资源简介

《空间向量及其运算》知识全解
一、思维导图
(
二、学习目标
)
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法.（数学抽象）
2.学会空间向量的线性运算及它们的运算律.（数学运算）
3.能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.（逻辑推理）
4.理解空间向量夹角的概念，并掌握两个向量数量积的定义、性质及运算律.（数学抽象）
5.能用两个向量的数量积解决立体几何中的角度和长度等问题.（逻辑推理）
(
三、核心知识
)
空间向量及其线性运算
知识点1空间向量的概念及表示
空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 . 空间向量用字母a，b，c，…表示.
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.
如图1.1-1，向量a 的起点是A，终点是B ，则向量a 也可以记作，其模记为或 . 图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点O 的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为，，，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.
长度为0 的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，. 模为1 的向量叫做单位向量. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为-a.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
方向相同且模相等的向量叫做相等向量 . 因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，可以通过平移使它们的起点重合. 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 如图1.1-3，已知空间向量a，b ，以任意点O 为起点，作向量，，我们就可以把它们平移到同一个平面α 内.
【平面向量与空间向量的区别与联系】
（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.
（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同.
知识点2空间向量的线性运算
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时， ；
当时，.
空间向量线性运算的运算律：
（1）交换律：；
（2）结合律：
；
（3）分配律：，
.
知识点3共线向量及共面向量
对任意两个空间向量a，b ，的充要条件是存在实数λ ，使.（共线向量定理）
如果两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.（共面向量定理）
空间向量的数量积运算
已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.
即.零向量与任意向量的数量积为 0.
由向量的数量积定义，可以得到：
也记作.
空间向量的数量积的运算律：
；
（交换律）；
（分配律）.

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