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九年级数学上学期知识点归纳（人教版）
第二十一章 一元二次方程
一、一元二次方程
1、一元二次方程
含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
3、一元二次方程的解（根）
①概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解
也叫做一元二次方程的根。
②判断一个数是否是一元二次方程的根：
将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不
相等，则该数不是这个方程的根。
③关于一元二次方程根的三个重要结论：
Ⅰ.a+b+c=0 一元二次方程有一个根为x=1；
Ⅱ.a-b+c=0 一元二次方程有一个根为x=-1；
Ⅲ.c=0 一元二次方程有一个根为x=0。
二、解一元二次方程
1、降次
把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)。
2、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x2=b或的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
3、配方法
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
配方法解一元二次方程的步骤是：
①移项；
②配方(写成平方形式)；
③用直接开方法降次；
④解两个一元一次方程；
⑤判断2个根是不是实数根。
4、公式法
公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。
（1）一元二次方程根的判别式
①内容：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=。
②方程的根的情况：
Δ＞0 方程有两个不相等的实数根。
Δ=0 方程有两个相等的实数根。
Δ＜0 方程无实数根。
一元二次方程的求根公式
①内容：当 ≥0时，方程的实数根的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
②公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，以避免配方过
程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
③用公式法解一元二次方程的步骤
Ⅰ.整理方程：写成一般式；
Ⅱ.计算根的判别式：Δ=；
Ⅲ.求根：当Δ=＞0 时，将各项系数代入求根公式；
Ⅳ.写解：，。
注：当Δ==0时，方程有两个相等的实数根，即x1=x2=-。
5、因式分解法
（1）因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
（2）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①移项∶将方程化为一般形式；
②分解∶将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
③转化∶令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。
6、一元二次方程的根与系数的关系
（1）公式：，。
（2）内容
文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两
个根的积等于常数项与二次项系数的比。
数学语言：如果方程的两个实数根是，则，。
重要结论
①若一元二次方程的两根为，则，。
②以实数为两根的二次项系数为1的一元二次方程是。
实际问题与一元二次方程
1、列一元一次方程解决实际问题的一般步骤
①审题找相等关系；
②设未知数；
③列方程；
④解方程；
⑤检验：检验所得结果是不是方程的解；检验方程的解是否符合实际意义。
⑥写出答案。
2、常见实际问题
①平均增长率（降低率）问题：a(1+x)2=n；
②几何图形问题
③存款利息问题
④数字问题
⑤存款利息问题
⑥传播、比赛与握手问题
第二十二章 二次函数
二次函数概念
1、内容：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数；
其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、二次函数一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）。
3、二次函数成立的条件
①函数解析式是整式；
②化简后自变量的最高次数为2；
③二次项系数不为0。
二次函数的图象和性质
1、图象：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y=ax2+bx+c。
2、抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最
低点或最高点。
3、二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
①用描点法画二次函数y=ax2的图象的一般步骤：列表，描点，连线。
②二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
4、二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质
①二次函数y=ax2+k与y=ax2图象间的关系
二次函数y=ax2+k的图象可以由二次函数y=ax2沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位长度得到（上加下减常数项）。
②二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质
5、二次函数y=a（x-h）2(a≠0)的图象和性质
①二次函数y=a（x-h）2与y=ax2图象间的关系
二次函数y=a（x-h）2的图象可以由二次函数y=ax2沿x轴向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位长度得到（左加右减自变量）。
②二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
6、二次函数y=a（x-h）2+k(a≠0)的图象和性质
①二次函数y=a（x-h）2+k（顶点式）与y=ax2图象间的关系
②二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
7、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
①二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=，顶点坐标为(,)。
②画二次函数y=ax2+bx+c的图象的方法：描点法；平移法。
③二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
④二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与字母系数的关系
8、用待定系数法求二次函数解析式
①若已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式y=ax2+bx+c。
②若已知顶点在原点，设y=ax2。
③若已知顶点在y轴上，设y=ax2+c。
④若已知抛物线过原点，设y=ax2+bx。
⑤若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值，设顶点式y=a（x-h）2+k。
⑥若已知顶点在x轴上，或抛物线与x轴只有一个交点，设y=a（x-h）2。
⑦若已知抛物线与x轴的两个交点的坐标（或已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴）以及抛物线上另外一点，设交点式y=a(x x1)(x x2)（x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标），再将另一个点代入求解。
三、二次函数与一元二次方程的关系
1、二次函数y=ax2+bx+c，当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的三种情况对应着一元二次方程的根的三种情况：
3、用图象法求一元二次方程的解
4、二次函数与一元一次不等式，一元二次不等式的关系
四、实际问题与二次函数
1、步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检。
2、常见问题：
（1）图形面积最值问题；
（2）最大利润问题；
（3）抛物线形建筑物问题。
第二十三章 旋转
一、图形的旋转
1、旋转的相关概念
①旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转；点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
②旋转的三要素（描述图形的旋转时缺一不可）：旋转中心、旋转方向和旋转角；旋转方向有
顺时针和逆时针两种。
③旋转的对应元素
2、旋转的性质
3、旋转中心的确定：旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点。
4、旋转作图
①确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出图形的关键点（一般是图形中的转折点）。
②将旋转中心与图形中的每个关键点分别相连。
③把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）。
④在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心距离相等的线段，得到各个关键点的对应点。
⑤按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。
二、中心对称
1、中心对称
（1）中心对称的概念：把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）；这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
（2）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
②中心对称的两个图形是全等图形。
③成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等。
（3）确定对称中心的方法
方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心。
方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心。
（4）作已知图形关于某一点对称的图形
①找出原图形的关键点（一般是图形中的转折点），连接关键点和对称中心。
②延长所连线段，在延长线上找出各关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键
点到对称中心的距离相等。
③将所得的对称点按照原图形的形状顺次连接，即可得到关于对称中心对称的图形。
（5）中心对称是指两个图形的（位置）关系，成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形上。
2、中心对称图形
（1）中心对称图形∶把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这点就是它的对称中心。
（2）中心对称图形的性质：
①中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分。
②过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）。
（3）中心对称与中心对称图形的联系
两者可以相互转化，若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称。
三、关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P'（-x，-y）。
四、图案设计
先设计出基本图形，再利用平移、轴对称和旋转对基本图形进行变换，从而得到图案。
第二十四章 圆
一、圆的有关概念及表示方法
（一）圆的定义
1、描述性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所
形成的图形叫做圆。其固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。
2、确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（二）圆的表示方法
以点 O 为圆心的圆，记作 O，读作“圆 O”。
（三）圆具有的特性
1、圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
（四）圆的有关概念
1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。以 AC 为
端点的弦，记作：弦 AC。
2、弧
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧。
（4）同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。
（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
（6）同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质
（一）垂直于弦的直径
1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
2、垂径定理及其推论（知二推三）
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（二）弧、弦、圆心角
1、圆的旋转对称性：圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原
图形重合。因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
2、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）重要结论：
①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
（三）圆周角
1、概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注：同一条弧所对的圆周角有无数个；
2、圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（2）推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等。
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
（四）圆内接多边形
1、概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个
圆叫做这个多边形的外接圆。
2、性质
（1）圆内接四边形的对角互补。
（2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角。
（3）每一个圆都有无数个内接四边形，只有对角互补的四边形才有外接圆。
三、点和圆、直线和圆的位置关系
（一）点和圆的位置关系（d：点到圆心的距离；r：半径）
1、点在圆外
点到圆心的距离大于半径：d＞r。
2、点在圆上
点到圆心的距离等于半径：d=r。
3、点在圆内
点到圆心的距离小于半径：d＜r。
（二）三角形的外接圆
1、圆的确定：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这
个三角形叫做这个圆的内接三角形。
3、三角形的外心
（1）概念：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的
外心。
（2）性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径。
（3）位置：锐角三角形的外心在三角形的内部。直角三角形的外心是斜边的中点。钝角三角
形的外心在三角形的外部。
4、三角形的外接圆的做法：
（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点。
（2）以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可。
（三）直线与圆的位置关系（d：圆心到直线的距离；r：半径）
1、直线与圆相交（直线叫做割线）
直线和圆有两个公共点（交点），d＜r；
2、直线与圆相切（直线叫做切线）
（1）直线和圆只有一个公共点（切点），d=r；
（2）切线的判定定理和性质定理
①判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
②性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
③切线的性质定理的推论
a、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
b、经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
④判断一条直线是一个圆的切线有三个方法
a、定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
b、数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即 d=r。
c、判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（3）切线长及切线长定理
①切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平
分两条切线的夹角。
（4）三角形的内切圆
①概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形。
②三角形的内心
a、概念：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点（内心一定在三角形的内部）。
b、性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径。
③角度关系
④面积关系
⑤长度关系
3、直线与圆相离
直线和圆没有公共点，d＞r。
（四）圆与圆的位置关系（圆心距d，两圆半径r1，r2，其中r21、相离：两个圆没有公共点。
（1）外离(d >r1+r2)
（2）内含(0≤d 2、相切：如果两个圆只有一个公共点。
（1）外切(d =r1+r2)
（2）内切(d =r2 r1)
3、相交：如果两个圆有两个公共点(r2 r14、由两圆组成的图形都是轴对称图形，对称轴是过这两个圆的圆心的直线。
四、正多边形与圆
（一）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。
（二）圆内接正多边形：把圆分成 n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正 n 边形的外接圆。
（三）与正多边形有关的概念
1、中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。
3、中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
4、边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
（四）正多边形有关计算
1、中心角：∠α=；
2、半径、边长、边心距的关系：R2=r2+ ()2；
3、正n边形的周长：C=na；
4、正n边形的面积：S=ar·n=Cr。
（五）正多边形的对称性：正多边形都是轴对称图形，当 n 为偶数时，是中心对称图形，几何中心就是对称中心。
五、弧长和扇形面积
（一）弧长公式：n°圆心角所对的弧长为l=。
（二）扇形
1、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
2、扇形的周长公式：C=2R+l=2R+。
3、扇形面积公式
（1）S扇形=；
（2）S扇形== R=lR。
六、反证法
概念：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得
到原命题成立。反证法是一种间接证明命题的方法。
注：运用反证法在进行推理论证时，要把假设作为新增条件参与论证。
第二十五章 概率初步
一、随机事件与概率
（一）确定性事件与随机事件
1、确定性事件
（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件；必然事件一定会发生，即发生的可能性是100%；
（2）不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件；不可能事件一定不会发生，即发生的可能性是0。
注：一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述违背真理或客观存在的事实的事件是不可能事件。
2、随机事件（不确定性事件）
（1）概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
（2）随机事件发生的可能性都在0～100%之间（不包括0和100%)。
注：比较随机事件发生的可能性大小时，可在相同的条件和总数一定的情况下，通过可能出现的结果数进行比较，结果数越多，则这个事件发生的可能性越大。
（二）概率
1、概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。
2、概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P (A ) =。
注：运用上述计算概率的方法时，试验需满足两个共同特点：
（1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
（2）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。
3、概率的取值范围
（1）当A为必然事件时，P(A) = 1；
（2）当A为随机事件时，0 < P(A) < 1；
（3）当A为不可能事件时，P(A)=0；
（4）事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0。
4、计算简单事件的概率的主要类型
（1）个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果的试验；P(A)=。
（2）面积类型：如果随机试验是向区域S内掷一点，那么掷在区域A(A在S内)内的概率P(A)=。
二、用列举法求概率
1、用直接列举法（枚举法）求概率
（1）用直接列举法（枚举法）求概率：当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式P(A) =求事件发生的概率。
（2）适用条件：①对象比较单一；②等可能结果数目较少。
2、用列表法求概率
（1）用列表法求概率：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，常采用列表格的方式列举出所有的等可能结果，再利用概率公式P(A) =求事件发生的概率。
（2）适用条件
①当一次试验涉及两个因素；②可能出现的等可能结果数目较多。
3、用画树状图法求概率
（1）用画树状图法求概率：当一次试验涉及两个或更多个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，通常采用画树状图法列举出所有的等可能结果，再利用概率公式P(A) =求事件发生的概率。
（2）适用条件：①当一次试验涉及两个或更多个因素时；②可能出现的等可能结果数目较多。
三、利用频率估计概率
（一）频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率。
（二）利用频率估计概率：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性；因此，可以用随机事件发生的频率来估计它的概率。
（三）适用条件
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率。
（四）计算方法
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P(A)=p。
注：①试验得出的频率只是概率的近似值。
②试验次数越多，频率越趋向于概率，所以利用频率估计概率的前提条件是大量重复试验。
③频率和概率的区别和联系

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