资源简介

第十八章 平行四边形
知识梳理
1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
(1)平行四边形的性质：
①平行四边形的对边平行且相等；
②平行四边形的对角相等；
③平行四边形的对角线互相平分。
(2)平行四边形的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
(1)矩形的性质：
①矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
②推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(2)矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有三个角是直角的四边形是矩形。
4、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(1)菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。
(2)菱形的判定：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边相等的四边形是菱形。
（3）菱形的面积：
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
5、正方形：
正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。
提升练习
一、选择题
1．如图，平行四边形的两条对角线交于点，的周长比的周长大，已知，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形ABCD中，，若对角线AC=2，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．下列说法中不正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直且相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．四条边相等的四边形是菱形 D．正方形的对角线相等
4．如图，在中，的平分线交于点E，若，则的度数为(　　)
A．112° B．116° C．128° D．148°
5．如图，在中，E为边上一点，且，的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高(　　)
A． B． C． D．
7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上（不与端点重合），且BF＝CE，BE与AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　）
A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC
C．AG＝EG D．AG⊥EG
8．在长方形ABCD中，，，连接AC，的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　）
A． B． C．3 D．4
二、填空题
9．如图，平行四边形ABCD中，点P在DC边上，且BP平分∠ABC，∠A=108°，则∠BPC的度数为　 　.
10．如图，的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AC=2，BD=4，则AB=　 　．
11．如图，矩形的两条对角线交于点O，若，则　 　．
12．如图，在菱形中，为对角线上一点，，连结，若，则的度数为　 　．
13．如图，在正方形中，，点分别在线段上，且，过点作与边交于点．当时，的长为　 　．
三、解答题
14．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点E，交于点F，求证：．
15．如图，在四边形ABCD中，，，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形．
16．已知：如图，是正方形对角线上的一点，且，垂足为，交于点．
求证：．
17．如图，在中，，点E是的中点，的平分线交于点D，作，连接并延长交于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
18．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，连接，求的长．
19．如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形．
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．B
5．B
6．B
7．C
8．A
9．36°
10．
11．64
12．80°
13．
14．证明：∵在平行四边形中，对角线相交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．
16．证明：连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BD，
∴∠C=∠BEF=90°，∠EDF=45°
∴∠EFD=45°，即∠EDF=∠EFD，
∴DE=EF，
∵BE=BC，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）
∴EF=CF，
∴DE=CF；
17．（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
∵，时，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由（1）可知四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
18．（1）证明：在菱形中，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵在矩形中，，
在中，，
又∵在菱形中，对角线、交于点O，
∴点为的中点，
∴．
19．（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）当时，四边形是菱形．
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形．

展开更多......

收起↑