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七年级数学上学期知识点归纳（人教版）
第一章 有理数
1、有理数：
(1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数。
有理数：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
注意：0既不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数。
(2)有理数的分类：
或
注：小数是分数。
(3)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数；
a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数。
2、正数：大于0的数叫做正数。
3、负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。
5、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（画数轴时，三者缺一不可）。
6、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）
7、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1，0没有倒数。
若ab=1 a，b互为倒数。
8、相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
(1)0的相反数是0；
(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；
(3)相反数的和为0 a+b=0 a，b互为相反数；
(4)相反数的商为-1（除0外）；
(5)相反数的绝对值相等。
9、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。
10、绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。
11、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点与原点的距离。
或；
；；
|a|是重要的非负数，即|a|≥0。
12、绝对值的性质：
（1）除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；
（2）对任何有理数a，都有|a|≥0；
（3）若|a|=0，则a=0，反之亦然；
（4）若|a|=b，则a=±b；
（5）对任何有理数a,都有|a|=|-a|；
（6）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。
13、有理数比较大小：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；数轴上两个点所表示的数，右边的数总比左边的数大，两个负数绝对值大的反而小。
(1)根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；
(2)根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；
(3)作差法：a-b>0 a>b；
(4)作商法：>1，b>0 a>b。
14、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：
①先求出两个负数的绝对值；
②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
15、有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
16、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
加法交换律：a+b=b+a；
加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)。
17、灵活运用运算律，使运算简化，通常有下列规律：
①互为相反的两个数，可以先相加；
②符号相同的数，可以先相加；
③分母相同的数，可以先相加；
④几个数相加能得到整数，可以先相加。
18、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b）。
有理数减法运算时注意两“变”：
①改变运算符号；
②改变减数的性质符号（变为相反数）。
有理数减法运算时注意一个“不变”：
被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。
19、有理数的加减法混合运算的步骤：
①写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；
②利用加法法则，加法交换律、结合律简化计算。
（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当由减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数）
20、有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
②任何数与0相乘，积仍为0。
注：几个因数都不为零，积的符号由负因数的个数决定。奇数个负数为负，偶数个负数为正。
21、乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
乘法交换律：ab=ba；
乘法结合律：（ab）c=a(bc)；
乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac。
22、有理数乘法运算步骤：
①先确定积的符号；
②求出各因数的绝对值的积。
23、乘积为1的两个有理数互为倒数。
注意：
①零没有倒数；
②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
24、有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
(
指数
底数
幂
)②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。
25、有理数的乘方：
（1）求相同因数积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0；
（4）根据规律：底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动两位。
注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
26、乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何数的偶数次幂都是非负数；
④1的任何次幂都得1；
⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
27、科学记数法：一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤＜10，n是正整数，这种记数方法叫科学记数法。
n的确定：右边10的指数等于左边整数的位数减1，即用科学记数法表示一个n 位整数，其中10的指数是n－1。
28、有理数的混合运算：
（1）六种运算：加、减、乘、除、绝对值、乘方。
（2）运算顺序：先算乘方或绝对值，再算乘、除，最后算加减，如果有括号先算括号里面的，再算括号外面的。
29、近似数
（1）接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个近似数。
（2）精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。
（3）利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
精确到0.1，也叫精确到十分位；
精确到0.01，也叫精确到百分位；
精确到0.001，也叫精确到千分位；......
第二章 整式的加减
一、用字母表示数
注意：①在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。
②用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。
③式子中出现乘号，通常省略不写，如vt；
④数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
⑤带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如应写作；
⑥数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑦在式子中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
二、整式
1、单项式
①数或字母的乘积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；
②系数：单项式的数字因数叫做单项式的系数，如3x,4y的系数分别为3，4；
注意：a.单个字母的系数是1，如a的系数是1；
b.只含字母因数的式子的系数是1或-1，如-ab的系数是-1；a3b的系数是1。
③次数：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
2、多项式
①几个单项式的和叫做多项式；
②项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
如，多项式表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的项，-7叫做常数项。
注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。
③次数：多项式中，次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。
④整式：单项式与多项式的统称。
3、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意：①判断几个式子是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可；
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
③几个常数项也是同类项。
4、合并同类项：把式子中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；
②合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
注意：
①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；
②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；
③只要不再有同类项，就是最后的结果。
5、去括号：
①根据去括号法则去括号：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；
括号前面是“－”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。
②根据分配律去括号：
括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。
注意：
a.去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；
b.去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“－”号；
c.改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。
6、整式的加减：整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：
①将同类项找出，并置于一起；
②合并同类项。
解题技巧：①当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。
②合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。
四、找规律
1.数字变化类：
2.图形变化类：
基本思想：从特殊到一般
基本方法：①从具体的实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；
②由此及彼，合理联想，大胆猜想；
③善于类比，从不同事物中发现相似或相同点；
④总结规律，得出结论，并验证结论正确与否。
第三章 一元一次方程
一、一元一次方程
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
等式：用“=”号连接而成的式子叫等式。
（方程的特征：①含有未知数；②是等式。二者缺一不可）
2、方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。注意：“方程的解就能代入”！
3、等式的性质：
（1）等式两边同时加上(或减去)同一个数（或式子），所得结果仍是等式。
若a=b，则a+c=b+c或a -c = b - c。
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。
若a=b，则ac=bc；
若a=b（c≠0），则。
4、在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数的最高次数是1（次）的整式方程，这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的特征：①两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1。
二、解一元一次方程
1、移项：把方程中的某一项，改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
2、解一元一次方程的一般步骤：
解一元一次方程的步骤 主要依据 注意问题
①去分母 等式的性质2 注意拿这个最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是多项式，则必加括号
②去括号 去括号法则、乘法分配律 严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号
③移项 等式的性质1 越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面
④合并同类项 合并同类项法则 注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变
⑤系数化为1 等式的性质2 两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒
⑥检验
三、一元一次方程的应用
1、列方程解应用题的一般步骤：
（1）将实际问题抽象成数学问题；
（2）分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系；
（3）设未知数，列出方程；
（4）解方程；
（5）检验并作答。
2、一些实际问题中的规律和等量关系：
（1）和、差、倍、分问题：此类题既可表示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出式子或方程式。
（2）市场经济、打折销售问题
①商品利润＝商品售价－商品成本价；
②商品利润率＝×100%；
③商品销售额＝商品销售价×商品销售量；
④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量；
⑤商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售。
（3）储蓄利息问题
①顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。
②利息=本金×利率×期数；
本息和=本金+利息；
利息税=利息×税率（20%）。
③。
（4）工程问题、产品配套问题
工作量＝工作效率×工作时间；
工作效率＝工作量÷工作时间；
工作时间＝工作量÷工作效率；
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1。
（5）行程问题
基本量之间的关系：路程＝速度×时间；时间＝路程÷速度；速度＝路程÷时间。
①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；
②追及问题：快行距－慢行距＝原距；
③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度；
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度。
抓住两码头间距离不变，水流速和船速不变的特点考虑相等关系。
（6）数字问题
①要搞清楚数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c，其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9， 0≤c≤9，则这个三位数表示为100a+10b+c；然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
②数字问题中的一些问题：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n-1表示。
第四章 几何初步
一、立体图形与平面图形
1.从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
立体图形
2.从不同的方向看立体图形
从正面看：从正面看到的图；
从左面看：从左面看到的图；
从上面看：从上面看到的图。
3.立体图形的展开与折叠
①正方体的表面展开图：11种
②棱柱的表面展开图：
③圆柱、圆锥的表面展开图：
4.点、线、面、体
（1）几何图形是由点、线、面构成的。
①点：线与线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
②线：面与面相交得到线，分为直线和曲线。
③面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
点动成线，线动成面，面动成体。
（2）棱柱及其有关概念
①棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱，所有侧棱长都相等。
②棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。
③n棱柱有2个底面，n个侧面，共有（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
④根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……，它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形……
二、直线、射线、线段
1、直线、射线、线段
直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。
射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线，射线有一个端点。
线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段，线段有两个端点。
2、点、直线、射线和线段的表示：
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母表示。
3、正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：
名称 图形 表示方法 端点 长度
直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量
射线 射线OM 1个 无法度量
线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度
直线的性质：
直线公理：经过两点有且只有一条直线。
过一点有无数条直线。
两个不同的直线至多有一个公共点。
直线上有无数个点。
5、点、直线的位置关系：
点在直线上，或者说直线经过这个点；
点在直线外，或者说直线不经过这个点。
6、线段的性质：
线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
7、线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。
8、比较两条线段的大小的方法：
①目测法；②度量法；③叠合法；④圆规法。
用无刻度的直尺、圆规可以画出线段的和、差;
10、与线段有关的计算问题
①有关线段的和差倍分计算；
②利用整体思想计算线段的长度；
③利用方程思想求线段的长度；
④利用分类讨论思想求线段的长度。
三、角
1、角的定义与表示
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；这个公共端点叫做角的顶点；这两条射线叫做角的边。
或，角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
如图所示：
(
终边
始边
)
2、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。如图所示：
(
平角
)
(
周角
)
3、角的表示法：角的符号为“∠”。
①用三个大写字母表示，如图所示∠AOB；
(
A
O
B
)
②用一个大写字母表示一个独立的角，如图所示∠B；
(
B
)
③用一个数字表示，如图所示∠1；
(
1
)
④用小写的希腊字母表示，如图所示∠β。
(
β
)
注：用三个大写字母表示时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两边。
4、角的度量：
角的度量如下规定：把一个平角分成180等份，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等份，每一份叫做1分的角，1分记作“1′”，即1°=60′；
把1′的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1〞”，即1′=60〞；
5、钟面角：钟表上共有12个大格，把周角12等份，每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可以解决钟表中角度的计算问题。
6、角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7、角的性质：
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关；
（2）角的大小可以度量，可以比较；
（3）角可以参与运算。
8、角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2。
注意：
①用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)。
②利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角。
9、角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种。
①度量法；②叠合法；
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′。
10、余角和补角
（1）概念
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角（简称为两个角互余）；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角（简称为两个角互补）。
（2）性质
同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。
（3）方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角。例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°。这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角。
要点：
①正东、正西、正南、正北4个方向不需要用角度来表示；
②方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
③在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
④图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点。

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