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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.3多边形及其内角和
11.3.1 多边形
学习目标：
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形.
2.掌握正多边形的概念.
3.会求多边形的对角线的条数.
老师对你说：
多边形的定义及相关概念
多边形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形…….三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
2.相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3.多边形的分类:
画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
正多边形
各个角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形.
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：多边形及其概念
【例1-1】如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【例1-2】.下列图形不是凸多边形的是(　　)
【例1-3】下列说法错误的是（ ）
A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形
【例1-4】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
知识点2：多边形的对角线
【例2-1】夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　
(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.
(2)拓展应用：
有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话
【例2-2】我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（　　）

A．54 B．44 C．35 D．27
【例2-3】若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（　　）边形．
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
【例2-4】过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
能力强化提升训练
1.小李同学将10cm，12cm，16cm，22cm的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（　　）
A．25cm B．27cm C．28cm D．31cm
2.过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
3 .把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．
4.如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2017个三角形，那么这个多边形是（ ）边形
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
5.连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
1 .对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
2 .如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3.下列说法中，正确的有（ ）
①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；
②三角形是边数最少的多边形；
③n边形有n条边、n个顶点.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（　　）
A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
5 .下列图形中，是正八边形的是（　　）
A． B．
C． D．
6.将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
7.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：______（填“＞”“＜”“＝”）
A． B．
C． D．无法判断
8 .从一个多边形的一个顶点出发，最多可画条对角线，则它是（ ）边形．
A． B． C． D．
填空题（每小题4分，共20分）
9 .一个五边形共有 条对角线．
10.我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么n边形有______条对角线．
11.若一个多边形经过一个顶点的对角线将该多边形分成8个三角形，则该多边形为 边形．
12 .把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．
13 .连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，多边形的边数为___________．
解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）已知正多边形的周长为 56，从其一个顶点出发共有 4 条对角线，求这个正多边形的边长．
15 .（8分）已知从一个六边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个六边形分成了m个三角形，且这些对角线的条数是n，求的值．
16 .（8分）画图题：
(1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形；
(2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形；
(3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形．
【答案】(1)见解析
（8分）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是几边形？
18.（8分）过m边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，求的值.
19 .（8分）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形；
(2)拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示）
(4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．
拓展培优*冲刺满分
1 .过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，过边形一个顶点的对角线条数是边数的，则______________________.
2.我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉______________根木条.（用表示，为大于3的整数）
3.请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________
多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________
（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________；
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.3多边形及其内角和
11.3.1 多边形（解析版）
学习目标：
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形.
2.掌握正多边形的概念.
3.会求多边形的对角线的条数.
老师对你说：
多边形的定义及相关概念
多边形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形…….三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
2.相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3.多边形的分类:
画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
正多边形
各个角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形.
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：多边形及其概念
【例1-1】如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．
故选：A
【例1-2】.下列图形不是凸多边形的是(　　)
【答案】D
【解析】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D的图形不是凸多边形．故选D.
【点评】多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．
【例1-3】下列说法错误的是（ ）
A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形
【答案】D
【分析】根据四边形的定义以及多边形的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：A．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，所以多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，故本选项正确，不符合题意；
B．在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，故本选项正确，不符合题意；
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，例如圆，故本选项正确，不符合题意；
D．多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了四边形的定义以及多边形的定义，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握．
【例1-4】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
【答案】D
【分析】正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断.
【详解】解：A、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
B、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
C、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
知识点2：多边形的对角线
【例2-1】夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　
(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.
(2)拓展应用：
有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话
【答案】(1)①，②
(2)他们一共通了2850次电话
【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；
（2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得．
【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数），
故答案为：，．
（2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，
则，
答：他们一共通了2850次电话．
【点评】本题考查了多边形的对角线条数问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
【例2-2】我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（　　）

A．54 B．44 C．35 D．27
【答案】C
【分析】根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有条对角线，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为。
【例2-3】若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（　　）边形．
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
【答案】A
【分析】边形一个顶点可以画条对角线，代入数据计算即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形．
依题意，得，
∴．
故这个多边形是2017边形，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的对角线条数，熟记公式是解题关键．
【例2-4】过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得：，
解得：，
即这个多边形是七边形，
故选C．
【点评】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
能力强化提升训练
1.小李同学将10cm，12cm，16cm，22cm的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（　　）
A．25cm B．27cm C．28cm D．31cm
【答案】B
【解答】解：如图，设AD＝10cm，AB＝12cm，BC＝16cm，CD＝22cm，连接AC和BD，
由三角形ABC和△ACD可知AC＜12+16＝28，AC＜10+22＝32，
所以AC＜28，
由三角形ABD和△BCD可知BD＜12+10＝22，DB＜16+22＝38，
以BD＜22，
四边形对角线长为整数，
∴对角线最长为27，
故选：B．
2.过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得：，
解得：，
即这个多边形是七边形，
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
3 .把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．
【答案】3或4或5．
【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变．
【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角，
故答案为：3或4或5．
【点评】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键．
4.如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2017个三角形，那么这个多边形是（ ）边形
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】B
【分析】根据经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数．
【详解】设多边形有n条边，
则，
解得：，
故选：B．
【点评】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式．
5.连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数．
【答案】8
【分析】根据过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形即可得出结果．
【详解】解：设多边形的边数为，依题意得，解得．
∴多边形的边数为8．
【点评】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形是本题的关键．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
1 .对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
【答案】A
【分析】A. 由正多边形的性质可得
B. 举反例判断即可
C. 举反例判断即可
D. 举反例判断即可
【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确
B. 菱形不是正方形，错误
C. 矩形不是正方形，错误
D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键．
2 .如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：A．
【点评】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．
3.下列说法中，正确的有（ ）
①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；
②三角形是边数最少的多边形；
③n边形有n条边、n个顶点.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据多边形的定义判断即可．
【详解】由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，①不正确；易知②③正确，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的定义，掌握知识点是解题关键．
下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（　　）
A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
【答案】A
【解答】解：A、∵2+2+2＝6＞5，
∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；
B、∵1+1+5＝7＜8，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
C、∵1+2+2＝5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
D、∵1+1+1＝3＜5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
5 .下列图形中，是正八边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由正八边形的定义可知，C选项中的图形是正八边形，
故选：C．
6.将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．
【详解】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选：．
【点评】本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．
7.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：______（填“＞”“＜”“＝”）
A． B．
C． D．无法判断
【答案】C
【分析】利用网格分别计算的面积与的面积即可比较大小．
【详解】解∶如图，
=4
g
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用网格求三角形的面积，能利用割补法对不规则三角形进行转化求面积是解题的关键．
8 .从一个多边形的一个顶点出发，最多可画条对角线，则它是（ ）边形．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多边形从一点出发引对角线的计算方法是，为多边形的边数，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，，解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查多边形的对角线与边数的关系，掌握多边形每个顶点引对角线的计算方法是解题的关键．
填空题（每小题4分，共20分）
9 .一个五边形共有 条对角线．
【答案】5
【分析】由n边形的对角线有： 条，再把代入计算即可得．
【详解】解：边形共有条对角线，
五边形共有条对角线．
故答案为：5
【点评】本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键．
10.我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么n边形有______条对角线．
【答案】
【分析】由于边形从一个顶点出发可画条对角线，所以边形共有条对角线，根据以上关系直接计算即可．
【详解】解：三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，
边形有条对角线．
故答案为：．
【点评】本题考查了多边形对角线的定义及计算公式，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．
11.若一个多边形经过一个顶点的对角线将该多边形分成8个三角形，则该多边形为 边形．
【答案】十
【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，计算可求解．
【详解】解：设这是个n边形，由题意得：
，
故答案为：十．
【点评】本题考查了多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键．
12 .把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．
【答案】3或4或5．
【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变．
【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角，
故答案为：3或4或5．
【点评】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键．
13 .连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，多边形的边数为___________．
【答案】8
【分析】根据过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形即可得出结果．
【详解】解：设多边形的边数为，依题意得，解得．
∴多边形的边数为8．
【点评】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形是本题的关键．
解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）已知正多边形的周长为 56，从其一个顶点出发共有 4 条对角线，求这个正多边形的边长．
【答案】这个多边形的边长为 8．
【分析】根据从一个顶点出发共有 4 条对角线，求出这是正七边形即可求出边长.
【详解】∵过多边形的一个顶点共有 4 条对角线， 故该多边形边数为 4+3＝7，
设这个正方形的边长为 x， 则 7x＝56，
解得：x＝8
∴这个多边形的边长为 8．
【点评】本题考查了正n边形的对角线和周长,属于简单题,熟悉正多边形对角线的求法是解题关键.
15 .（8分）已知从一个六边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个六边形分成了m个三角形，且这些对角线的条数是n，求的值．
【答案】
【分析】根据从多边形的一个顶点出发有条对角线，把多边形分成个三角形，求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：因为从六边形的某一个顶点出发的所有对角线共有3条，将六边形分成了4个三角形，
所以，
所以．
【点评】本题考查多边形的对角线．熟练掌握从多边形的一个顶点出发有条对角线，是解题的关键．
16 .（8分）画图题：
(1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形；
(2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形；
(3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可；
（2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；
（3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；
【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可；
（2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；
（3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；
【点评】本题考查多边形的对角线问题，能够熟练画出多边形的对角线是解决本题的关键．
（8分）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是几边形？
【答案】九边形
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值．
【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7，
解得：n=9，
故这个多边形是九边形．
【点评】本题考查了多边形的对角线分成三角形的问题，理解n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形是解题的关键．
18.（8分）过m边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，求的值.
【答案】8
【分析】根据n边形过一个顶点有条对角线，共有条对角线．
【详解】解：依题意有，，，
解得，
则．
【点评】熟悉多边形中的一些公式：n边形过一个顶点有条对角线，共有条对角线．
19 .（8分）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形；
(2)拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示）
(4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．
【答案】(1)1，2；
(2)3，4；
(3)
(4)8
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答；
（3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答；
（4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答．
【详解】（1）解：如下图：
经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2；
（2）解：拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：3，4；
（3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形，
故答案为：；
（4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形，
故答案为：．
【点评】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键。
拓展培优*冲刺满分
1 .过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，过边形一个顶点的对角线条数是边数的，则______________________.
【答案】13
【解析】
【分析】
根据过n边形一个顶点有n-3条对角线进行解答即可．
【详解】
解：∵过十边形的一个顶点有7条对角线，∴m=10，
∵三角形没有对角线，∴n=3，
又∵k-3= k，解得，k=6，
∴m-n+k=13，
故答案为13．
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的求法，掌握过n边形一个顶点有n-3条对角线是解题的关键．
2.我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉______________根木条.（用表示，为大于3的整数）
【答案】n-3
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
【详解】
过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．
故答案为：（n-3）．
【点评】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形的问题．
3.请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________
多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________
（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________；
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
【答案】（1）①；②；（2）135个
【解析】
【分析】
（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②；
（2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。
【详解】
（1）由表可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为．
故答案为：①；②
（2）因为（名），18名学生看成是顶点数为18的多边形，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，则由（1）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话为（个）．
【点评】
本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用：同组三个人之间不能打电话，对应多边形的一个顶点不能与相邻的两个顶点连成对角线，因此18个人对应18个顶点，不同组的两位同学间打一个电话对应连接两顶点的一条对角线.
凸多边形
凹多边形
凸多边形
凹多边形
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