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第十三章 轴对称 单元练习 2023-2024学年人教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（　　　）

A． B． C． D．
3．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2023秋·江苏南通·八年级统考期末）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则度数为（ ）

A． B． C． D．
5．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023春·辽宁丹东·八年级校联考期末）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为 ．

8．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 .
9．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）则图，在中已知的平分线相交于点，过点作，交于点，交点，若，则的周长为 ．

10．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D为斜边上任意一点，作点B关于所在直线的对称点．
（1）当时， ；
（2）的最小值为 ．
三、解答题
11．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作图，需保留作图痕迹．

(1)请在图1中作以线段为底的等腰；
(2)请在图2中作．
12．（2023秋·广西玉林·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中．

(1)分别画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的和关于直线（直线上各点的纵坐标都是）对称的；
(2)若上有一点，则关于直线对称后的对应点的坐标为___________，则关于直线对称后的对应点的坐标为___________．
13．（2023春·云南昭通·八年级统考期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、、、．

(1)请作出四边形关于轴对称的四边形，并写出点的对应点的坐标；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小，在图中标出的位置，并写出点的坐标（保留画图过程的痕迹）．
14．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在中，，，．

(1)的长为__________；
(2)点在的延长线上，点在的平分线上，连接、、，且．
①求证：是等边三角形；
②的值是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
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参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义和对称轴的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，有4条对称轴，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形但有2条对称轴，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形但只有一条对称轴，故本选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，能熟记轴对称图形的定义和对称轴的定义的内容是解此题的关键．
2．C
【分析】由中，边的中垂线分别交于点D、E，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：∵中，边的中垂线分别交于点D、E，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
3．C
【分析】如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，由题意知，当四点共线时，的周长最小，由，，可知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，

由题意知，当四点共线时，的周长最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，两点之间线段最断．解题的关键在于明确的周长最小的情况．
4．A
【分析】由作法可知，是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得到，再根据等边对等角的性质，得到，然后利用三角形内角和定理，求得，即可求出度数．
【详解】解：由作法可知，是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．
5．D
【分析】作点关于直线的对称点，连接，证明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，
在和中，
，
，
，
欲求的最小值，只要求出的最小值，
当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长．
在中，，，，
，
的最小值是7，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点、的位置是解题的关键．
6．D
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于，
∴，，
∴，，
则即为的周长最小值，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
7．26
【分析】由是的垂直平分线得到，由的周长为18得到，最后由的周长为，进行计算即可得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
的周长为18，
，
的周长为：，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，是解题的关键．
8．
【分析】根据轴对称的点的特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，得到，的值，代入计算即可．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于轴对称的点的特点和乘方的知识，代数式的求值，熟悉相关性质是解题的关键．
9．
【分析】根据，是的角平分线，，可证是等腰三角形，是等腰三角形，由此可得，，由此即可求解．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
同理可证，是等腰三角形，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
10． 3
【分析】（1）先由直角三角形性质求出，再根据当时，可求得，从而求得，然后由轴对称的性质可求解；
（2）点D在边上运动时，点B关于对称点运动路径是以C为圆，长为半径的半圆弧，所以当点在与半圆的交点时，此时最小，由可求解．
【详解】解：（1）当时，如图，
∵在中，，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∵点B关于所在直线的对称点
∴，
故答案为：3；
（2）点D在边上运动时，点B关于CD对称点运动路径是以C为圆，长为半径的半圆弧，所以当点在与半圆的交点时，此时最小，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查直角三角形的性质，轴对称的性质，最短距离问题，由题意得出点B关于CD对称点运动路径是以C为圆，长为半径的半圆弧，所以当点在与半圆的交点时， 最小是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先作出的垂直平分线，再在任取一点，连接，即可得到等腰；
（2）先作出，再作的平分线，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
，
作法：①分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于两点，
②作直线，
③在上任取一点，连接，
即为所求；
（2）解：如图，即为所作，
，
作法：①分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
②作射线，
③以为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于，
④分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，
⑤作射线，
即为所作．
【点睛】本题考查了尺规作图—复杂作图，熟练掌握垂直平分线的作法，角平分线的作法，以及等腰三角形的性质，是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可作出；
（2）根据关于对称轴对称的点与对称轴的距离相等即可求解．
【详解】（1）解：作图如下：

（2）解：若上有一点，
点到直线的距离为，到直线n的距离为，
，，
则关于直线对称后的对应点的坐标为，则关于直线对称后的对应点的坐标为 ．
【点睛】本题考查了网格作图、对称点的坐标，关于对称轴对称的点与对称轴的距离相等．
13．(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】（1）根据对称的性质画图即可求解；
（2）根据尺规作图——最短路径问题进行分析即可求解．
【详解】（1）解：如图：

（2）解：如图：

过点作关于直线的对称点，连接，与直线交于点交于点，即为所求；
根据图象可知，点关于直线的对称点的坐标为，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了画已知图形的对称图形，根据对称的性质确定点坐标，尺规作图——最短路径问题等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．(1)10
(2)①见解析；②的值为定值，这个定值为10
【分析】（1）先求得，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求得；
（2）①作于点，交的延长线于点，可证明，得，根据同角的补角相等证明，则，即可证明是等边三角形；
②在上截取，连接，则是等边三角形，可证明，得，，可知的值为定值，这个定值为10．
【详解】（1）解：，，，
，
，
的长是10．
（2）①证明：如图1，作于点，交的延长线于点，

，
点在的平分线上，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
②解：的值为定值，
如图2，在上截取，连接，

，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
的值为定值，这个定值为10．
【点睛】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、同角的补角相等、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
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