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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
学习目标：
1．认识三角形的边、内角、顶点，能用几何语言表示三角形；
2．掌握三角形的三边关系定理，能利用定理及其推论进行简单的证明；
3．了解三角形分类的原则和结论．
老师对你说：
一、三角形的定义与构成要素
1.定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
构成三角形的三个基本条件：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次相接.
2.（1）构成三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
3 .三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示.
二、三角形的分类
(1)按角分类：
特别强调：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
(2)按边分类：
特别强调：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形.
三、三角形三边关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边（理论依据：两点之间线段最短）.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
三边关系的应用：
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（2）证明线段之间的不等关系.
知识点1：三角形的定义与构成要素
【例1-1】如图，以BD为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．

【例1-2】已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ．
（2）以线段为公共边的三角形是 ．
（3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ．
知识点2：三角形的分类
【例2-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的表示(????)
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【例2-2】关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（????）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
知识点3：三角形三边关系
【例3-1】由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1) (2) (3)．
【例3-2】在平行四边形中，，，对角线的取值范围是（???）
A． B． C． D．
【例3-3】已知三角形两边的长分别是4cm和9cm
求第三边的取值范围；
若第三边的长是偶数，求第三边的长；
求周长的取值范围（第三边的长是整数）．
【例3-4】用一条长的铁丝围成一个等腰三角形．
如果腰长是底边长的倍，那么底边长是多少
能围成一个边长为的等腰三角形吗为什么
能力强化提升训练
如图，图①中有3个以为高的三角形，图②中有10个以为高的三角形．图③中有为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以为高的三角形的个数为（??????????）
A．55 B．78 C．96 D．105
2.如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（　 　）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
3.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
4 .若是△ABC的三边长，则化简的结果是________．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
1.如图，一个三角形纸片被木板遮掩了一部分，则这个三角形为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
三角形是指（　　）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
下列对△ABC的判断，错误的是（　　）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则△ABC是锐角三角形
C．若AB＝AC，∠B＝40°，则△ABC是钝角三角形
D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则△ABC是等腰直角三角形
从长度为1、3、5、7的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，5，7 D．3，5，7
如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝10米，OB＝6米，A、B间的距离可能是（　　）
A．4米 B．12米 C．16米 D．22米
一个三角形的两边长分别是和，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为(????)
A. B. C. D.
7.下列说法正确的是(????)
A. 所有的等腰三角形都是锐角三角形
B. 等边三角形属于等腰三角形
C. 不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
8.在△ABC中，AB＝5，AC＝8，则第三边BC的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．13
（每小题4分，共20分）
如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画___________个直角三角形．
10 .如果三条线段长度为，1，3（为整数），且这三条线段能首尾依次相接组成三角形，那么的值为_________．
11 .已知等腰三角形两边的长分别为a，b，且满足．则这个等腰三角形的周长为______．
12 .北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩落在个三角形内，则的值为________．

13 .如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是________
解答题（共6小题，48分）
（10分）看图填空，如图：
（1）如图中共有　 　个三角形，它们是　 　；
（2）△BGE的三个顶点分别是　 　，三条边分别是　 　，三个角分别是　 　；
（3）△AEF中，顶点A所对的边是　 　；边AF所对的顶点是　　；
（4）∠ACB是△　 　的内角，∠ACB的对边是　 　．
（8分）用一条长为24cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2.5倍，那么各边长是多少？
（2）能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？说明原因？
（6分）一个三角形的两边b＝2，c＝7．
（1）当各边均为整数时，有几个三角形？
（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
17.（8分）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
18 .（8分）已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
19 .（8分）已知，的三边长为，，．
（1）求的周长的取值范围；
（2）当的周长为偶数时，求．
拓展培优*冲刺满分
1.已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有 　 　个．
2.已知P是△ABC内任意一点．
（1）如图1，求证：AB+AC＞PB+PC；
（2）如图2，连接PA，比较AB+AC+BC与PA+PB+PC的大小关系．
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边（解析版）
学习目标：
1．认识三角形的边、内角、顶点，能用几何语言表示三角形；
2．掌握三角形的三边关系定理，能利用定理及其推论进行简单的证明；
3．了解三角形分类的原则和结论．
老师对你说：
一、三角形的定义与构成要素
1.定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
构成三角形的三个基本条件：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次相接.
2.（1）构成三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
3 .三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示.
二、三角形的分类
(1)按角分类：
特别强调：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
(2)按边分类：
特别强调：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形.
三、三角形三边关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边（理论依据：两点之间线段最短）.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
三边关系的应用：
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（2）证明线段之间的不等关系.
知识点1：三角形的定义与构成要素
【例1-1】如图，以BD为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．

【分析】先根据BD边找三角形，再根据∠1找三角形.
解：以BD为边的三角形有：△BDC，△BDO，
以∠1为内角的三角形有：△EOC，△ACD．
【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.
【例1-2】已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ．
（2）以线段为公共边的三角形是 ．
（3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ．
【答案】 6 ，， ，，
【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形；
（2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形；
（3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角；
【详解】（1）由图可知，
图中三角形有、、、、、，
图中有6个三角形，
由图可知，直角三角形有，，；
故答案为：6，，，；
（2）由图可知，
以线段为公共边的三角形是，，；
故答案为：，，；
（3）由图可知，
线段所在的三角形是，
边所对的角是；
故答案为：，．
【点评】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键．
知识点2：三角形的分类
【例2-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的表示(????)
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【答案】D?
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形根据三角形的分类可直接得到答案．
【解答】
解：三角形根据边分类，
图中小椭圆圈里的表示等边三角形．
故选：．??
【例2-2】关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（????）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
【答案】D
【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形(三条边都不相等)，等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形)；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可.
【详解】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：
故选：D．
【点评】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角形.
知识点3：三角形三边关系
【例3-1】由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1) (2) (3)．
【答案】(1) 这三条线段不能构成三角形，理由见分析；(2) 这三条线段不能构成三角形，理由见分析；(3) 这三条线段能构成三角形，理由见分析
【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可．
（1）解：这三条线段不能构成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能构成三角形；
（2）解：这三条线段不能构成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能构成三角形；
（3）解：这三条线段能构成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段能构成三角形．
【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
【例3-2】在平行四边形中，，，对角线的取值范围是（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：∵平行四边形中，，，
∴
即，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【例3-3】已知三角形两边的长分别是4cm和9cm
求第三边的取值范围；
若第三边的长是偶数，求第三边的长；
求周长的取值范围（第三边的长是整数）．
【答案】(1)第三边的取值范围是5cm【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边和三角形两边之差小于第三边即可得到解答；
（2）根据第三边的取值范围选出偶数即可；
（3）利用第三边的取值范围再加上已知的三角形两边长即可求得．
解：（1）设第三边长为xcm，
9-4=5（cm），
9+4=13（cm），
∴第三边的取值范围是5cm（2）由题意可知，其中偶数为6，8，10，12，
∴第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm．
（3）周长=4+9+第三边，
∵5cm<第三边<13cm，
∴18cm<周长<26cm．
【点拨】本题考查了三角形三边的三边关系，解决此题的关键是掌握第三边的范围：大于已知两边的差，小于两边的和．
【例3-4】用一条长的铁丝围成一个等腰三角形．
如果腰长是底边长的倍，那么底边长是多少
能围成一个边长为的等腰三角形吗为什么
【答案】能围成底边长为的等腰三角形
【分析】设底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得底边的长；
题中没有指明所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【解析】设底边长为，则腰长为．
根据题意，得，
解得，
经检验符合题意．
答：底边长是；
能围成；
当底边长为时，设腰长为，
根据题意，得，
解得，
经检验，符合题意，
当腰长为时，设底边长为，
根据题意，得，
解得，
，
不能围成三角形，舍去．
所以能围成底边长为的等腰三角形．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
能力强化提升训练
如图，图①中有3个以为高的三角形，图②中有10个以为高的三角形．图③中有为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以为高的三角形的个数为（??????????）
A．55 B．78 C．96 D．105
【答案】B
【分析】结合图形探索三角形个数的规律，从而求解．
【详解】解：第①个图形中有1+2=3个三角形；
第②个图形中有1+2+3+4=10个三角形；
第③个图形中有1+2+3+4+5+6=21个三角形；
…
第n个图形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)个三角形
∴第⑥个图形三角形个数为1+2+3+…+12=6×13=78个，
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，得到第n个图形中三角形的个数的关系式是解决本题的关键．
2.如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（　 　）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【解答】解：三角形根据边分类如下：
三角形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．三角形按边的关系分为两类：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为底和腰不等的等腰三角形以及等边三角形．另外，三角形还可以按角进行分类．
3.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】
解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；
①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．
故选：B．
【点评】此题实际考查的是三角形的三边关系定理的应用，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
4 .若是△ABC的三边长，则化简的结果是________．
【答案】2a
【分析】根据a，b，c为三角形三边长，利用三角形三边关系判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可．
【详解】解：∵a，b，c为三角形三边上，
∴a+b-c>0，b-c-a＜0，
则原式=a+b-c-b+a+c=2a，
故答案为：2a．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
1.如图，一个三角形纸片被木板遮掩了一部分，则这个三角形为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
解：从图中，只能看出三角形的一个角是锐角，剩余的两个角可能都是锐角或有一个钝角，或有一个直角，
故选：D．
三角形是指（　　）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
解：三角形是指由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，
故选：C．
下列对△ABC的判断，错误的是（　　）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则△ABC是锐角三角形
C．若AB＝AC，∠B＝40°，则△ABC是钝角三角形
D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则△ABC是等腰直角三角形
解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝100°，所以△ABC是钝角三角形，故此选项判断不正确，符合题意；
C．若AB＝AC，∠B＝40°，则∠B＝∠C＝40°，∠A＝100°，所以△ABC是钝角三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意．
故选：B．
从长度为1、3、5、7的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，5，7 D．3，5，7
解：A、1+3＜5，三条线段不能围成三角形，故A不符合题意；
B、1+3＜7，三条线段不能围成三角形，故B不符合题意；
C、1+5＜7，三条线段不能围成三角形，故C不符合题意；
D、3+5＞7，三条线段能围成三角形，故D符合题意．
故选：D．
如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝10米，OB＝6米，A、B间的距离可能是（　　）
A．4米 B．12米 C．16米 D．22米
解：连接AB，
∵OA＝10米，OB＝6米，
∴10米﹣6米＜AB＜10米+6米，即4米＜AB＜16米，
故选：B．
一个三角形的两边长分别是和，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为(????)
A. B. C. D.
【答案】D?
【解析】
【分析】
此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【解答】
解：设第三边为，根据三角形的三边关系，得：，
即，
为整数，
的最大值为，
则三角形的最大周长为．
故选：．??
7.下列说法正确的是(????)
A. 所有的等腰三角形都是锐角三角形
B. 等边三角形属于等腰三角形
C. 不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
【答案】B?
【解析】
【分析】
根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可．
本题考查三角形的概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义，属于基础题，中考常考题型．
【解答】
解：、错误，内角为，，的等腰三角形是钝角三角形；
B、正确，等边三角形属于等腰三角形；
C、错误，内角为，，的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形；
D、错误，内角为，，的三角形有两个锐角，是钝角三角形．
故选：．??
8.在△ABC中，AB＝5，AC＝8，则第三边BC的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．13
解：∵AB＝5，AC＝8，
∴3＜BC＜13．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
（每小题4分，共20分）
如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画___________个直角三角形．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意画出所有三角形，然后判断直角三角形即可．
【详解】
：一共可以画出9个三角形：△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△BCE、△BCD、△ADE、△BDE、△CDE，
直角三角形有：△ABE、△EBC、△AED，
故答案为3．
【点评】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
10 .如果三条线段长度为，1，3（为整数），且这三条线段能首尾依次相接组成三角形，那么的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据构成三角形的三条边满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围，即可作答．
【详解】
根据题意有：，
即，
∵a为整数，
∴a=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了构成三角形三边的条件的知识，求出a的取值范围是解答本题的关键．
11 .已知等腰三角形两边的长分别为a，b，且满足．则这个等腰三角形的周长为______．
【答案】17
【解析】
【分析】
首先依据非负数的性质求得a，b的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．
【详解】
解：∵
∴，
解得，
3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、7，
∵，
∴不能组成三角形，
3是底边时，三角形的三边分别为7、7、3，
能组成三角形，周长＝，
所以，三角形的周长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
12 .北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩落在个三角形内，则的值为________．

【答案】
【分析】根据三角形的定义，得到所有的三角形，进一步根据冰墩墩在三角形的位置分析出n的值．
【详解】如图，所有的三角形：△ABC，△ABD，△ACE，△ACD，△ECD共5个．
其中除冰墩墩不能落在△ABD和△ACE内，其它均可， 即冰墩墩落在个三角形内．故答案为：．
13 .如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是________
【答案】10【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．
【详解】
设第三边长为x，
∵有两条边分别为3和5，
∴5-3解得2∴2+3+5∵周长L=x+3+5,
∴10故答案为: 10【点评】此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键。
解答题（共6小题，48分）
（10分）看图填空，如图：
（1）如图中共有　 　个三角形，它们是　 　；
（2）△BGE的三个顶点分别是　 　，三条边分别是　 　，三个角分别是　 　；
（3）△AEF中，顶点A所对的边是　 　；边AF所对的顶点是　　；
（4）∠ACB是△　 　的内角，∠ACB的对边是　 　．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角分别进行分析．
【解答】解：（1）如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF，
故答案为：4；△ABC、△EBG、△AEF、△CGF；
（2）△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、BE，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE，
故答案为：B、G、E；BE、EG、BE；∠B、∠BEG、∠BGE；
（3）△AEF中，顶点A所对的边是EF；边AF所对的顶点是E，
故答案为：EF；E；
（4）∠ACB是△ACB的内角，∠ACB的对边是AB．
故答案为：ACB；AB．
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形中的有关概念．
（8分）用一条长为24cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2.5倍，那么各边长是多少？
（2）能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？说明原因？
【分析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；
（2）分6是底边和腰长两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2.5xcm，
根据题意得，x+2.5x+2.5x＝24，
解得x＝4，则2.5x＝10，
∴各边的长分别为：4cm，10cm，10cm；
（2）若6cm为底时，腰长（24﹣6）＝9cm，
三角形的三边分别为6cm、9cm、9cm，
能围成等腰三角形，
若6cm为腰时，底边＝24﹣6×2＝12，
三角形的三边分别为6cm、6cm、12cm，
∵6+6＝12，
∴不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是6cm，腰长是9cm的等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．
（6分）一个三角形的两边b＝2，c＝7．
（1）当各边均为整数时，有几个三角形？
（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
【分析】（1）根据三角形三边关系得出第三边长的范围，进而解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）设第三边长为a，则5＜a＜9，
由于三角形的各边均为整数，则a＝6或7或8，因此有三个三角形；
（2）当a＝7时，有a＝7＝c，所以周长为7+7+2＝16．
【点评】此题考查三角形，关键是根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质解答．
17.（8分）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
【分析】（1）根据绝对值非负数的性质，得出a＝b或b＝c，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，
∴a＝b或b＝c，
∴△ABC为等腰三角形；
解：（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）
＝a+b﹣c﹣b+c+a
＝2a．
【点评】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
18 .（8分）已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．版权所有
【分析】①利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
②利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而求出△ABC的周长最大值和最小值．
【解答】解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
②∵a＝5，b＝2，c为整数，
∴5﹣2＜c＜2+5，
∴c的最小值为4，c的最大值为6，
∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
19 .（8分）已知，的三边长为，，．
（1）求的周长的取值范围；
（2）当的周长为偶数时，求．
【答案】（1）的周长；（2），或．
【解析】
【分析】
（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．
【详解】
解：（1）的三边长分别为，，，
，即，
的周长，
即：的周长；
（2）的周长是偶数，由（1）结果得的周长可以是，或，
的值为，或．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
拓展培优*冲刺满分
已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有 　 　个．
【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．
【解答】解：，
解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
2.已知P是△ABC内任意一点．
（1）如图1，求证：AB+AC＞PB+PC；
（2）如图2，连接PA，比较AB+AC+BC与PA+PB+PC的大小关系．
【分析】（1）延长BP，交AC于D．在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边可得AB+AD＞BP+PD，同理在△PCD中，可得PD+DC＞PC，再根据不等式的性质得到AB+AD+PD+PC＞BP+PD+PC，进而即可证明AB+AC＞PB+PC；
（2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论；
【解答】解：（1）证明：如图，延长BP，交AC于D．
在△ABD中，AB+AD＞BP+PD，
在△PCD中，PD+DC＞PC，
所以AB+AD+PD+DC＞BP+PD+PC，
即AB+AC＞PB+PC；
（2）PA+PB+PC（AB+BC+AC）．
理由：如图2所示，在△ABP中，AP+BP＞AB．
同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．
以上三式分别相加得到：
2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
即PA+PB+PC（AB+BC+AC）．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键。

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