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暑假高二衔接：直线的方程教学案
一、主讲知识
【知识点梳理1】点斜式直线方程
1、点斜式：已知直线过点，且斜率为，则直线方程为： ．
2、图示：
3、适用条件：斜率存在；可表示所有经过点且斜率存在的直线。
【讲透例题1】
例1、已知点A(3,3)和直线l：y＝x－.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
【相似题练习1】
1．根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
2．经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（ ）
A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0
C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0
【小结】(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；
(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程.
【知识点梳理2】 斜截式直线方程
1、直线l的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点的__________．
(2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点的____________．
2、斜截式：已知斜率k和直线在y轴上的截距b，则直线方程为： ．
3、图示：
4、适用条件：斜率存在；可表示所有经过点P(0，b)且斜率存在的直线。
【讲透例题2】
例1、根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【相似题练习2】
1．倾斜角为,在轴上的截距为的直线方程是
A． B． C． D．
2．直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则m的值是(　　)
A．2或 B．2或－C．－2或－ D．－2或
3．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
【小结】(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可．
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．
【知识点梳理3】两点式直线方程
1、两点式：已知直线过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则直线方程为： ．
2、图示：
3、适用条件：斜率存在且不为0，即x1≠x2，y1≠y2。
4、线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则
【讲透例题3】
例1、如图，已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2).
①求线段AB中点D的坐标；②求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程.
【相似题练习3】
1、过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋3＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
2、经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(　　)
A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6
3、已知点，，则直线的方程是____________________.
【小结】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.
【知识点梳理4】截距式直线方程
1、两点式：已知直线的横、纵截距分别为，，则直线方程为： ．
2、图示：
3、适用条件：斜率存在且不为0，不过原点，即。
【讲透例题4】
例1、求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距截距相等的直线l的方程。
【相似题练习4】
1、设直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
3、已知直线l过点A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程.
【小结】 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)直线在两坐标轴上截距相等有两种情况：(1)K= —1；(2)直线过原点。
直线在两坐标轴上截距互为相反数有两种情况：(1)K= 1；(2)直线过原点。
【知识点梳理5】一般式直线方程
1、直线的一般式方程：(其中A、B不同时为0)
2、直线的一般式可以表示所有的直线方程。
3、直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
【讲透例题5】
例1、已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程．
例2 、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是，且经过点A(5，3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
【相似题练习5】
1、直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．
2、直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)
A. B．－5 C. D．－3
【小结】对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．
【知识点梳理6】直线方程综合运用
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．巧设直线方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0．
【讲透例题6】
例1、已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
【相似题练习6】
1、三角形的三个顶点是，，．
(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程．
2、已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
【小结】
二、课堂总结
三、课后练习（限时30分钟，满分100分）
1．方程y＝k(x－2)表示(　　)
A.通过点(－2,0)的所有直线B.通过点(2,0)的所有直线
C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
2．过点(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
3．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(　　)
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
4．过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
6．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为(　　)
A．－6 B．6C．－D.
7．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
8．已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)边AB所在直线的方程；(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．
9．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．
10．直线l经过点A(－3，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求该直线的方程．
11．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为－1；(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.

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