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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.1 第二课时 直角三角形的两锐角互余
学习目标：
1.知道直角三角形两锐角互余
2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形
3.能应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理.
老师对你说：
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC.
定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°.
2.直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理应用格式：
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：直角三角形的两锐角互余
【例1-1】①.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由.
②如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
【例1-2】如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
知识点2：有两个角互余的三角形是直角三角形
【例2-1】如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
【例2-2】如图所示，有一个三角尺（足够大），其中，把直角三角尺放置在锐角上，三角尺的两边恰好分别经过点．
(1)若，则_________°，__________°，___________°；
(2)若，求的度数；
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．
知识点3：应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理.
【例3-1】如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则 度．
【例3-2】如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数．
能力强化提升训练
如图，，直线与，分别相交于点，，平分，平分．
求证：是直角三角形；
若，求的度数．
2.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．
（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．
（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度数．
（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE＝　 　．（用含α、β的式子表示）
3.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F．
(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
(2)试说明：∠AEF＝∠AFE．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
1.已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，则∠B的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50
在下列条件中：
①∠A+∠B=∠C；
②∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③∠A=2∠B=3∠C；
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4 .在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝40°，则△ABC的形状是（　　）
等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5.在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6 .如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　）
A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2
7 .给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A∠B∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数为（　　）度．
A．23 B．28 C．52 D．56
填空题（每小题4分，共20分）
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A=32°，则∠BCD=__________°．
10 .在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=60°，那么∠A=__________°．
11 .具备下列条件的：；；；其中，不是直角三角形的是 填序号．
12 .如图，将一张直角三角形纸片剪去直角后，得到一个四边形，则 。
13 .如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线AB，CD之间，∠EFG＝30°，∠MNP＝45°．则：①EG∥PM；②∠AEG＝45°；③∠BEF＝75°；④∠CMP＝∠EFN．其中正确的序号是__________
解答题（共6小题，48分）
14 .（7分）如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE=155°，求∠B的度数．
15 .（9分）如图所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题：
（1）图中有几个直角三角形？
（2）∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
（3）若∠B＝70°，∠A和∠CED各是多少度？
16 .（7分）如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．
17 .（8分）如图，在直角中，，，于，是的角平分线．
求的度数；
若，求证：．
18（8分）如图，有一块直角三角尺放置在上，恰好三角尺的两条直角边，分别经过点，．中，，则 __________ ， ．
如图，改变直角三角尺的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点，，那么的大小是否变化若变化，请举例说明若不变化，请求出的大小．
19 .（9分）把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
（1）如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝　 　；若AB∥OC时，则α＝　 　；请写出证明过程．
（2）如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝　 　；请说明理由．
拓展培优*冲刺满分
阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝　 　度；∠ABP+∠ACP＝　 　度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 　 　；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 　 　．
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在CA的延长线上取一点E，过点E作EG⊥BC于点G，EG交于AB于点F，∠ABC、∠CEG的角平分线相交于点H．
（1）求证：∠C+∠BFE＝180°；
（2）延长EH交BC于点M，随着∠C的变化，∠BHE的大小会发生变化吗？如果有变化，求出∠BHE与∠C的数量关系；如果没有变化，求出∠BHE的度数．
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.1 第二课时 直角三角形的两锐角互余（解析版）
学习目标：
1.知道直角三角形两锐角互余
2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形
3.能应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理.
老师对你说：
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC.
定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°.
2.直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理应用格式：
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：直角三角形的两锐角互余
【例1-1】①.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由.
②如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
①.解：∠A=∠D. 理由如下：
方法一：(利用平行的判定和性质)
∵ ∠B=∠C=90°，
∴ AB∥CD，
∴ ∠A=∠D.
方法二：(利用直角三角形的性质)
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠C=90°，
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°，
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠A=∠D.
②解：∠A=∠C. 理由如下：
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠D=90°，
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°，
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠A=∠C.
【点评】两个探究活动的设计让学生在活用直角三角形性质的同时，有图形归纳总结初中几何的基本图形，由形得数量，让学生学会在复杂图形中找到基本图形，掌握基本解题策略。
【例1-2】如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD=∠B. 理由如下：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACD+∠BCD=90°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠B+∠BCD=90°，
∴ ∠ACD=∠B.
知识点2：有两个角互余的三角形是直角三角形
【例2-1】如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°.
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
【例2-2】如图所示，有一个三角尺（足够大），其中，把直角三角尺放置在锐角上，三角尺的两边恰好分别经过点．
(1)若，则_________°，__________°，___________°；
(2)若，求的度数；
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．
(1)解：∵∠A=35°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=145°；
∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=55°，
故答案为：145°；90°；55°；
(2)解：∵∠A=60°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°；
∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=30°；
(3)解：∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由如下：
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A；
∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=180°-∠A-90°，
∴∠ABD+∠ACD+∠A=90°．
知识点3：应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理.
【例3-1】如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则 度．
【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先利用平行线的性质求出，再利用平角的定义求出，最后根据三角形内角和定理求出
即可．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【例3-2】如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数．
解：∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，
∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝60°
又∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
∴，，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝5°，
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°
能力强化提升训练
1.如图，，直线与，分别相交于点，，平分，平分．
求证：是直角三角形；
若，求的度数．
【答案】解：，
，
又平分，平分，
，
，
是直角三角形；
是直角三角形，，
，
又平分，
．
【解析】本题考查了平行线性质，角平分线定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
根据平行线的性质，由得到，再根据角平分线定义得，然后计算出，根据垂直的定义即可得到是直角三角形；
根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可．
2.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．
（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．
（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度数．
（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE＝　 　．（用含α、β的式子表示）
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，再由AE是角平分线，求出∠EAC∠BAC＝25°，由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝5°；
（2）根据角平分线的性质，得∠OAB∠BAC，∠OBA∠ABC，所以∠BOE＝∠OAB+∠OBA（∠BAC+∠ABC）（180°﹣∠C）（180°﹣70°）＝55°；
（3）根据三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣α﹣β，再由AE是角平分线，求出∠EAC（180°﹣α﹣β），由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣β，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）（β﹣α）．
【解答】解：（1）∠ABC＝60°，∠C＝70°
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC∠BAC50°＝25°，
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°；
（2）∵AE，BF是角平分线，
∴∠OAB∠BAC，∠OBA∠ABC，
∴∠BOE＝∠OAB+∠OBA（∠BAC+∠ABC）（180°﹣∠C）（180°﹣70°）＝55°；
（3）∠ABC＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC∠BAC（180°﹣α﹣β），
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）（β﹣α）．
故答案为（β﹣α）．
【点评】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件。
3.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．
【解析】∵∠AFD=152°，
∴∠DFC=28°，
∴∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EDB=∠DFC=28°，
∴∠EDF=180°﹣∠EDB﹣∠FDC=180°﹣90°﹣28°=62°．
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F．
(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
(2)试说明：∠AEF＝∠AFE．
(1)解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°-∠ABE＝72°.
(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
1.已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，则∠B的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，故选：A．
在下列条件中：
①∠A+∠B=∠C；
②∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③∠A=2∠B=3∠C；
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】①∠A+∠B=∠C，是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=1：2：3，是直角三角形；
③∠A=2∠B=3∠C，不是直角三角形；
④∠A=∠B=∠C，不是直角三角形，是等边三角形，
能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，
故选：B．
3.如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
则∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
4 .在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝40°，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【分析】根据三角形内角和定理，求出第三个角即可作出判断．
【解答】解：∵∠C＝180﹣∠A﹣∠B＝180﹣50﹣40＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点评】本此题考查三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°是解决问题的关键．
5.在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，再根据已知的条件逐个求出∠C的度数，即可得出答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，∴①正确；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，∴②正确；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，∴③正确；
④∵∠A＝∠B∠C，
∴∠C＝2∠A＝2∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝45°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，∴④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
6 .如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　）
A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2
【分析】A、B根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断；
C、根据同角的余角来找等量关系；
D、分∠A＝∠B和∠A≠∠B两种情况来讨论．
【解答】解：A、在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，所以∠A与∠1互余，正确；
B、在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，所以∠B与∠2互余，正确；
C、∵∠A+∠1＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠A＝∠2，正确；
D、当∠A＝∠B时，AC＝BC，所以CD既是∠C的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以∠1＝∠2，正确；当∠A≠∠B时，∠1≠∠2，错误；
故选：D．
【点评】解答本题时，主要利用了直角三角形中两个锐角互余的性质．
7 .给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A∠B∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出最大角，然后选择即可．
【解答】解：A、最大角∠C180°＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、最大角∠C＝180°÷2＝90°，是直角三角形，不符合题意；
C、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
所以，x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
最大角∠C＝3×30°＝90°，是直角三角形，不符合题意；
D、设∠A＝x，则∠Bx，∠Cx，
所以，xxx＝180°，
解得x＝180°90°，是钝角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，求出各选项中的最大角是解题的关键．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数为（　　）度．
A．23 B．28 C．52 D．56
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠CAB+∠B＝90°，∠BDE+∠B＝90°，可得∠CAB＝∠BDE，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠BDE，
∵∠BDE＝56°，
∴∠CAB＝56°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE∠CAB＝28°，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
填空题（每小题4分，共20分）
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A=32°，则∠BCD=__________°．
【解析】∵∠C=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=32°，
故答案为：32．
10 .在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=60°，那么∠A=__________°．
【解析】∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A﹣∠B=60°，
∴2∠A=150°，
∴∠A=75°．
故答案为：75．
11 .具备下列条件的：；；；其中，不是直角三角形的是 填序号．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是直角三角形的判定和三角形内角和定理，根据有一个角是的三角形是直角三角形结合三角形的内角和定理逐个判断即可．
【解答】
解：，
，，
，
，，，故是直角三角形；
，
，
，
，，，故是直角三角形；
，
，
，
，故是直角三角形；
由可得，则是钝角三角形，不是直角三角形．
故答案为：．
12 .如图，将一张直角三角形纸片剪去直角后，得到一个四边形，则 。
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理．要会熟练运用内角和定理求角的度数．
根据三角形的内角和和平角的定义即可求解．
【解答】
解：如图，
根据题意可知，
，
．
故答案为．
13 .如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线AB，CD之间，∠EFG＝30°，∠MNP＝45°．则：①EG∥PM；②∠AEG＝45°；③∠BEF＝75°；④∠CMP＝∠EFN．其中正确的序号是__________
【分析】由直角板可得∠EGF＝∠MPN＝90°，可得∠GPM＝90°，即可判断①，过点F作FQ∥AB，由∠EFG＝30°可得∠EFN＝150°，由平行线的性质可得∠NFQ＝∠MNP＝45°，可得∠EFQ＝105°，再由平行线的性质可得∠BEF＝75°，即可判断③，由③即可判断②，利用∠PMN可得∠CMP，即可判断④．
【解答】解：如图，过点F作FQ∥AB，
∵∠EGF＝∠MPN＝90°，
∴∠GPM＝90°，
∴EG∥PM，
∴①正确；
∵AB∥CD，
∴FQ∥CD，
∵∠EFG＝30°，∠MNP＝45°，
∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，∠NFQ＝∠MNP＝45°，
∴∠EFQ＝∠EFN﹣∠NFQ＝105°，
∵FQ∥AB，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFQ＝75°，
∴③正确；
∵∠FEG＝60°，
∴∠AEG＝180°﹣∠BEF﹣∠FEG＝45°，
∴②正确；
∵∠MNP＝45°，
∴∠PMN＝45°，
∴∠CMP＝180°﹣∠PMN＝135°，
∴∠CMP≠∠EFN，
∴④错误；
综上，正确的有①②③，
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理．
解答题（共6小题，48分）
14 .（7分）如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE=155°，求∠B的度数．
【解析】∵∠ADE=155°，∠ADE+∠CDE=180°，
∴∠CDE=25°．
∵DE∥BC，
∴∠C=∠CDE=25°．
在△ABC中，∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°﹣25°=65°
15 .（9分）如图所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题：
（1）图中有几个直角三角形？
（2）∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
（3）若∠B＝70°，∠A和∠CED各是多少度？
【分析】（1）根据直角三角形定义，从直角顶点考虑写出即可；
（2）根据同角的余角相等解答；
（3）根据直角三角形两锐角互余求出∠A，然后求出∠AEH，再根据对顶角相等求出∠CED．
【解答】解：（1）∵DH⊥AB于H，
∴△AEH和△BDH是直角三角形，
∵AC⊥BD于C，
∴△ABC和△CDE是直角三角形，
所以，直角三角形有四个；
（2）∵DH⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AEH+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，
∴∠AEH＝∠B；
（3）∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
由（2）可知，∠AEH＝∠B＝70°，
所以，∠CED＝∠AEH＝70°（对顶角相等）．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，以及直角三角形的定义，是基础题，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
16 .（7分）如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．
【分析】根据平角的概念求出∠ACB＝90°，根据对顶角相等、直角三角形的性质证明结论．
【解答】证明：∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，
∴∠AOE＝∠B，
∵∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BAC+∠AOE＝90°，
∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．
【点评】本题考查的是直角三角形的概念和性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
17 .（8分）如图，在直角中，，，于，是的角平分线．
求的度数；
若，求证：．
【答案】解：，，
．
平分，，
，
．
证明：，，
，
．
18（8分）如图，有一块直角三角尺放置在上，恰好三角尺的两条直角边，分别经过点，．中，，则 __________ ， ．
如图，改变直角三角尺的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点，，那么的大小是否变化若变化，请举例说明若不变化，请求出的大小．
【答案】解：
不变化．
，
．
，
．
．
19 .（9分）把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
（1）如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝　 　；若AB∥OC时，则α＝　 　；请写出证明过程．
（2）如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝　 　；请说明理由．
【分析】（1）利用平行线的性质求解即可；
（2）分两种情形：当∠D＝∠DOE＝45°时，当∠DOE＝∠DEO＝67.5°时，分别求解．
【解答】解：（1）当OA∥CD时，
∠AOD＝∠D＝45°，
∴α＝45°，
当AB∥OC时，
∠AOD+∠A＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∴α＝60°，
故答案为：45°，60°．
（2）当∠D＝∠DOE＝45°时，α＝45°，
当∠DOE＝∠DEO＝67.5°时，α＝67.5°，
故答案为：45°或67.5°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
拓展培优*冲刺满分
阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝　 　度；∠ABP+∠ACP＝　 　度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 　 　；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 　 　．
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，
故答案为：90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；
（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2：
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在CA的延长线上取一点E，过点E作EG⊥BC于点G，EG交于AB于点F，∠ABC、∠CEG的角平分线相交于点H．
（1）求证：∠C+∠BFE＝180°；
（2）延长EH交BC于点M，随着∠C的变化，∠BHE的大小会发生变化吗？如果有变化，求出∠BHE与∠C的数量关系；如果没有变化，求出∠BHE的度数．
【分析】（1）根据四边形内角和定理可求出∠C+∠AFG＝180°，再由对顶角相等和等量代换可得出结论；
（2）根据题意可得2∠BHE＝∠ABC+∠CEG+2∠C，进一步可得出∠BHE＝90°，从而可得出随着∠C的变化，∠BHE的度数不会变化，始终为90°．
【解答】解：（1）∵∠C+∠BAC+∠EGC+∠AFG＝360°，∠BAC＝90°，∠CGE＝90°，
∴∠C+∠AFG＝180°．
∵∠BFE＝∠AFG，
∴∠C+∠BFE＝180°．
（2）随着∠C的变化，∠BHE的度数不会变化，始终为90°．
∵∠BHE＝∠HBM+∠BME，∠BME＝∠C+∠CEM，
∴∠BHE＝∠HBM+∠CEM+∠C．
∵BH平分∠ABC，EH平分∠CEG，
∴，
∴2∠BHE＝∠ABC+∠CEG+2∠C．
∵∠C+∠ABC＝90°，∠C+∠CEG＝90°，
∴2∠C+∠ABC+∠CEG＝90°+90°＝180°，
∴2∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝90°．
【点评】本题主要考查了角平分线以及四边形内角和定理，正确识别图形是解答本题的关键．
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