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带电粒子在匀强磁场中的运动
1. 你对洛伦兹力有哪些了解？
大小：
方向：
特点：
2. 物体在什么情况下做匀速圆周运动？
3. 匀速圆周运动相关公式：
合力方向始终垂直于速度方向，大小恒定
F＝qvBsinθ（ θ是v与B间的夹角）
用左手定则判断，F洛⊥B F洛⊥v,即F洛 ⊥Bv组成的平面
只改变v的方向，不改变v的大小 ，对运动电荷永不做功
知识回顾
（）
3.某些带电体是否考虑重力，要根据题目暗示或运动状态来判定
常见粒子的分类
1.带电的基本粒子：如电子，质子，α粒子，正负离子等。这些粒子所受重力和洛仑磁力相比在小得多，除非有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力。（但并不能忽略质量）。
2.带电微粒：如带电小球、液滴、尘埃等。除非有说明或明确的暗示以外，一般都考虑重力。
匀速直线运动
1. 带电粒子平行射入匀强磁场的运动状态？ （重力不计）
提出问题
2. 垂直于磁场的方向射入匀强磁场的带电粒子，在匀强磁场中做什么运动？
















v
-
V
-
F洛
















V
-
F洛
V
-
F洛
V
-
F洛
垂直于磁场的方向射入匀强磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
1.轨道半径
带电粒子只受洛伦兹力，作圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
r
2.运行周期
（周期跟轨道半径和运动速率均无关）
角速度
解得：
一
带电粒子在匀强磁场中的运动
3.理解：
（1）由轨道半径的物理表达式 r 可知，在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，其轨道半径跟运动的速度成正比。
（2）由运动的周期公式 可知，在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，运动的周期跟轨道半径和运动速度均无关，而与比荷q/m成反比。
4. 若v与B之间的夹角θ，则带电粒子的运动轨迹为？
以速度v1做匀速直线运动
以速度v2做匀速圆周运动
等距螺旋线
d
r
在粒子物理学的研究中，可以让粒子通过“云室”“气泡室”等装置，显示它们的径迹。如果在云室、气泡室中施加匀强磁场，可以看到带电粒子运动的圆形径迹。粒子的质量、速度带电多少不一样，径迹的半径也不一样。
图3.6-3带电粒子在气泡室运动径迹的照片。有的粒子运动过程中能量降低，速度减小，径迹就呈螺旋形
例、一带电粒子在磁感强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，如它又顺利进入另一磁感强度为2B的匀强磁场中仍做匀速圆周运动，则( )
A、粒子的速率加倍，周期减半
B、粒子的速率不变，轨道半径减半
C、粒子的速率减半，轨道半径变为原来的 1/4
D、粒子速率不变，周期减半
BD
例、如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为2v．则( )　
A．a先回到出发点 b后回到出发点 　　　
B．a、b同时回到出发点
C．a、b的轨迹是一对内切圆，且b的半径大 　
D．a、b的轨迹是一对外切圆，且b的半径大
a
b
BC
例、一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一个匀强磁场，粒子后段轨迹如图所示，轨迹上的每一小段都可近似看成是圆弧.由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减少(带电量不变).从图中情况可以确定( )
A.粒子从a到b，带正电
B.粒子从b到a，带正电
C.粒子从a到b，带负电
D.粒子从b到a，带负电
B
二
质谱仪
一个质量为m、电荷量为q 的粒子，从容器A下方的小孔S 1飘入电势差为Ｕ的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S 3沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为Ｂ的匀强磁场中，最后打到照相底片Ｄ上（质谱仪的原理）
（1）求粒子进入磁场时的速率
（2）求粒子在磁场中运动的轨道半径
解：带电粒子进入质谱仪的加速电场
由动能定理：
带电粒子进入质谱仪的偏转磁场
洛伦兹力提供向心力：
质谱仪的原理
工作原理：
将质量不等、电荷数相等的带电粒子经同一电场加速再垂直进入同一匀强磁场，由于粒子质量不同，引起轨迹半径不同而分开，进而分析某元素中所含同位素的种类。
质谱仪：通过测出粒子圆周运动的半径，计算粒子的比荷或质量及分析同位素的仪器.
质谱仪工作原理
在加速电场中，由动能定理得：
粒子出加速电场的速度：
在偏转磁场中，有
故轨道半径
所以粒子质量
例、质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图，离子源S产生的各种不同正离子束(速度可看作为零)，经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P上，设离子在P上的位置到入口处S1的距离为x，可以判断( )
A、若离子束是同位素，则x越大，离子质量越大
B、若离子束是同位素，则x越大，离子质量越小
C、只要x相同，则离子质量一定相同
D、只要x相同，则离子的荷质比一定相同
AD
例、如图所示，a、b、c、d为四个正离子，电量相等，速度大小关系为va＜vb= vc＜vd，质量关系为ma= mb＜mc= md，同时沿图示方向进入粒子速度选择器后，一粒子射向P1板，一粒子射向P2板，其余两粒子通过速度选择器后，进入另一磁场，分别打在A1和A2两点。则射到P1板的是____粒子，射到P2板的是___粒子，打在A1点的是____粒子，打在A2点的是____粒子。
a
d
c
b
（1）加速原理：利用加速电场对带电粒子做正功使带电粒子的动能增加。 qU= Ek．
（2）直线加速器（多级加速），如上图所示是多级加速装置的原理图：
因为交变电压的变化周期相同，粒子在每个加速电场中的运动时间相等
+
–
–
–
–
+
+
+
U1
U2
P6
U3
Un
P2
P4
P3
P1
P5
一级
n 级
二级
三级
三
回旋加速器
（一）直线加速器（多级加速）
缺点：直线加速器占有的空间范围大，在有限的空间范围内制造直线加速器受到一定的限制。
有的长达几十千米，坐落在两个城市之间……
（二）回旋加速器
（1）回旋加速器的构造
原理：两D形盒中有匀强磁场无电场，盒间缝隙有交变电场。电场使粒子加速，磁场使粒子回旋。
粒子回旋的周期不随半径改变。让电场方向变化的周期与粒子回旋的周期一致，从而保证粒子每次通过电场都被加速。
一个周期内，粒子加速两次
1. 电场的周期与粒子在磁场中做圆周运动周期相同
2. 电场一个周期中方向变化两次
3. 在磁场中做圆周运动周期不变，每一个周期加速两次
4. 粒子加速的最大速度由盒的半径决定
（2）回旋加速器的特点
5. 粒子最终的动能：
可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R.与加速电压高低无关。
6. 粒子在加速的过程,时间极短,可忽略
D越大，Ek越大，是不是只要D不断增大， Ek 就可以无限制增大呢
不行。用这种经典的回旋加速器来加速粒子，能量达到25～30MeV后，就很难再加速了。因为当粒子的速率大到接近光速时，由相对论原理，粒子的质量明显增大，从而使粒子的回旋周期变化，这就破坏了加速器的同步条件。
例、关系回旋加速器，下列说法正确的是
A．电场和磁场都是用来加速粒子的
B．电场用来加速粒子，磁场仅使粒子做圆周运动
C．粒子经加速后具有的最大动能与加速电压值有关
D．为了是粒子不断获得加速，粒子圆周运动的周期等于交流电的半周期
B
BD
【例】　(多选)回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底面的匀强磁场中，如图所示．要增大带电粒子射出时的动能，下列说法中正确的是(　 　)
A．增大匀强电场间的加速电压
B．增大磁场的磁感应强度
C．减小狭缝间的距离
D．增大D形金属盒的半径
四
带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法
　在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，三求时间”的方法。
1. 找圆心：两线定一“心”
（1）类型一：已知两个速度的方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。
依据：圆心一定在垂直于速度的直线上。
方法：由两个半径的交点确定圆心。
vt
①
—
v0
v0
O
O
②
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
－
－
θ
O
A
v0
B
vt
③
O
－
+
v0
vt
o
④
(2) 类型二：已知入射速度方向和出射点位置，做入射点和出射点连线的中垂线，与其一速度的垂线的交点为圆心。
依据：圆心一定在弦的中垂线上。
方法：由半径和弦的中垂线的交点确定圆心。
O
+
v0
A
B
O
A
v0
B
－
V
+q
①
②
③
θ
θ
2. 求半径
r
r-h
h
方法一：由
r
方法二：主要由三角形几何关系求出
（一般是三角形的边角关系、或者勾股定理确定）。
1. 若已知d与θ，则由边角关系知
2. 若已知d与h(θ未知)，则由勾股定理知
3. 求时间
②粒子速度的偏向角()等于圆心角()，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的2倍(如图所示)，即。
然后确定带电粒子通过磁场的时间。粒子在磁场中运动一周的时间为 ,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ 时，其运动时间由下式表示：
①当v 一定时，为带电粒子通过的弧长，粒子在磁场中运动的时间
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的特点
2.求半径:
1.向心力由洛仑兹力提供:
【总结】
(在磁感应强度不变的情况下v越大，r越大)
3.求周期:
(洛伦兹力不做功)
(周期T与速率、半径均无关)
4.角度关系:
v
θ
v
O
A
B
(偏向角)
O′
偏向角等于圆心角等于2倍的弦切角
5.求运动时间：
典例 1
D 　
典型例题
如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场(磁场足够大)，一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角的方向从原点垂直磁场射入，则负电子与正电子在磁场中运动时间之比为：(不计正、负电子间的相互作用力)(　　)
A．1︰　　　 B．2︰1　　　
C. ︰1　　 D．1︰2
【对点训练】 (多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用。则下列说法正确的是(　　)
A．a粒子速率最小
B．c粒子速率最小
C．a粒子在磁场中运动时间最长
D．它们做圆周运动的周期TaAC 　
【例题】如图所示,一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为300.求:
(1)电子的质量 m
(2)电子在磁场中的运动时间t
d
B
e
θ
v
v
θ
　　分析：本题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径.
　　解：因为速度方向改变30°，因此此段轨迹所对应的圆心角为30°，如图所示，由几何关系可得：
半径 R=2d
再由半径公式
可以求出电子的质量
穿过磁场的时间　　　　　 .
　　【答案】
　　【点评】由速度方向的改变确定圆心角的大小是解本题的第一个关键点，通过解直角三角形求出半径R是解本题的第二个关键点.
（一）直线边界(单边有界)：进出磁场具有对称性。
2. 从同一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角（弦切角）相等。
1. 因速度速度方向不同，存在四种可能的运动轨迹，如图。
半圆，优弧，劣弧，圆周
五
三类边界磁场中的轨迹特点
例.如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力），从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正负粒子在磁场中（　 ）　　
A.运动时间相同
B.运动轨迹的半径相同
C.重新回到边界时的速度相同
D.重新回到边界时与O点的距离相等
BCD
　　解析：两偏转轨迹的圆心都在射入速度的垂直线上，可假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所示.
由此可知它们的运动时间分别为　　　　　　　　　；轨迹半径 相等；射出速度方向都与边界成θ角；射出点与O点距离相等，为：d=2R·sin θ.故选项B、C、D正确.
　带电粒子垂直射入单边界的匀强磁场中，可分两类模型分析：一为同方向射入的不同粒子；二为同种粒子以相同的速率沿不同方向射入.无论哪类模型，都遵守以下规律：
　（1）轨迹的圆心在入射方向的垂直线上，常可通过此垂线的交点确定圆心的位置. 　
（2）粒子射出方向与边界的夹角等于射入方向与边界的夹角.
方法概述1：
（二）平行边界（双边有界）：存在临界条件。
初速度方向与边界平行、垂直、斜交
例.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线.现有质量为m、电荷量为q的带负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值是（　 ）
　　A.
　　B.
　　C.
　　D.
　　【解析】如图所示，由半径公式可知，当粒子的运动轨迹与NN′相切时，粒子入射速率v最大.
设此时轨迹半径为R，则有：
　　R+Rcos 45°=d，解得：
　　将上式代入　　　，得：　　　　 .
　　
【答案】D
　　【点评】解决这类问题的关键在于画出与另一边界相切的粒子轨迹，以及确定轨迹的圆心位置和轨迹的半径大小.
　　
　　1.与另一边界相切时轨迹的作图步骤：
　（1）作入射方向的延长线与MN交于B点.
　（2）过入射点作入射方向的垂线.
（3）分别作∠ABN和∠ABM的角平分线，两角平分线与入射方向的垂线的交点为O1和O2.
（4）O1、O2分别为正负电荷临界偏转轨迹的圆心，通过圆心和入射点可作出两临界轨迹，如图所示.
2.与另一边界相切轨迹的半径
方法概述2：
(三)圆形边界：(进出磁场具有对称性)
(1)沿半径射入磁场必沿半径射出磁场，如图3所示.
(2)不沿半径射入时速度方向与对应点半径的夹角相等（等角进出），如图4所示.
图3
图4
例.在电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术来实现的.电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示.磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r.当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点.为了让电子束射到屏幕边缘P点处需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
　　【解析】如图所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R.以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电荷量，则：
　　
　　又有
　　由以上各式解得：　　　 .
　　【答案】
　　【点评】解答本题的关键是作出轨迹的示意图，
利用几何知识及三角函数求出半径.
易犯的错误有：①认为轨迹半径就是磁场的半径.
　　②不能画出轨迹的示意图. 　　
③不能作出四边形CaOb，找不到电子束偏转角度θ与轨迹半径的关系.
例.在真空中半径 r =3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场的磁感应强度B=0.2 T，方向如图所示，一个带正电的粒子以v0=1×106 m/s的初速度从磁场边界上的a点沿直径ab射入磁场，已知该粒子的比荷　　　　　　，不计粒子重力. 　
（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径.
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（用v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？
解：（1）设粒子做圆周运动的半径为R，则：
　　
（2）当粒子的速率一定时,粒子在磁场中的轨迹半径一定，当轨迹圆弧的弦长最大时，对应的圆心角最大、偏转角最大.
　　由图可知，弦长的最大值为：
ab=2r=6×10-2m　
　　设最大偏转角为αmax，此时初速度方向与ab连线
的夹角为θ，则：
得：αmax=74°
　　所以
当粒子以与ab夹角为37°斜向右上方入射时，粒子飞离磁场时有最大偏转角，最大值为74°.
【答案】（1）0.05m （2）与ab夹角为37°斜向上74°
【点评】从圆形区域的圆周上某点以相同速率射入的同种电荷，它们的轨迹半径相等.当射出点与射入点在同一直径上时，有最大的偏转角.
带电粒子垂直进入圆形区域的匀强磁场中，只受洛伦兹力作用的运动轨迹有以下规律：
1、沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出.
　　证明：如图所示，连接OO′和OB.
　　因为AO=BO，OO′为两三角形的公共边，AO′=BO′
　　所以△AOO′≌△BOO′
　　所以O′B⊥OB
　　即OB为 的切线，
电荷射出的方向得证.
2、同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，入射点与出射点的连线为直径,则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值：
方法概述3：
拓展：带电粒子射入环形磁场区域问题
例.在受控热核聚变装置中，聚变原料有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束使其在某个区域内运动.现按下面的简化条件来讨论这个问题：图中是一个内半径R1=1.0 m、外半径R2=2.0 m的环状区域的截面，区域内有垂直截面向外的匀强磁场.已知氦核的比荷　　　　　　 ，磁场的磁感应强度B=0.4 T，不计氦核的重力.设O点为氦核源，它能沿半径方向射出各种速率的氦核，求该磁场能约束住的氦核的最大速度vm.
解：设速率为vm的氦核运
动至外边缘时恰好与边界相切而返
回，其轨迹如图所示.
设∠BOA=θ，由几何关系有：
　　R3=R1·tan θ
　　
　　联立解得：
又因为氦核运动轨迹的半径
　　解得：vm=1.44×107 m/s.
点评：和前面各题型一样，求解粒子在环形区域的偏转半径，关键在于找出它与区域圆半径及各夹角之间的几何关系.
　　方法概述4
　　带电粒子从内圆垂直射入环形区域的匀强磁场中，可分以下两种情形总结规律：
（1）若沿区域圆半径方向射入时，临界速率为：
（2）若在内边沿上某点沿各方向射入时，临界速率为：　　　
　　　　　　　　（即此时轨迹半径　　　　）.
　　
　　　　　　　　　　.

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