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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
第一课时二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
学习目标：
1.通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．
2.由二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征及性质类比地学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
一、一般式化为顶点式（配方法）
利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
二、二次函数y=ax +bx+c的图像与性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时y最小值= 当时y最大值=
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数y=ax2+bx+c的图像开口方向，对称轴，顶点坐标
【例1-1】将化成的形式，则_____．
【例1-2】抛物线的开口方向___________，对称轴是___________，顶点坐标是___________．
【例1-3】二次函数，当时，y的取值范围为____________．
知识点2：二次函数y=ax2+bx+c)图像性质
【例2-1】下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 12 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．
B．这个函数的最小值是
C．一元二次方程的根是
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【例2-2】如图，抛物线与y轴的交点为，下列结论正确的是（　　）
A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大面增大
C．图像在第三象限内，y随x的增大而增大 D．图像在第四象限内，y随x的增大而增大
【例2-3】已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
… …
… …
(3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较 与 的大小．
能力强化 能力强化训练
1 .已知点，，，在二次函数的图象上，若，，，四个数中有且只有一个数大于0，则a的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
2 .如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________．
3.已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
已知点，在抛物线上，且，，若对于，，都有，则的取值范围是______．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣7，则这条抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（ 2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（ 3，﹣2）
2.若二次函数y＝x2+2x+c﹣1图象的顶点在x轴上，则常数c的值为（　　）
A．c＝2 B．c＝1 C．c＝﹣2 D．c＝0
3.已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
4 .下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 12 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．
B．这个函数的最小值是
C．一元二次方程的根是
D．当时，y的值随x值的增大而增大
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是(　　)
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－
6.下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（　　）
①开口方向向上；
②对称轴是直线x＝﹣4；
③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
已知点A（m，y1）B（m+2，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y2＞y1，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣3 B．m＞﹣3 C．m＜﹣2 D．m＞﹣2
8 .已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　）
A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
二、填空题（每小题4分，共20分
9 .二次函数的图象开口向 ，顶点坐标为 ．
10 .抛物线与轴交点坐标为__________．
11 .把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________．
12 .已知点，在二次函数的图像上，则 （填“>”“<”或“=”）．
13 .如图是二次函数的图像，该函数的最小值是 ．
解答题（共48分）
14 .（8分）（1）将函数配方成顶点式为______．
（2）画出其图象并回答问题：
当时，y的范围是______．
15 .（8分）已知抛物线经过点(1，0)，(0，3)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
16 .（12分）已知二次函数的图像为抛物线C．
(1)抛物线C顶点坐标为______；
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由；
(3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
17.（9分）如图，已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当0(3)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
18 .（11分）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
(1)用配方法求出顶点D坐标
(2)画出函数图象
(3)直接写出四边形的面积；
拓展培优*冲刺满分
1 .已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则 ；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
第一课时二次函数y=ax +bx+c的图象和性质（解析版）
学习目标：
1.通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．
2.由二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征及性质类比地学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
一、一般式化为顶点式（配方法）
利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
二、二次函数y=ax +bx+c的图像与性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时y最小值= 当时y最大值=
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数y=ax2+bx+c的图像开口方向，对称轴，顶点坐标
【例1-1】将化成的形式，则_____．
【答案】
【分析】利用配方法，进行一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查将一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，是解题的关键．
【例1-2】抛物线的开口方向___________，对称轴是___________，顶点坐标是___________．
【答案】 下
【分析】根据二次项系数确定开口方向，利用配方法转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
【详解】∵，而，
∴开口方向向下．
∵，
∴对称轴是，顶点坐标是．
故答案为：下，，．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴是直线，顶点坐标为
【例1-3】二次函数，当时，y的取值范围为____________．
【答案】/
【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，确定最大值，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴当时，y有最小值，
当时，；
当时，；
∴当时，y的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键．
知识点2：二次函数y=ax2+bx+c)图像性质
【例2-1】下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 12 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．
B．这个函数的最小值是
C．一元二次方程的根是
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可判断A、B、D选项，解相应的方程即可判断C选项，进而可得答案.
【详解】解：把点代入，得
，解得：，
所以抛物线的解析式为；
∴，这个函数的最小值是，当时，y的值随x值的增大而增大，
故A、B、D选项错误；
方程即为，此方程的两根是，故选项C正确；
故选：C.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识，正确求解函数的解析式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
【例2-2】如图，抛物线与y轴的交点为，下列结论正确的是（　　）
A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大面增大
C．图像在第三象限内，y随x的增大而增大 D．图像在第四象限内，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】根据函数图像及函数的性质直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，对称轴左边y随x的增大而减小，右边y随x的增大而增到，与对称轴相交时函数取最小值，
∴当时，y随x的增大而增大，故A错误不符合题意，
对称轴无法判断故当时，y随x的增大面增大不正确，不符合题意；
图像在第三象限内，y随x的增大有增大也有减小，故不符合题意，
第四象限图像在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
故选D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据图像得到开口向上，对称轴在y轴左侧，对称轴左边y随x的增大而减小，右边y随x的增大而增到，对称轴时取最小．
【例2-3】已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
… …
… …
(3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较 与 的大小．
【答案】(1)，
(2)填表见解析，画图见详解
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴，代入对称轴的值即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可；
（3）根据函数图像的特点即可求解．
【详解】（1）解：抛物线中，，
∴对称轴为，顶点坐标公式中横坐标为，
∴顶点坐标的纵坐标的值为，
∴顶点坐标为，
故答案为：，．
（2）解：抛物线中自变量的取值范围为全体实数，自变量适当如图所示（答案不唯一），
… …
… …
描点、连线如图所示，
（3）解：由（2）可知，当时，函数值随自变量的增大而增大，
∴横坐标满足时，两点，中，
∴当时，．
【点评】本题主要考查二次函数的综合知识，掌握二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法，绘图的方法，二次函数图像的性质是解题的关键．
能力强化 能力强化训练
1 .已知点，，，在二次函数的图象上，若，，，四个数中有且只有一个数大于0，则a的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】先求出，同理：，，，根据，，，四个数中有且只有一个数大于0，列不等式组，或者，问题随之得解．
【详解】根据题意有：，
同理：，，，
∵，，，四个数中有且只有一个数大于0，
∴，或者，
解得：，或者，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质以及不等式的知识，正确求出，，，值，根据题意列出不等式组，是解答本题的关键．
2 .如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________．
【答案】
【分析】由二次函数图象经过点，对称轴为直线，可以求得其关于对称轴对称点的坐标，即可解答．
【详解】解：∵二次函数图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数图象经过点，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．
3.已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
故选：B．
已知点，在抛物线上，且，，若对于，，都有，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据抛物线解析式可得对称轴为，然后分四种情况列出不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线上，
∴对称轴为：，
又∵二次项系数为，
∴当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
①当点，在对称轴右侧或对称轴上时，
，
不等式组的解集为空集；
②当点，在对称轴左侧或对称轴上时，
，
不等式组的解集为空集；
③当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时，
设点关于对称轴的对称点，则
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
④当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时，
设点关于对称轴的对称点，
由③可知：∴，
∵，
∴，
∴，
不等式组的解集是空集；
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，不等式组的应用，运用了分类讨论的思想．解题的关键是分类画出图形，根据二次函数的性质列不等式组．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣7，则这条抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（ 2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（ 3，﹣2）
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣6x﹣7＝﹣（x+3）2+2，
∴其顶点坐标为（﹣3，2）．
故选：B．
2.若二次函数y＝x2+2x+c﹣1图象的顶点在x轴上，则常数c的值为（　　）
A．c＝2 B．c＝1 C．c＝﹣2 D．c＝0
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝2x2+2x+c﹣1的图象顶点在x轴上，
∴Δ＝4﹣4（c﹣1）＝0，
解得c＝2．
故选：A．
3.已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
【详解】解：根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
4 .下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 12 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．
B．这个函数的最小值是
C．一元二次方程的根是
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可判断A、B、D选项，解相应的方程即可判断C选项，进而可得答案.
【详解】解：把点代入，得
，解得：，
所以抛物线的解析式为；
∴，这个函数的最小值是，当时，y的值随x值的增大而增大，
故A、B、D选项错误；
方程即为，此方程的两根是，故选项C正确；
故选：C.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识，正确求解函数的解析式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是(　　)
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－
【详解】解：将点( 4，0)、( 1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y=x +5x+4．
A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；
B． = ，当x 时，y随x的增大而增大，B不正确；
C． y=x +5x+4=(x+) ，二次函数的最小值是 ，C不正确；
D． = ，抛物线的对称轴是x= ，D正确．
故选D．
6.下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（　　）
①开口方向向上；
②对称轴是直线x＝﹣4；
③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
故①正确，②错误，③正确；
令y＝0，即x2+4x﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣5，
∴抛物线开口向上，与x轴交于（1，0），（﹣5，0），
∴当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，
故④正确，
综上所述，正确的有：①③④，
故选：C．
已知点A（m，y1）B（m+2，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y2＞y1，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣3 B．m＞﹣3 C．m＜﹣2 D．m＞﹣2
【答案】C
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵C为抛物线的顶点，
∴x0＝﹣1，
∵y0≥y2＞y1，
∴抛物线开口向下，
﹣1﹣m＞m+2﹣（﹣1）
解得m＜﹣2．
A，B两点都在对称轴的左侧也可以，
故选：C．
8 .已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　）
A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
【答案】C
【解答】解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，
∴当x＜2时，y随着x增大而增大，
∴当x＝时有最大值y＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5，
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分
9 .二次函数的图象开口向 ，顶点坐标为 ．
【答案】 上
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
故答案为：上，．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，化为顶点式是解题的关键．
10 .抛物线与轴交点坐标为__________．
【答案】
【分析】令，求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】解：令，即，
解得
则抛物线与x轴的交点坐标为,
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法是解题的关键．
11 .把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________．
【答案】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
得．
故答案为：．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握此规律解题是本题的关键．
12 .已知点，在二次函数的图像上，则 （填“>”“<”或“=”）．
【答案】>
【分析】由抛物线开口向上可得，距离对称轴越远的点，值越大，从而求解．
【详解】由可得抛物线开口向上，对称轴为
∵
∴
故答案为：＞．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握比较函数值大小的方法．
13 .如图是二次函数的图像，该函数的最小值是 ．
【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点，
则，，
解得，
将代入得：，解得，
则二次函数的解析式为，
当时，，
即该函数的最小值是，
故答案为：．
解答题（共48分）
14 .（8分）（1）将函数配方成顶点式为______．
（2）画出其图象并回答问题：
当时，y的范围是______．
【答案】（1）（2）图象见解析；y的范围是
【分析】（1）根据配方法求解即可；
（2）根据（1）中求得的表达式画出图象即可，根据图象即可得到y的范围．
【详解】解：（1）．
故答案为：．
（2）列表如下：
x 1 3
6 0 0 6
在平面直角坐标系中描出各点，用平滑的曲线连接如图所示：
由图象可得，当时，y的范围是．
【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
15 .（8分）已知抛物线经过点(1，0)，(0，3)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
16 .（12分）已知二次函数的图像为抛物线C．
(1)抛物线C顶点坐标为______；
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由；
(3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2)不经过，说明见解析
(3)
【分析】（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可．
（2）由题意得出平移后的函数表达式，将点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比较，相等则抛物线过该点．
（3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最小值，然后将代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围．
【详解】（1）解：化成顶点式为
∴顶点坐标为
故答案为：．
（2）解：由题意知抛物线的解析式为
将代入解析式解得
∴不经过点．
（3）解：∵对称轴直线在中
∴最小的函数值
将代入解析式得
将代入解析式得
∵
∴函数值的取值范围为．
【点评】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解题的关键在于正确的表示出函数解析式．
17.（9分）如图，已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当0(3)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
【详解】（1）解：将点A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝+bx+c
解得，
抛物线的解析式为：，
；
（2），物线的对称轴为，开口向下，y的最大值为4，
如图，
0＜x＜3时，；
（3）设P（x，y），
△PAB的高为|y|，
A（﹣1，0），B（3，0），
，
，
解得，
当时，
，
此时方程无解，
当时，
，
解得，
或．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18 .（11分）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
(1)用配方法求出顶点D坐标
(2)画出函数图象
(3)直接写出四边形的面积；
【答案】(1)
(2)见解析
(3)9
【分析】（1）利用配方法把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）分别求出抛物线与y轴，与x轴的交点坐标，在画出图形，即可求解；
（3）根据四边形的面积为，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴顶点D坐标为；
（2）解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和，
画出函数图象，如下：
（3）解：过点D作轴于点E，则，
由（2）得∶ ，，，
∴四边形的面积为
．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口，另外注意将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积和进行求解．
拓展培优*冲刺满分
1 .已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
故选：B．
若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
【详解】解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则 ；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
【详解】解：（1）将代入得：
故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵
∴当a=1时，有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
老师对你说：
老师对你说：
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