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第6讲 二次函数的图象与性质（二）
【教学目标】：
掌握二次函数一般式的图像和性质，并能根据二次函数的图像和性质解决相关问题。
学会用待定系数法求二次函数的解析式。
【教学重难点】：
能根据二次函数的图像和性质解决相关问题
【考点解析】
题型一：二次函数的图象和性质
【问题1】你能把二次函数化成的形式吗？
由配方的结果可知:抛物线的顶点是_______，对称轴是________。
变式：你能用上面的方法讨论二次函数的图象和性质吗？
【问题2】将一般式化成顶点式
我们如何用配方法将一般式（a≠0)化成顶点式？
归纳总结二次函数的图象和性质：
顶点坐标：(，)；
对称轴：x=；特别的，若抛物线上两个点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称；若对称轴是y轴，则b=0.
最值：y最=；特别的，若自变量有范围限制，则需看顶点是否在范围内进行最值讨论；若顶点在x轴上，b2－4ac=0.
与坐标轴交点：
与x轴交点，令y=0，解一元二次方程，求出x1，x2，坐标为(x1，0)和(x2，0)；
与y轴交点，令x=0，则y=c，坐标为(0，c)。
完成下表．
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 与x轴交点 与y轴交点
y=x2－4x+3
y=－x2－4x+5
y=x2－6x－7
=-2x2－4x+6
若二次函数配方后为，则的值分别为（ ）
0，5 B. 0，1 C. ﹣4，5 D. ﹣4，1
抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是 。（填写序号）
抛物线与轴的一个交点为（3，0）； ②函数的最大值为6；
抛物线的对称轴是； ④在对称轴左侧，随增大而增大．
针对练习1
完成下列题目：
(1)抛物线的开口______，对称轴是______，顶点坐标是________，最值是_____；
(2)抛物线的开口______，对称轴是_____，顶点坐标是___ ___，最值是_____；
(3)抛物线的开口______，对称轴是_____，顶点坐标是____ __，最值是_____。
将二次函数图像的开口向_______，顶点是______，对称轴是__________，与轴交点为_______________，与y轴交点为_____________。
二次函数图像的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
如果抛物线的顶点在轴上，那么c的值为( )
A．0 B．6 C．3 D．9
若二次函数的与的部分对应值如下表：
x -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当=1时，的值为（ ）
A．5 B.-3 C.-13 D.-27
将二次函数y＝x2+2x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣2
二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8），则此抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝﹣5 D．x＝﹣1
题型二：二次函数图象的增减性的讨论
以对称轴x=为分界线，结合开口方向来讨论增减性：
（1）当a>0时，在对称轴x=左侧，y随x增大而减小，在对称轴x=右侧，y随x增大而增大；
（2）当a<0时，在对称轴x=左侧，y随x增大而增大，在对称轴x=右侧，y随x增大而减小；
（3）当a>0时，离对称轴越远，函数值越大；当a<0时，离对称轴越远，函数值越小。
注意：在对称轴x=两侧，图像上到对称轴距离相等的点的函数值相等；
抛物线y＝2x2+4x－6的顶点坐标为_________，对称轴是_________．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A(－4，y1)、B(1，y2)是它图象上的两点，则y1 y2
已知点A(2，y1)，B(4，y2)在二次函y=－3x2+6x－1的图像上，则y1 y2.
针对练习2
抛物线y＝－4x2+8x－9的顶点坐标为______，对称轴是______；当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．
已知抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴为直线x=1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)试比较y1，y2，y3的大小：__________________(填“>”，“<”或“=”).
若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
已知函数y＝x2﹣x﹣12，当函数y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞﹣4 D．﹣4＜x＜6
在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（4，3）
题型三：二次函数图像中a，b，c的关系
已知二次函数。请用判断下列各式与0的大小关系：
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么a 0，b 0，c 0
例2图 例3图 例4图
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+bc的图象不经过第_______象限
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．>0 B．当>1时，y随的增大而增大
C．c<0 D．3是方程的一个根
针对练习3
抛物线如图所示：
a____0，b____0，c_____0，b2－4ac_____0；
当x=_______时，y=0，当_____时，y>0；当x_____时，y<0；
第1题图 第2题图 第3题图
二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则a 0，bc 0
如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；
3a+c=0；其中正确的命题是__________.
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：①abc；②b2－4ac；③a－b＋c；④a＋b＋c；⑤2a－b；⑥9a－4b中，值小于0的是__________。
题型四：用待定系数法求二次函数的解析式
二次函数的表达式有：①顶点式：________________；②一般式：______________；③交点式。
已知抛物线过点（1，3）和（-1，5），求该抛物线的解析式．
已知抛物线的顶点坐标为（20，16），且经过点（0，0），（40，0），求该抛物线的函数解析式。
已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式．
已知抛物线与轴只有一个交点，且交点为A（2，0）。
求的值。
若抛物线与轴的交点为B，坐标原点为O，求△AOB的周长？
针对练习4
已知二次函数的图像以A(-1，4)为顶点，且过点B（2，-5）
求该函数的关系式
求该函数图像与两坐标轴的交点坐标。
已知二次函数的图象经过A（1，5）、B（0，3）、C（-1，-3）三点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
这个二次函数的解析式是____________
在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
当-4＜＜0时，的取值范围为__________。
如图，已知二次函数图象经过点A（1，-2）和B（0，-5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当≤-2时，请根据图象直接写出的取值范围．
【课后作业】
将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣3
若（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，
y2，y3的大小关系是（ ）
A.y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
a、b同号；
当x＝1和x＝3时，函数值相等；
4a+b＝0；
当y＝﹣2时，x的值只能取0．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（ ）
A．a＝4
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
抛物线y=x2－mx－m2+1的图象过原点，则m为________。
已知抛物线y=－3x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是_________。
抛物线y=x2－4x+与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交
点的坐标是_________.
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则①abc；②b2－4ac；③2a+b；④a+b+c这四个式子中，值为正数的有________。
通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）； （2）； （3）

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