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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.3实际问题与二次函数
第二课时 商品利润最大值
学习目标：
1 掌握商品利润问题中的数量关系
2 能够利用二次函数性质解决商品销售过程中的最大利润问题
一、用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
二、利用二次函数解决利润问题
利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：
①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；
②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；
③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；
④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。
利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
基础提升 教材核心知识点精练
知识点:商品销售中的利润最大值
【例1-1】我市某工艺厂为迎接亚运会，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放某工艺品店进行试销．据市场调查，若每件30元销售，一个月能售出500件，销售单价每上涨10元，月销售量就减少100件，问：
（1）当销售单价定为每件60元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每件元，月销售利润为元，求与的函数关系式，并求出最大利润。
【例1-2】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）若现在设每件衬衫降价元，平均每天盈利为元．求出与之间的函数关系式．
（2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？
（3）若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价多少元．
【例1-3】一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
【例1-4】某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；
（2）设这批小龙虾放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示
①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润=销售总额－总成本）
能力强化 能力强化训练
1 .某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润等于600元，请你求出销售单价是多少？
2 .直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)若销售单价不低于15元/，且每天至少销售时，求W的最大值．
端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
4.某工厂生产并销售，两种型号车床共台，生产并销售台型车床可以获利万元；如果生产并销售不超过台型车床，则每台型车床可以获利万元，如果超出台型车床，则每超出台，每台型车床获利将均减少万元．设生产并销售型车床台．
(1)当时，若生产并销售型车床比生产并销售型车床获得的利润多万元，问：生产并销售型车床多少台？
(2)当时，设生产并销售，两种型号车床获得的总利润为万元，如何分配生产并销售，两种车床的数量，使获得的总利润最大？并求出最大利润．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
2．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
4．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（　　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
5．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：
①当时，
②与之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
6．某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（　　）
A．16元 B．21元 C．24元 D．25元
7．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（ ）
A．55 B．56 C．57 D．58
8.某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　）
A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）] D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）
10 .某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（　　）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
11 .某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为 元（利润＝总销售额－总成本）．

12 .某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤24，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若利润为y，则y关于x的解析式_______，若利润最大，则最大利润为______元．
13 .某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园里每多种一棵树，平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增____棵苹果树，所结苹果的总数最多．
三、解答题（共48分）
14.．（8分）2022年春节临近，新冠肆虐，自我保护，刻不容缓．据市民需要，聪明的商人李某购进一款防护PM2.5的口罩，每件成本是5元，为了合理定价，投放市场试销，经调查可知，销售单价是10元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低0.1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(2)求出销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大是多少元？
15 .（7分）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
16.（9分） 某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
17 .（8分）2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．

(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套当销售单价降低m元时，每天的利润为W．求当m为何值时利润最大最大利润是多少？
18 .（8分） 某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天（）的销售价格为（）元，日销售量（）与的函数关系如图所示．
(1)求与的函数解析式；
(2)销售该商品第几天时，日销售利润最大？
(3)结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？
19.（8分）某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10(1)写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
拓展培优*冲刺满分
1.某厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看成一次函数y＝－2x＋100．
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式．
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据相关部门的规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本是多少万元？
2. 种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓．因受疫情影响，多地封村村路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动．在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg．第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式为．第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg．已知种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为p kg，利润为W元（利润＝销售收入－成本）．
(1)k＝______，b＝______；
(2)请写出p关于x的函数关系式： ______；
(3)求销售草莓第几天，当天销售利润最大？最大利润是多少元？
九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.3实际问题与二次函数
第二课时 商品利润最大值（解析版）
学习目标：
1 掌握商品利润问题中的数量关系
2 能够利用二次函数性质解决商品销售过程中的最大利润问题
一、用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
二、利用二次函数解决利润问题
利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：
①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；
②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；
③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；
④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。
利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
基础提升 教材核心知识点精练
知识点:商品销售中的利润最大值
【例1-1】我市某工艺厂为迎接亚运会，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放某工艺品店进行试销．据市场调查，若每件30元销售，一个月能售出500件，销售单价每上涨10元，月销售量就减少100件，问：
（1）当销售单价定为每件60元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每件元，月销售利润为元，求与的函数关系式，并求出最大利润。
【答案】（1）200，8000；（2）w＝－10（x－50）2＋9000，最大利润为9000．
【解析】
【分析】
（1）根据题意即可列式求解；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数关系式，将解析式配方成顶点式，结合x的取值范围利用二次函数的性质求解可得．
【详解】
解：（1）当销售单价定为每件60元时，销售量为500-10（60-30）=200（件）
∴月销售利润=（60-20）×200=8000（元）
（2）依题意得w＝（x－20）[500－10（x－30）]
＝－10（x－50）2＋9000
∴当x＝50时，w的最大值为9000，即最大利润为9000．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用销量×单件利润＝总利润得出函数解析式是解题关键．
【例1-2】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）若现在设每件衬衫降价元，平均每天盈利为元．求出与之间的函数关系式．
（2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？
（3）若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价多少元．
【答案】（1）；（2）即当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利450元；（3）降价10元或20元．
【解析】
【分析】
（1）设每套降价x元，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后根据每天的盈利等于每套的盈利乘以套数，得出y与x的函数关系即可，
（2）根据配方法求出二次函数的最值，进而得出答案；
（3）令y＝1200，根据（1）的函数关系求出自变量的取值即可．
【详解】
解：（1）；
（2），
∵，
∴当时，有最大值1250，
即当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利元；
（3）当时，则，解得，，所以商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价10元或20元．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后得到平均每天的盈利与降价之间的函数关系式是解题的关键．
【例1-3】一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
【答案】（1）；（2）70；（3）该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
【解析】
【分析】
（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式；
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【详解】
（1）设y与x的函数关系式为（），根据题意得：，解得：，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得：（﹣x+150）（x﹣20）=4000，解得，（不合题意，舍去），
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：==，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225，
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
【例1-4】某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；
（2）设这批小龙虾放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示
①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润=销售总额－总成本）
【答案】（1）a的值为0．04，b的值为30；（2）①；②当t为55天时，w最大，最大值为180250元
【解析】
【分析】
（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50②就以上两种情况，根据“利润=销售总额-总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．
【详解】
解：（1）由题意，得
解得
∴的值为0．04,的值为30
(2)①当≤≤时, 设与的函数关系式为,
∵过点(0,15)和(50,25)，
∴
解得
∴与的函数关系式为
当＜≤时, 设与的函数关系式为,
∵过点(50,25)和(100,20)，
∴
解得
∴与的函数关系式为
∴与的函数关系式为
②当≤≤时,．
∵3600＞0,
∴当时,最大值=180000；
当＜≤时,
∵-10＜0,
∴当时,最大值=180250．
综上所述，当为天时,最大，最大值为180250元．
【点评】本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是二元一次方程组和待定系数法．
能力强化 能力强化训练
1 .某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润等于600元，请你求出销售单价是多少？
【答案】（1）y=-x+120；（2）Q= -（x-85）2+1225；（3）60元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可；
（2）根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式；
（3）令函数关系式Q=600，解得x的知，利用“获利不得高于40%”求得x的最大值，得出销售单价x．
【详解】
解：（1）设y=kx+b，根据题意得解得：
，
解得：，
所求一次函数的表达式为y=-x+120．
（2）利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：
Q=（x-50）（-x+120）=-x2+170x-6000=-（x-85）2+1225；
（3）当600=-x2+170x-6000，
解得：x1=60，x2=90，
∵获利不得高于40%，
∴最高价格为50（1+40%）=70，
故x=60元．
所以销售单价应定为为60元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
2 .直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)若销售单价不低于15元/，且每天至少销售时，求W的最大值．
【答案】(1)
(2)2500元
【分析】（1）先求出当时，当时，y与x的函数关系式，再根据销售每件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；
（2）根据（1）W与x之间的函数关系式，结合一次函数的性质，二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
此时；
当时，设y与x的函数关系式为，
∵点，在该函数图像上，
∴，解得，
∴y与x的关系式为，
此时；
∴W与x的关系式为；
（2）解：由题可知，
∴．
①当，，
此时W随x的增大而增大，
∴当时，；
②当，；
∵，对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大．
∴当时，（元）；
∵，
答：W的最大值是2500元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是解答本题的关键．
端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点评】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
4.某工厂生产并销售，两种型号车床共台，生产并销售台型车床可以获利万元；如果生产并销售不超过台型车床，则每台型车床可以获利万元，如果超出台型车床，则每超出台，每台型车床获利将均减少万元．设生产并销售型车床台．
(1)当时，若生产并销售型车床比生产并销售型车床获得的利润多万元，问：生产并销售型车床多少台？
(2)当时，设生产并销售，两种型号车床获得的总利润为万元，如何分配生产并销售，两种车床的数量，使获得的总利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)生产并销售型车床台
(2)当生产并销售，两种车床各为台、台或台、台时，使获得的总利润最大；最大利润为万元
【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）当时，总利润，当时，总利润，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得方程
，
解得 舍去，
答：生产并销售型车床台；
（2）当时，总利润，
整理得，，
，
当时总利润最大为万元；
当时，总利润
，
整理得，
，
当时总利润最大，
又由题意只能取整数，
当或时，
当时，总利润最大为万元
又，
当或时，总利润最大为万元，
而，
，
答：当生产并销售，两种车床各为台、台或台、台时，使获得的总利润最大；最大利润为万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
【答案】D
【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．
【详解】解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250
∵－2＜0
故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元
故选：D．
【点评】此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．
2．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，根据售价减去进价表示出实际的利润．
【详解】解：设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，根据题意可得： ．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每上涨1元，其销售量就减少5个”．
3．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，
当y＜0时，n=1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（　　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
【答案】C
【分析】设每件商品降价x元，每天的销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值．
【详解】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
依题意有：
y＝（35﹣x）（50+2x）
＝﹣2x2+20x+1750
＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，
∴最大销售额为1800元．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
5．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：
①当时，
②与之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
【答案】B
【分析】根据题意求出二次函数的解析式，再根据利润的关系逐一判断即可；
【详解】当时，，故①正确；
由题意得：，故②正确；
日销售利润为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知：，
即，
∵，
∴当时，，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
故答案选B．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，准确计算是解题的关键．
6．某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（　　）
A．16元 B．21元 C．24元 D．25元
【答案】C
【分析】把y=-x2+8x+9配方得到y=-（x-4）2+25，当x＜4时，y随x的增大而增大，于是求得当x=3时，最大利润y是24元．
【详解】解：y=-x2+8x+9=-（x-4）2+25，
∵a=-1＜0，
∴利润y有最大值，
当x＜4时，y随x的增大而增大，
∵售价x的范围是1≤x≤3，
∴当x=3时，最大利润y是24元，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（ ）
A．55 B．56 C．57 D．58
【答案】A
【分析】直接根据题意表示营业额，进而利用配方法求解．
【详解】解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得，
即当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行团可以获得最大的营业额，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握相关知识是解题关键．
8.某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　）
A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像与性质，确定其函数图像的顶点坐标，即可判断这种商品每天的最大利润．
【详解】解：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式，
可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为，
即当单价元时，该商品每天的最大利润为元．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）] D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）
【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：
y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．
故选：D．
10 .某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（　　）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
【解答】解：设销售单价上涨x元，月销售利润为y元．
∵每件商品售价不能高于40元，
∴0≤x≤10，
依题意得：
y＝（30﹣20+x）（240﹣10x）
＝（10+x）（240﹣10x）
＝﹣10x2+140x+2400
＝﹣10（x﹣7）2+2890，
∴当x＝7时，y最大＝2890，
∴每件商品售价为30+7＝37（元），
故选：C．
11 .某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为 元（利润＝总销售额－总成本）．

【答案】800
【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，设每天的销售利润为w（元），利用利润＝总销售额－总成本求出w关于x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，
解得，
即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，
设每天的销售利润为w（元），
则
，
∵，开口向下，
∴当时，有最大值为800，
即该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为800元，
故答案为：800．
【点评】本题考查一次函数、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
12 .某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤24，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若利润为y，则y关于x的解析式_______，若利润最大，则最大利润为______元．
【答案】 y＝﹣（x﹣25）2+25 24
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【详解】解：设最大利润为元，
则，
，
当时，二次函数有最大值24，
故答案是：；24．
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，解题的关键是利用二次函数的性质进行实际应用．
13 .某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园里每多种一棵树，平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增____棵苹果树，所结苹果的总数最多．
【答案】5
【分析】根据题意列出二次函数解析式，进而求最值即可．
【详解】解：设果园里增x棵苹果树，所结苹果的总数为y，
根据题意得y＝（100+x）（660﹣6x）
＝﹣6x2+60x+66000
＝﹣6（x﹣5）2+66150，
∵a＝﹣6，
∴当x＝5时，y有最大值66150，
即果园里增5棵苹果树，所结苹果的总数最多．
故答案为5．
【点评】本题考查二次函数的实际应用．根据题意求出二次函数的表达式是解题的关键．
三、解答题（共48分）
14.．（8分）2022年春节临近，新冠肆虐，自我保护，刻不容缓．据市民需要，聪明的商人李某购进一款防护PM2.5的口罩，每件成本是5元，为了合理定价，投放市场试销，经调查可知，销售单价是10元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低0.1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(2)求出销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大是多少元？
【答案】(1)
(2)单价定为8元时，每天的利润最大，最大是450元
【分析】（1）根据题意已知可以列出二次函数方程进行求解即可；
（2）将二次函数从一般式变为顶点式进行判断即可求解．
（1）
根据题意得：
，
答：每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式是；
（2）
由（1）知
∵﹣50＜0，5≤x≤10，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为450，
答：销售单价定为8元时，每天的利润最大，最大是450元．
【点评】本题考查了二次函数的求解和性质，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
15 .（7分）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
【答案】售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润
【分析】设销售单价为x元，月销售利润为y元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．
16.（9分） 某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
(3)每千克25元
【分析】（1）根据利润=销量×一件的利润列出关系式即可；
（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；
（3）把代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴w与x之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为；
∴该产品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
∵，
∴舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元；
【点评】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键．
17 .（8分）2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．

(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套当销售单价降低m元时，每天的利润为W．求当m为何值时利润最大最大利润是多少？
【答案】(1)每次上涨的百分率为
(2)当降价钱数m为20元时，每天的利润W可达到最大，最大利润是2000元
【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，根据销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，列出方程，即可求解；
（2）根据题意列出W关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设每次上涨的百分率为x，根据题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），
答：每次上涨的百分率为；
（2）解：根据题意得：
∴当时，W最大，最大值为2000，
答：当降价钱数m为20元时，每天的利润W可达到最大，最大利润是2000元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
18 .（8分） 某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天（）的销售价格为（）元，日销售量（）与的函数关系如图所示．
(1)求与的函数解析式；
(2)销售该商品第几天时，日销售利润最大？
(3)结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？
【答案】(1)与的函数解析式为；
(2)销售该商品第天时，日销售利润最大
(3)当月有天的日销售利润大于元
【分析】（1）待定系数求一次函数解析式即可求解；
（2）设日销售利润为，根据题意得，，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意，解不等式，根据二次函数图象的性质求得的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：设与的函数解析式为，
将点代入解析式，得，
，解得：，
∴与的函数解析式为；
（2）解：设日销售利润为，根据题意得，
∵，
当时，取得最大值，
即销售该商品第天时，日销售利润最大；
（3）解：当时，，
解得：，
∵，抛物线开口向上，
∴当时，或，
∵，
∴，
答：当月有天的日销售利润大于元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19.（8分）某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10(1)写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元
【分析】（1）由图像可知，当10（2）分10（1）
解：（1）由图像知，当10当14将（14，640），（30，320）代入得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=-20x+920；
综上所述，；
（2）
解：设每天的销售利润为w元，
当10∵k=640>0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x=14时，w=4×640=2560元；
当14∵-20<0，14∴当x=28时，w有最大值，最大值为6480，
∵2560<6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【点评】本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，根据题意得到每天的销售利润的关系式是解答本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
拓展培优*冲刺满分
1.某厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看成一次函数y＝－2x＋100．
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式．
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据相关部门的规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本是多少万元？
【答案】(1)；
(2)当销售单价为34元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是512万元；
(3)制造这种产品每月的最低制造成本是648万元．
【分析】（1）根据利润＝销售量×（销售单价－成本），列式整理即可求出函数关系式；
（2）根据二次函数求最值的方法求解即可；
（3）根据每月不低于350万元的利润及销售单价不得高于32元，求出销售单价的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
（1）
解：由题意得：z＝y（x 18）＝（ 2x＋100）（x 18）＝；
（2）
，
∵－2＜0，
∴该二次函数图象开口向下，当x＝34时，z取最大值512，
答：当销售单价为34元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）
当时，
解得：，，
∵二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝34，
∴当时，每月利润不低于350万元，
又∵销售单价不得高于32元，
∴，
∵在一次函数y＝－2x＋100中，－2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝32时，每月制造成本最低，最低成本是（万元），
答：制造这种产品每月的最低制造成本是648万元．
【点评】本题考查的是二次函数及一次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用顶点式求出最值．
2. 种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓．因受疫情影响，多地封村村路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动．在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg．第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式为．第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg．已知种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为p kg，利润为W元（利润＝销售收入－成本）．
(1)k＝______，b＝______；
(2)请写出p关于x的函数关系式： ______；
(3)求销售草莓第几天，当天销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)，25
(2)p=4x+16
(3)第18天利润最大，最大利润为968元
【分析】（1）根据题意，得12k-76k=32，计算即可，根据b是常数，b就是第26天的售价．
（2）根据以后每天比前一天多4kg，第x天的销售量就是20+（x-1）×4，整理得4x+16，这就是所求．
（3）分两个时间段，分别求出最值，比较两个最值的大小，下结论即可．
（1）根据题意，得12k-76k=32，解得k= ；∵ b是常数，b就是第26天的售价，∴b=25，故答案为：，25．
（2）∵ 以后每天比前一天多4kg，∴第x天的销售量就是20+（x-1）×4，整理得4x+16，∴p=4x+16，故答案为：p=4x+16．
（3）当1≤x＜20时，W= (4x+16)( )-(4x+16)×18=，故当x=18时，W有最大值，且最大值为968，即第18天的利润最大，最大利润为968元；当20≤x≤30时，W= (4x+16)×25- (4x+16)×18=28x+112，根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，故当x=30时，W有最大值，且最大值为840+112=952，即第30天的利润最大，最大利润为952元；∵968＞952，∴第18天的利润最大，最大利润为968元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和抛物线的性质是解题的关键．
老师对你说：
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