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暑假高二衔接：空间直角坐标系教学案
一、主讲知识
【知识点讲解1】空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立 ，O叫做，i，j，k都叫做。
对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。
【讲透例题1】
例1、已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量的坐标．
【相似题练习1】
如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.＝________，＝________.
【小结】建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．
【知识点梳理2】 空间向量坐标运算
1、空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝
减法 a－b a－b＝
数乘 λa λa＝
数量积 a·b a·b＝
2、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
【讲透例题2】
例1、已知，，则（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
【相似题练习2】
1、已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D． 或
2、(1)设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________.
(2)设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos〈a，b〉＝________.
(3)已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则||＝________.
3、已知四点，，，，且，则x，y的值分别为（ ）
A．3，1 B．4， C．3，-1 D．1，1
4、与向量平行的一个向量的坐标是(　　)
A． B．(-1,-3,2)
C． D．(,-3,-2)
5、已知点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三点共线，则__．
6、已知向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7、下列向量中与向量平行的向量是（ ）
A．B．C．D．
8、已知向量，，若，则k的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
9、在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是( )
A．（2,1,3）B．（﹣2,﹣1,3）C．（2,1,﹣3）D．（2,﹣1,﹣3）
10、若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
11、已知.
（1）若，分别求λ与m的值；（2）若，且与垂直，求.
二、课堂练习
1.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A.0° B.45° C.90° D.180°
2.设O为坐标原点，M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若＝，则点B应为(　　)
A.(－1，3，－3) B.(9，1，1) C.(1，－3，3) D.(－9，－1，－1)
3．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　)
A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)
5．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B.C.D.
6.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
7.已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．

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