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第9讲 实际问题与二次函数
【教学目标】：
会分析实际问题中包含的数量关系，从中抽象出二次函数的模型，利用二次函数的性质或图象解决问题。
【教学重难点】：
分析题意，正确列式解题。
【知识梳理】
利用二次函数解决实际问题
一般步骤：（1）审题意；（2）设未知量；（3）列解析式；（4）解答实际问题；（5）验证结果是否符合实际。
求二次函数最值：
将解析式写成的形式，当时，有最大（小）值________；
若对抛物线使用配方法，则当时，有最大（小）值_________.
【考点解析】
考点一 图形面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出函数关系式求解.
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住，设绿化带的BC边长为m，绿化带的面积为m 。
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
当为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
针对练习1
如图所示，用长为8 m的木板围建一个一边靠墙的矩形养鸡场，则养鸡场的最大面积为________m2．
要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大
用长为8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗户，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是多少？
如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)围成中间隔
有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为m，面积为Sm2．
（1）求S与的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米
（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗 如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能请说明理由．
考点二 最大利润问题
某网站销售某款童装，若每件售价60元，则每星期可卖300件。为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件。已知该款童装每件成本为40元。设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件。
求与之间的函数关系式。
当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，则每星期的销售量的范围是多少？
针对练习2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价 (元)满足一次函数：m＝162-3．
（1）写出商场卖出这种商品每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适 最大销售利润为多少
某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大
某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为元/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价（元/个）之间的函数关系式；
（3）当取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
考点三 建立适当坐标系解决实际问题
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
请按下面提供的方法画图建立坐标系，求出函数解析式并解决问题。
方法一：以水面所在直线为轴，水面的中点为原点建立直角坐标系。
方法二：以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立直角坐标系。
方法三：以抛物线与水面的左侧交点为原点，水面所在直线为轴建立直角坐标系。
★比较上面的三种方法，你觉得哪种方法更简便？
如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度CM是16m，跨度AB是40m，在线段AB上离中点M处5m的地方，桥的高度DN是多少米？
针对练习3
如图为抛物线形门洞，已知AB=8m，最高点到AB的距离为4m。
建立适当的坐标系，求抛物线的解析式；
若在AB正上方3m处有一横幅，恰好挂在门洞两边的吊环上（横幅高度不计），求横幅的长度。
某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示。
以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式。
某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。
【课后作业】
某商场进一批货物，销售量（件）与每件货物的利润（元）的关系式为，则月总利润P与之间的函数关系式为________________。
已知一个直角三角形两直角边之和为10cm，则这个直角三角形的最大面积为________m 。
某商品原利润为60元，涨价元后利润为________元，如果原来每月卖出100件，若每涨价2元，每月就少出售10件，涨价元后每月出售该商品的总利润（元）与之间的函数关系式为_________________。
杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y= 2+3+1的一部分，如图
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
某商场以每件30元的价格购进一种商品，在试销中发现这种商品的日销售量（件）与每件的销售价（元）满足。
求商场卖这种商品的日销售利润（元）与每件的销售价（元）之间的函数关系式；
要想获得日最大利润，每件商品的售价应定为多少元？日销售利润最大为多少？
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为
30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为
米，苗圃园的面积为平方米．
求与的函数关系式．
若苗圃园的面积为72平方米，求此时是多少米．
若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．

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