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2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．若关于的一元二次方程有实数根，则可取的最大整数值为（　　）
A．1 B．0 C． D．
2．关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．用公式法解方程时，Δ＝（　　）
A． B． C． D．
6．下列方程中有相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于（ ）
A．3 B．5或9 C．5 D．9
二、填空题
8．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是______．
9．在实数范围内，存在2个不同的的值，使代数式与代数式值相等，则的取值范围是___________．
10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围中，正整数值有______个．
11．关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围_______．
12．等腰三角形的一边长为2，另外两边长是方程的两个根，则此三角形的周长为______．
13．在正方形中，，点P是正方形边上一点，若，则的长为 _____．
14．菱形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根，则菱形的边长为___．
三、解答题
15．解方程：．
16．用指定方法解方程：（公式法）．
17．用公式法解方程：．
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．已知关于x的方程．
(1)求证：当时，方程总有两个不相等实数根；
(2)若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
20．已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
参考答案
1．解：根据题意得：，且，
解得：，
则k可取的最大整数值为，
故选：C．
2．解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
3．解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选D．
4．解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
5．解：，
∵，
∴Δ＝．
故选：D．
6．解：A. ， ，有两个不相等的实数根 ，故该选项不符合题意；
B. ， ，有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意；
C. ， ，没有实数根，故该选项不符合题意；
D. ， ，有两个相等的实数根，故该选项符合题意；
故选：D．
7．解：∵m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长
∴当或时，即
∴方程为
解得：
此时该方程为
解得：，
此时三角形的三边为5，5，1，符合题意；
当时，即
即
解得：
此时该方程为
解得：
此时三角形的三边为3，3，5，符合题意，
综上所述，k的值等于5或9
故选：B．
8．解：根据题意得且，
解得：且，
所以整数a的最大值为．
故答案为：．
9．解：由题意得，方程有两个不相等的根，
整理得，
，
解得：，
故答案为：．
10．解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得：，且 ，
∴的取值范围中，正整数值有共个
故答案为：．
11．解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴
∴解得
∴且．
故答案为：且．
12．解：根据题意当等腰三角形的腰为时，
方程有一根等于，
则，
解得：，
即原方程为，
解得，，
∵不能构成三角形不符合题意；
当等腰三角形的底为时，
方程的两个根相等，
∴，
解得：，
当时，原方程为，
解得，
则等腰三角形的周长为，
当时，原方程为，
解得，不符合题意；
综上所述：等腰三角形的周长为，
故答案为：．
13．解：当点P在边上时，
，，
；
当点P在边上时，如图：
，，
，
；
当点P在边上时，如图：
设，则，
，，，
，
，
整理得：，
，
此方程无实数根，
点P不在边上；
当点P在边上时，如图：
由图可知：，
点P不在边上，
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
14．解:∵四边形是菱形，
∴．
又∵，的长是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，
当时，原方程为，即，
解得：，
∴菱形的边长是．
故答案为：．
15．解：，
，．
16．解：∵，
∴，
∴，
∴原方程无实数解．
17．解：原方程化为一般形式，得，，则，，，
∴，
∴，
∴，．
18．解:（1）移项，得，
配方，得，
，
由此可得，
，．
（2）解：．
，，
．
，
，．
19．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
方程总有两个实数根；
（2）解：由题意可知，，
即：．
以下答案不唯一，如：
当，时，方程为．
解得．
20．（1）解：证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2），
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为10．

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