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2022-2023学年安徽省宿州市埇桥区教育集团八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子从左到右变形正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，四边形是平行四边形，将延长至点，若，则等于( )
A. B. C. D.
3. 下列等式从左到右的变形，是因式分解且正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列说法不正确的是( )
A. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形
B. 等腰三角形的两个底角必为锐角
C. 平行四边形的对角线互相平分
D. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
5. 如图，直线经过点，当时，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接、若、分别是、的角平分线，且，则平行四边形的周长为( )
A. B. C. D.
7. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8. 某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的倍，购买足球用了元，购买篮球用了元，篮球单价比足球贵元．根据题意可列方程，则方程中表示( )
A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量
9. 如图， 的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 中，，是对角线上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是______ ．
12. 若代数式的值为，则实数的值是______ ．
13. 分解因式： ______ ．
14. 若不等式组的解集是，那么的取值范围是______ ．
15. 如图在中，是边上的中点，是的平分线，于点，已知，，那么的长为______ ．
16. 如图，在 中，平分交于点，连接，，点，分别是，的中点，连接，，交于点延长交于点则下列结论正确的有______ 填序号．
平分；
；
；
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程；
解不等式组，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
18. 本小题分
先化简再求值：，其中且是整数．
19. 本小题分
如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形．
若是的中点，试说明．
20. 本小题分
两块等腰直角三角形纸片和按图所示位置放置，直角顶点重合在处保持纸片不动，将纸片绕点逆时针旋转角度如图所示三点在同一条直线上，在图中，求证：，．
21. 本小题分
年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
22. 本小题分
如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接．
若的周长为，的周长为，求的长．
若，，求的度数．
23. 本小题分
已知是等边三角形，是边上的一个动点点不与，重合是以为边的等边三角形，过点作的平行线交射线于点，连接．
如图，求证：≌；
请判断图中四边形的形状，并说明理由；
如图，若点在边的延长线上，，，其它条件不变，请直接写出四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：平行四边形中，，
，
．
故选：．
根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于列式计算即可得解．
本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，是整式的乘法，故A不合题意；
B、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B不合题意；
C、，是因式分解，故C符合题意；
D、，故D不合题意．
故选：．
因式分解就是将一个多项式化为几个整式积的形式，据此进行判断即可．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
4.【答案】
【解析】解：一个角等于的等腰三角形是等边三角形，正确，故不符合题意；
B.等腰三角形的两个底角必为锐角，正确，故不符合题意；
C.平行四边形的对角线互相平分，正确，故不符合题意；
D.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，原说法错误，故符合题意．
故选：．
根据等边三角形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，判断即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是要熟悉课本中的定义与定理．
5.【答案】
【解析】解：因为点也在直线上，
所以直线与直线的交点坐标是，
所以当时，的取值范围为．
故选：．
因为点在直线上，所以根据图像可知：当直线线上方时，对应的的取值范围即为所求．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出的值，是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、分别是、的平分线，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
，，
，
平行四边形的周长；
故选：．
利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出，，得出，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，证明，是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
．
故选：．
先根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质由得，然后利用进行计算．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
8.【答案】
【解析】解：设篮球的数量为个，足球的数量是个．
根据题意可得：，
故选：．
设篮球的数量为个，足球的数量是个，列出分式方程解答即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出是直角三角形是解此题的关键．由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，则直角三角形的面积可求出，通过面积代换即可求出．
【解答】
解：，，四边形是平行四边形，
，，
，
，
是直角三角形，，
在中，，
，
，
，
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】
解：如图，连接与相交于，
在 中，，，
A.若，则，即，所以四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B.若，则无法证明四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C.，则，
又，
在和中，
≌，
，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D.在 中，，，
，
，
在和中，
≌，
，然后同可得四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．

11.【答案】
【解析】解：设正多边形是边形，由内角和公式得：
，
解得，
故答案为：．
根据多边形的内角和公式，可得答案．
本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程式解题关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
．
故答案为：．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为．
先提公因式，然后利用公式法分解因式．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后还能运用完全平方公式继续分解因式．
14.【答案】
【解析】解：由得：，
又且不等式组的解集为，
所以，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：延长交于，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
是的中位线，
，
故答案为：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据题意求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
平分，故正确；
点，分别是，的中点，
，，
，，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，故正确；
，，
，故正确；
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，故正确，
综上所述：结论正确的有．
故答案为：．
根据平行四边形的判定与性质，证明，所以，进而可以判断；根据三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形，进而可以判断；由，进而可以判断；根据勾股定理，进而可以判断；证明四边形是平行四边形，所以，进而可以判断．
本题属于四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
17.【答案】解：原方程两边同乘，去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入得：，
则是分式方程的增根，
故原方程无解；
由第一个不等式可得：，
由第二个不等式整理得：，
即，
解得：，
则原不等式组的解集为：，
在数轴上表示其解集如下图所示：
．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程后进行检验即可；
解两个不等式求得不等式组的解集，然后在数轴上表示出该解集即可．
本题考查解分式方程，解一元一次不等式组及在数轴上表示其解集，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法是解题的关键，特别注意解分式方程必须进行检验．
18.【答案】解：原式
，
，且，是整数，
可以取，
当时，
原式．
【解析】先算小括号里面的，然后再算括号外面的，结合分式成立的条件及的取值范围确定的取值，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则以及分式成立的条件分母不能为零是解题关键．
19.【答案】证明：，
，，
是中点，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【解析】由是中点得，再证≌，得，即可得出结论．
由四边形是平行四边形，推出，，则，又因是的中点，则，则，所以四边形是平行四边形，所以．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】证明：延长交于，交于．
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
．
【解析】延长交于，交于，由“”可证≌，可得，，由余角的性质可得．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21.【答案】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为元．
【解析】原来的燃油汽车行驶千米所需的油费元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费元所行驶的路程电动汽车所需电费元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
22.【答案】解：是线段的垂直平分线，
，，
的周长为，的周长为，
，，
，
；
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
根据三角形内角和定理求出，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
23.【答案】证明：和都是等边三角形，
，，，
又，，
，
在和中，
，
≌；
解：结论：四边形是平行四边形．
理由：由得≌，
．
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：过点作于点．
和都是等边三角形，
，，，
又，，
，
在和中，
，
≌；
，，
又，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
四边形的面积．
【解析】利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明≌；
四边形是平行四边形，因为≌，所以可得，进而证明，则可得到，又，所以四边形是平行四边形；
易证，，，可得，即可证明≌；根据≌可得，进而求得，求得，又，从而证得四边形是平行四边形，可得结论．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键．
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