义即可求解．
【解答】解：∵集合A＝{1，4}，B＝{4，5，6}，
∴A∪B＝{1，4，5，6}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，难度不大．
2．（4分）已知f（x）＝g（x）+5，g（x）为奇函数，若f（5）＝1，则f（﹣5）＝（　　）
A．﹣1 B．6 C．9 D．4
【分析】根据f（5）＝1可求出g（5），再根据f（﹣5）＝g（﹣5）+5＝﹣g（5）+5即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝g（x）+5，
∴f（5）＝g（5）+5＝1，
∴g（5）＝﹣4，
∴f（﹣5）＝g（﹣5）+5＝﹣g（5）+5＝4+5＝9．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，难度不大．
3．（4分）设命题“x＞2”是命题“4﹣x2≤0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据4﹣x2≤0可知x≤﹣2或x≥2，再根据充分必要条件即可求解．
【解答】解：∵4﹣x2≤0，
∴x≤﹣2或x≥2，
∴命题“x＞2”是命题“4﹣x2≤0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件，难度不大．
4．（4分）函数的定义域是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）
C．（﹣∞，1）∪[2，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，2]
【分析】根据函数解析式，建立关于x的不等式组，解出即可.
【解答】解：要使函数有意义，则，解得x≤2且x≠1，
故选：D。
【点评】本题考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
5．（4分）将函数y＝sinx，x∈R的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数y＝f（x）的图像，则函数f（x）＝（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据正弦函数的变换法则求解即可。
【解答】解：将函数y＝sinx，x∈R的图像上各点向左平移个单位可得y＝sin（x+），
将y＝sin（x+）所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍可得y＝3sin（2x+），
故选：A。
【点评】本题主要考查正弦函数，解题的关键在数值运算，为基础题。
6．（4分）已知tanα＝﹣2，则的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【分析】根据tanα＝﹣2得到sinα＝﹣2cosα，再根据三角函数的诱导公式求解即可。
【解答】解：∵tanα＝﹣2，
∴sinα＝﹣2cosα，
∴＝＝4，
故选：A。
【点评】本题主要考查倍角公式，解题的关键在于数值运算，为基础题。
7．（4分）已知直线l1：mx+8y+5＝0，l2：2mx﹣y+3＝0，且l1⊥l2，实数m＝（　　）
A． B． C．±2 D．4
【分析】根据两直线垂直的条件建立关于m的方程，解出即可.
【解答】解：因为直线l1：mx+8y+5＝0，l2：2mx﹣y+3＝0，且l1⊥l2，
所以，
解得m＝±2，
故选：C。
【点评】本题考查两直线垂直的条件，考查运算求解能力，属于基础题.
8．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．垂直于同一个平面的两个平面互相垂直
B．如果平面α内的两条直线分别平行于平面β内的两条直线，那么α∥β
C．如果平面α内的一条直线n平行于平面α外的一条直线m，那么m∥α
D．两个平面有三个公共点，这两个平面重合
【分析】根据空间中线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可.
【解答】解：对于A，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，也可以平行，不一定垂直，选项A错误；
对于B，如果平面α内的两条相交直线分别平行于平面β内的两条直线，那么α∥β，选项B错误；
对于C，由线面平行的判定可知，如果平面α内的一条直线n平行于平面α外的一条直线m，那么m∥α，选项C正确；
对于D，两个平面有三个公共点，这两个平面可以相交，选项D错误.
故选：C。
【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题.
9．（4分）等比数列{an}中，若a1＝4，a3＝36，则q＝（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
【分析】根据a3＝a1q2＝36即可求解．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a1＝4，a3＝36，
∴a3＝a1q2＝4q2＝36，
∴q2＝9，
∴q＝±3．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，难度不大．
10．（4分）5人排成一行，其中甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法种数是（　　）
A．48 B．72 C．96 D．144
【分析】先将除甲乙以外的3人全排列，再将甲乙排在3人形成的4个空挡中，最后根据乘法原理得解.
【解答】解：先将除甲乙以外的3人全排列，有种排法，
再将甲乙排在3人形成的4个空挡中，有种排法，
则不同的排法有6×12＝72种.
故选：B。
【点评】本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题.
二、填空题（本大题共5小题，每空4分，共20分）
11．（4分）已知向量，，且，则x的值为 　　．
【分析】根据两向量平行的坐标表示为x1y2﹣x2y1＝0，列出关于x的方程求解即可。
【解答】解：由，，且，
得10x﹣25＝0，∴，
故答案为：。
【点评】本题考查两向量平行的坐标表示，属于基础题。
12．（4分）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为 　a＝1　。
【分析】根据题意可得展开式中x2的系数为a3＝10，即可得出答案.
【解答】解：（a+x）5展开式为Tr+1＝a5﹣rxr，
所以展开式中x2的系数为a3＝10，
所以a＝1，
故答案为：a＝1.
【点评】本题考查二项式定理，属于基础题.
13．（4分）若不等式x2+x﹣c≤0的解集为[﹣2，1]，则c＝　2　。
【分析】根据不等式x2+x﹣c≤0的解集为[﹣2，1]可知x＝﹣2和x＝1是方程x2+x﹣c＝0的两根，从而求出c．
【解答】解：∵不等式x2+x﹣c≤0的解集为[﹣2，1]，
∴x＝﹣2和x＝1是方程x2+x﹣c＝0的两根，
∴﹣2×1＝﹣c，
∴c＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，难度不大．
14．（4分）若一个球的大圆面积是36πcm2，则这个球的体积为 　288πcm3　。
【分析】根据题意求得球的半径，再利用球的体积公式得解.
【解答】解：设球的半径为R，依题意，πR2＝36π，解得R＝6，
∴球的体积为.
故答案为：288πcm3.
【点评】本题考查球的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.
15．（4分）已知F1，F2是椭圆x2+4y2＝1的两个焦点，A是椭圆上任意一点，AF1的延长线交椭圆于B，则△ABF2的周长是 　4　。
【分析】根据题干信息和椭圆的基本性质判断求解即可。
【解答】解：∵F1，F2是椭圆x2+4y2＝1的两个焦点，A是椭圆上任意一点，AF1的延长线交椭圆于B，，
∴△ABF2的周长是2×（2×1）＝4，
故答案为：4。
【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，解题的关键在于数值运算，为基础题。
三、解答题（本大题共5小题，其中21，22小题为选做题，满分50分．解答应写出文字说明或演算步骤）
16．（10分）已知函数f（x）＝log2（x+1）+a过点（3，1）．
（1）求函数的定义域及实数a的值；
（2）求不等式f（x）＞2的解集．
【分析】（1）根据函数f（x）＝log2（x+1）+a过点（3，1）得到并求解log24+a＝1即可；
（2）根据f（x）＝log2（x+1）﹣1和f（x）＞2求解即可。
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝log2（x+1）+a过点（3，1），
∴log24+a＝1，
∴a＝﹣1，
∵f（x）＝log2（x+1）+a有意义，
∴x+1＞0，
∴x＞﹣1，
∴a＝﹣1，函数的定义域为{x|x＞﹣1}；
（2）∵a＝﹣1，
∴函数f（x）＝log2（x+1）﹣1，
∵f（x）＞2，
∴log2（x+1）﹣1＞2，
∴x+1＞23＝8，
∴x＞7，
∴不等式的解集为{x|x＞7}。
【点评】本题主要考查对数不等式的求解，解题的关键在数值运算，为基础题。
17．（10分）一袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用ξ表示取出的小球的最大号码．
（1）求P（ξ＝3）；
（2）求ξ的分布列及E（ξ）．
【分析】（1）根据取出的小球的最大号码为3得到取出的三个球只能为1，2，3即可求解；
（2）根据题干信息得到取出的小球的最大号码为可以为3，4，5，6，在分别求解其概率即可。
【解答】解：（1）∵取出的小球的最大号码为3，
∴取出的三个球只能为1，2，3，
∴P（ξ＝3）＝＝；
（2）取出的小球的最大号码为可以为3，4，5，6，
P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝，
P（ξ＝5）＝＝，
P（ξ＝6）＝＝，
∴ξ的分布列如下：
ξ 3 4 5 6
P
E（ξ）＝3×+4×+5×+6×＝。
【点评】本题主要考查离散型随机变量，解题的关键在数值运算，为基础题。
18．（10分）等差数列{an}中，a2＝6，a5＝18．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求{bn}的前n项和Tn。
【分析】（1）根据a2＝6，a5＝18可求出首项和公差d，再根据等差数列的通项公式即可求解；
（2）先求出{bn}是等比数列，再根据等比数列的前n项和公式即可求解．
【解答】解：（1）∵a2＝6，a5＝18，设公差为d，
∴，
∴，
∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；
（2）∵＝24n﹣2，
∴＝＝16，
∴数列{bn}是以24﹣2＝4为首项，16为公比的等比数列，
∴Tn＝＝．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及等比数列的前n项和，难度中等．
19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．
【分析】（Ⅰ）推导出EF∥BC，EF∥AD，由此能证明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，三棱锥E﹣ABC的体积VE﹣ABC＝S△ABC EG，由此能出结果．
【解答】证明：（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
又 BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD 平面PAD，EF 平面PAD，
∴EF∥平面PAD．…6
解：（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA．
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝，EG＝．
∴S△ABC＝AB BC＝××2＝，
∴VE﹣ABC＝S△ABC EG＝××＝．…12
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
20．（10分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝5上，求m的值．
【分析】（1）由＝，b＝，知a＝1，由此能求出双曲线方程．
（2）由，得 x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，故x1+x2＝2m，所以AB中点（m，2m），代入圆方程能求出m的值．
【解答】解：（1）∵e＝＝，
∴c＝a，
∵2b＝，
∴b＝，
∵c2﹣a2＝2，
∴a＝1，
∴所求双曲线方程为 x2﹣＝1；
（2）由，
消y得 x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，
Δ＝4m2+4（m2+2）＝8（m2+1）＞0，
x1+x2＝2m，
∴AB中点（m，2m），
代入圆方程得m2+4m2＝5，
∴m＝±1．
【点评】本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
选考题：第21小题、22小题为选做题，请考生选择其中一题作答，如果两题都做了，将只对第21题计分．
21．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，．
（1）求△ABC的面积；
（2）求cos（A﹣C）的值．
【分析】（1）先利用平方关系求得sinC，再由三角形的面积公式求解即可；
（2）利用余弦定理可得c＝2，进而可知B＝C，则cos（A﹣C）＝﹣cos（C+2C），再由和角公式展开计算即可.
【解答】解：（1）由于在△ABC中，，
则，
则；
（2）由余弦定理可得，，
则c＝2，
则△ABC为等腰三角形，且B＝C，
于是cos（A﹣C）＝cos（π﹣B﹣C﹣C）
＝cos（π﹣3C）
＝﹣cos3C
＝﹣cos（C+2C）
＝﹣（cosCcos2C﹣sinCsin2C）
＝sinCsin2C﹣cosCcos2C
＝sinC 2sinCcosC﹣cosC （2cos2C﹣1）
＝
＝.
【点评】本题考查解三角形以及三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.
选考题
22．某物流公司为相邻两个货场运货，货场甲的每一箱货物重40千克，体积为2个单位；货场乙的每一箱货物重50千克，体积为3个单位．物流公司运送货场甲、乙的每一箱货物分别获利2.2元和3元．若物流公司的运货车每一次装运重量不超过37000千克，体积不超过2000个单位，那么运货车一次在货场甲、乙各装载多少箱，能使物流公司获利最大，最大利润是多少？
【分析】先设运货车一次在货场甲、乙各装载x，y箱，总利润z＝2.2x+3y，再根据货场甲的每一箱货物重40千克，体积为2个单位；货场乙的每一箱货物重50千克，体积为3个单位，物流公司的运货车每一次装运重量不超过37000千克，体积不超过2000个单位得到可行域即可求解。
【解答】解：设运货车一次在货场甲、乙各装载x，y箱，总利润z＝2.2x+3y，
∵货场甲的每一箱货物重40千克，体积为2个单位；货场乙的每一箱货物重50千克，体积为3个单位，物流公司的运货车每一次装运重量不超过37000千克，体积不超过2000个单位，
∴，
约束条件构成的区域如下所示：
根据约束条件可知，当运货车一次在货场甲、乙各装载550，300箱，能使物流公司获利最大，
∵总利润z＝2.2x+3y，x＝550，y＝300，
∴当运货车一次在货场甲、乙各装载550，300箱，能使物流公司获利最大，最大利润是550×2.2+300×3＝2110元。
【点评】本题主要考查二元线性规划的实际应用，解题的关键在于列出不等式，为中等题。

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