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15.3等腰三角形
第一课时
一、单选题
1．如图，已知在中，，则下列关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，于点D，，则等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
3．如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在中，，D是边上的点，，垂足分别为E，F，，则的值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
5．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
6．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是___cm2.
7．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是_____．
8．如图，在中，平分交于E，平分交于D，图中有__________个等腰三角形．
9．如图，，点P是平分线上的一点，于D，交于E，已知，则_________．
三、解答题
10．如图，为等边三角形，平分交于点，交于点．
（1）求证：是等边三角形．
（2）求证：．
11．如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．
12．如图，在中，试判断 与的大小关系．
13．如图，∠AEF＝∠AFE，AC＝AD，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．
14．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝＋＋4，求此三角形的周长．
第二课时
一、单选题
1．若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （ ）
A．12 B．10 C．8或10 D．6
2．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
4．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
5．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．PD=DQ B．DE=AC C．AE=CQ D．PQ⊥AB
二、填空题
6．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．
7．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________.
8．如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是_____．
9．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．
三、解答题
10．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°．
11．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
12．如图，已知△ABC中，AB＝BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若∠C＝65°，求∠BDE的度数．
13．如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.
（1）求证：
（2）求证：
14．已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
第一课时答案
一、单选题
B．A．D.A．C.
二、填空题
6．
7．130°．
8．5
9．．
三、解答题
10．
(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°．
∴△ADE是等边三角形
(2)∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD=AC
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD．
∴AE=AB．
11．
解：如图，在上截取，连接．
∵平分，
．
∵，
，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
则．
∵在中，，
解得，
∴．
12．
解：设∠EDC=x，
则∠AED=∠EDC+∠C=x+55°
又因为∠AED=∠ADE，
由三角形的外角性质，得∠ADE+∠EDC =∠BAD+∠ABD．
即，
解得x=15°
所以2∠EDC=∠BAD．
13．
解：证明：∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
在△AEC与△AFD中
，
∴△AEC≌△AFD（SSS），
∴∠C＝∠D．
14．根据题意，，解得，所以，
（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3，3，4，能组成三角形，周长为3+3+4=10；
（2）若4是腰长，则三角形的三边长为：4，4，3，能组成三角形，周长为4+4+3=11．
故填10或11．
第二课时答案
一、单选题
B.A．B．D．D．
二、填空题
6．70°．
7．75
8．．
9．70
三、解答题
10．
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为75．
11．
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
12．
证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠ADE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）∵△ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AB＝BC，D为AC中点，
∴∠EBD＝∠DBC=∠ABC＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝25°.
13．
（1）如图
∵，
∴是等腰三角形
又∵为的中点，
∴（等腰三角形三线合一）
在和中，
∵为公共角，，
∴.
另解：∵为的中点，
∵，又，，
∴，
∴，又，
∴
∴，
在和中，
∵为公共角，，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
14．△ABC为等腰三角形．
∵a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，
∴（a﹣b）2=c（a﹣b），
∴（a﹣b）2﹣c（a﹣b）=0，
∴（a﹣b）（a﹣b﹣c）=0，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a﹣b﹣c≠0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC为等腰三角形．

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