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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
本章小结与复习
知识点一：二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
知识要点
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
知识点二：二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
知识要点
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点三：二次函数与一元二次方程的关系
　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
知识要点
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
知识点04：利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
知识要点
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
考点一：二次函数的定义
1.下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
2．（2022秋 普兰店区期末）是二次函数，则m的值是（　　）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1
考点二：二次函数图像和性质
二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
5 .在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+a（a为常数，且a≠0）的图象可以是（　　）
A．B．C． D．
6 .对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥﹣1时，y随x增大而减小
7 .已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3，当1≤x≤a时，函数y的最小值为﹣2，则a的值为 　 　．
考点三：二次函数与一元二次方程
8.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；③若抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）
A．c+8a＝0 B．c+8a＞0
C．c+8a＜0 D．c+8a的符号无法确定
考点四：二次函数的实际应用
10.某体验馆建造了一幢“森林“主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架AB，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔离出一片矩形区域ABCD，且CD在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量OE长8米．
（1）若在抛物线上，求该抛物线表达式．
（2）在（1）的条件下，若隔离区其中一条边长为2米，则隔离区的最大面积为多少？
11 .如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C1，C2）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C2的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）求抛物线C1与x轴的交点B的坐标；
（3）小明同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．
考点五：二次函数的综合
12 .抛物线G：y＝ax2+c与x轴交于A、B两点，与y交于C（0，﹣1），且AB＝4OC．
（1）直接写出抛物线G的解析式：　yx2﹣1　；
（2）如图1，点D（﹣1，m）在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD的下方，过点P作x轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M在y轴左侧的抛物线G上，将点M先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在y轴左侧的抛物线G上，若S△CMN＝2，求点M的坐标．
13.如图，已知直线yx+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）线段OC＝　3　，线段AD＝　4　；
（2）点M在CD上，且CM＝OM，抛物线y＝2x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．
针对训练
二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
2.根据二次函数（，、、为常数）得到一些对应值，列表如下：
判断一元二次方程的一个解的范围是
A． B．
C． D．
3.在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2经变换后得到抛物线y=x 2+2，则这个变换可以( )
A．向左平移2个单位 B．向上平移2个单位
C．向下平移2个单位 D．向右平移2个单位
4.已知A（m，），B（4，）为抛物线上的两个不同点，若＞，则可知m的取值范围为（　　）
A．m＞4 B．m＜2或m＞4 C．m＜2 D．2＜m＜4
5.下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（ ）件．
降价（元）
日销量（件）
A．1200 B．750 C．1110 D．1140
6.抛物线的部分图像如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_____．
7.抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＞0；
④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．
其中正确结论的序号是　③④　．
8.丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
9 .现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场ABCD（篱笆只围AB、BC、CD三边），其示意图如图所示．
（1）若矩形养鸡场的面积为92平方米，求所用的墙长AD．（结果精确到0.1米）【参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.24】
（2）求此矩形养鸡场的最大面积．
10 .如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A到直线EF距离的最大值．
九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
本章小结与复习（解析版）
知识点一：二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
知识要点
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
知识点二：二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
知识要点
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点三：二次函数与一元二次方程的关系
　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
知识要点
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
知识点04：利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
知识要点
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
考点一：二次函数的定义
1.下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
【分析】利用二次函数的一般形式为：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），进而判断得出即可．
【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键．
2．（2022秋 普兰店区期末）是二次函数，则m的值是（　　）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【解答】解：∵是二次函数，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
考点二：二次函数图像和性质
二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，
∴不经过第一象限．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
【分析】根据题意，设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），且易知其图象开口向下，通过平移y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），
平移可知y＝a（x+1）2﹣b（x+1）+2的顶点坐标为（m﹣1，6），
根据关于x轴对称可知，y＝﹣a（x+1）2+bx+b﹣2的顶点坐标为（m﹣1，﹣6），且开口向上，
再向上平移4个单位得到y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2，
此时顶点坐标为（m﹣1，﹣2），最小值为﹣2，
故答案为：B．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
5 .在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+a（a为常数，且a≠0）的图象可以是（　　）
A．B．C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+a图象得到a的正负，再与二次函数y＝﹣ax2+a的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+a的图象应该开口向下，对称轴在y轴的负半轴，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+a的图象应该开口向下，对称轴在y轴的负半轴，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+a的图象应该开口向上，对称轴在y轴的正半轴，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+a的图象应该开口向下，对称轴在y轴的负半轴，故选项正确．
故选：D．
【点评】本本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
6 .对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥﹣1时，y随x增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+2，
∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，
对称轴是直线x＝﹣1，故选项B中的说法错误；
顶点坐标为（﹣1，2），故选项C中的说法正确；
当x≥﹣1时，y随x增大而增大，故选项D中的说法错误；
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7 .已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3，当1≤x≤a时，函数y的最小值为﹣2，则a的值为 　 　．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标，将x＝a，y＝﹣2代入解析式求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
∴y≤1，
将x＝1代入y＝﹣x2+4x﹣3得y＝0＞﹣2，
∴x＝a时，y＝﹣2，
∴﹣2＝﹣a2+4a﹣3，
解得a＝2﹣（舍）或a＝2+．
故答案为：2+．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
考点三：二次函数与一元二次方程
8.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；③若抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可判断①，根据抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，可根据抛物线上的点与对称轴的距离判断②，
由顶点（﹣1，m）及抛物线开口向上可得y≥m，进而判断③．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在x轴左侧，
∴a，b同号，即b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，①错误，不符合题意．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大，
∵|x1+1|＞|x2+1|，
∴y1＞y2，②错误，不符合题意．
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），
∴抛物线与直线y＝m有1个交点，
∴抛物线与直线y＝m﹣1无交点，
∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根，③正确，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）
A．c+8a＝0 B．c+8a＞0
C．c+8a＜0 D．c+8a的符号无法确定
【分析】根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a，根据对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．
【解答】解：∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），﹣＝1，
∴b＝﹣2a，当x＝3时，y＝0，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的图象的能力和辨析能力，题目比较好，并且是一道比较容易出错的题目．
考点四：二次函数的实际应用
10.某体验馆建造了一幢“森林“主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架AB，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔离出一片矩形区域ABCD，且CD在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量OE长8米．
（1）若在抛物线上，求该抛物线表达式．
（2）在（1）的条件下，若隔离区其中一条边长为2米，则隔离区的最大面积为多少？
【分析】（1）根据已知条件用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分AD＝2和CD＝2两种情况讨论求出另一边长，用矩形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为y＝ax2+bx（a≠0），
∵OE＝8米，
∴﹣＝4，
即b＝﹣8a①，
∵（3，）在抛物线上，
∴9a+3b＝②，
把①代入②得：﹣15a＝，
解得a＝﹣，
∴b＝3，
∴抛物线表达式为y＝﹣x2+3x；
（2）设隔离区的面积为S米2，
①当AD＝2时，即y＝2，
则2＝﹣x2+3x，
解得x＝，
∴CD＝8＝OE（不合题意）；
②当CD＝2时，
OD＝＝＝3，
∴当x＝3时，y＝﹣×32+3×3＝，
∴S＝×2＝（米2）．
∴隔离区的面积为米2．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数的表达式．
11 .如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C1，C2）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C2的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）求抛物线C1与x轴的交点B的坐标；
（3）小明同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．
【分析】（1）由题意可知C2过点A（0，2）和点C（2，2.5），且﹣＝2，代入解析式可求得解析式；
（2）两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且C1经过点（0，2），设C1的解析式为y＝﹣x2+bx+c，代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可；
（3）无人机的横坐标为x，根据题意列出不等式﹣x2+x+2﹣（﹣x2﹣x+2）≥0.5，求解即可．
【解答】解：（1）由已知可得：C2过点A（0，2）和点C（2，2.5），设其解析式为y＝ax2+bx+c，
代入两点，由C的横坐标为﹣＝2可得，
，
解得：，
故C2的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）∵两条抛物线的形状相同
∴设C1的解析式为y＝﹣x2+bx+c，
已知C1经过点（0，2），故C1的解析式为y＝﹣x2+bx+2①，
∵顶点的纵坐标相同，
∴C1的顶点的横坐标为4b，代入①，
可得：﹣ （4b）2+b 4b+2＝2.5，
解得：b＝±1，
故C1的解析式为y＝﹣x2+x+2②或y＝﹣x2﹣x+2③，
由图可知C1的终点的横坐标小于0，而②中﹣＝4＞0不合题意，故舍去②，
令将y＝0代入y＝﹣x2+x+2，
解得x＝4﹣4，
故B点的坐标为（4﹣4，0）．
（3）设无人机的横坐标为x，
由题意可得：﹣x2+x+2﹣（﹣x2﹣x+2）≥0.5，
解得：x．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．
考点五：二次函数的综合
12 .抛物线G：y＝ax2+c与x轴交于A、B两点，与y交于C（0，﹣1），且AB＝4OC．
（1）直接写出抛物线G的解析式：　yx2﹣1　；
（2）如图1，点D（﹣1，m）在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD的下方，过点P作x轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M在y轴左侧的抛物线G上，将点M先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在y轴左侧的抛物线G上，若S△CMN＝2，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点C（0，﹣1），且AB＝4OC．
∴OC＝1，AB＝4，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴点A（﹣2，0），点B（2，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：yx2﹣1．
故答案为：yx2﹣1．
（2）∵D（﹣1，m）在yx2﹣1上，
∴D（﹣1，），
∴直线OD的解析式为yx，
设P（a，a2﹣1），则Q（a2，a2﹣1），
∴PQ＝a﹣（a2）（a）2，
∵0，
∴当a时，PQ的值最大，此时P（，）．
（3）设点M（m，m2﹣1），则N（m+4，（m+4）2﹣1），
∵点C（0，﹣1），
∴设直线MC解析式为y＝kx﹣1，
即：m2﹣1＝mk﹣1，
∴km，
∴直线MC解析式为ymx﹣1，
如图，过点N作NE∥y轴交CM于E，
∴点E（m+4，m（m+4）﹣1），
若点N在y轴左侧，EN＝﹣m﹣4，
∵S△MNC＝S△MNE+S△CNE，
∴2（﹣m﹣4）×（﹣m），
∴m1＝﹣2﹣2，m2＝﹣2+2（舍去），
综上所述点M（﹣2﹣2，2+2）．
13.如图，已知直线yx+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）线段OC＝　3　，线段AD＝　4　；
（2）点M在CD上，且CM＝OM，抛物线y＝2x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线yx+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴y＝0时，x＝﹣3，x＝0时，y＝1，
∴A点坐标为：（﹣3，0），B点坐标为：（0，1），
∴OC＝3，DO＝1，
∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4
故答案为：3，4；
（2）∵CM＝OM，
∴∠OCM＝∠COM．
∵∠OCM+∠ODM＝∠COM+∠MOD＝90°，
∴∠ODM＝∠MOD，
∴OM＝MD＝CM，
∴点M是CD的中点，
∴点M的坐标为（，）．
将点C，M的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣3，c＝3，
∴抛物线y＝x2+bx+c的解析式为：y＝2x2﹣4x+3．
（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形．
①如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形．
∴∠FCE＝∠PCE，
由题意可知，OA＝OC，
∴∠ACO＝∠PCE＝45°，
∴∠FCP＝90°，
∴菱形CFEP为正方形．
过点P作PH⊥CE，垂足为H，
则Rt△CHP为等腰直角三角形．
∴CPCHPH．
设点P为（x，2x2﹣4x+3），则OH＝2x2﹣4x+3，PH＝x，
∵PH＝CH＝OC﹣OH，
∴3﹣（2x2﹣4x+3）＝x，
解得：x
∴CPCH，
则四边形的周长为4CP＝6．
②如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形．
∴CF＝PF，CE∥FP．
∵直线AC过点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y＝x+3．
过点C作CM⊥PF，垂足为M，
则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM＝FM．
反向延长PF交x轴于点N，
则PN⊥x轴，∴PF＝FN﹣PN，
设点P为（x，2x2﹣4x+3），则点F为（x，x+3），
∴FCx，FP＝（x+3）﹣（2x2﹣4x+3）x
解得：x，
∴FCx
∴菱形CFEP的周长为104，
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为6或104．
针对训练
二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】B
【分析】结合图象和解析式，利用二次函数的性质解决问题．
【详解】∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大.
∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
2.根据二次函数（，、、为常数）得到一些对应值，列表如下：
判断一元二次方程的一个解的范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】观察表格可知，2.2～2.5之间，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在2.3～2.4之间由负到正，故可判断时，对应的x的值在2.3～2.4之间．
【详解】根据表格可知，时，对应的x的值在2.3 2.4之间.
故选C.
【点评】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系.关键是观察表格,确定函数值由负到正时,对应的自变量取值范围.
3.在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2经变换后得到抛物线y=x 2+2，则这个变换可以( )
A．向左平移2个单位 B．向上平移2个单位
C．向下平移2个单位 D．向右平移2个单位
【答案】B
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=x 2+2，的顶点坐标为（0，2），
点（0，0）向上平移2个单位得到（0，2），
∴抛物线y=x 2向上平移2个单位y=x 2+2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的平移，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4.已知A（m，），B（4，）为抛物线上的两个不同点，若＞，则可知m的取值范围为（　　）
A．m＞4 B．m＜2或m＞4 C．m＜2 D．2＜m＜4
【答案】D
【分析】由函数解析式知抛物线开口向下，对称轴为直线，画出图象，结合图象数形结合即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴点B（4，）关于对称轴对称的点为（2，）
画出草图如下：
∵＞，
∴2＜m＜4，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
5.下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（ ）件．
降价（元）
日销量（件）
A．1200 B．750 C．1110 D．1140
【答案】C
【分析】由题意根据表中的数据分析得，每降元，销售量增加件，就可求出降元时的销售量，以此进行分析即可．
【详解】解：由表中数据得，每降元，销售量增加件，
即每降元，销售量增加件，
降元时，销售量为（件）．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用以及二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解答此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．
6.抛物线的部分图像如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】利用抛物线的对称性写出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故答案为﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了求抛物线与x轴的交点和图像法解一元二次不等式，解题的关键是通过数形结合的方法求解一元二次不等式．
7.抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＞0；
④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．
其中正确结论的序号是　③④　．
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；
②根据抛物线的对称轴方程即可判断；
③根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；
④根据m＞n＞0，得出m﹣1和n﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断．
【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
所以①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，
所以②错误；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，
所以③正确；
∵m＞n＞0，
∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，
由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；
故答案为③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．
8.丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160(2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点拨】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
9 .现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场ABCD（篱笆只围AB、BC、CD三边），其示意图如图所示．
（1）若矩形养鸡场的面积为92平方米，求所用的墙长AD．（结果精确到0.1米）【参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.24】
（2）求此矩形养鸡场的最大面积．
【答案】（1）所用的墙长AD约为10.5米；（2）矩形养鸡场的最大面积为96平方米
【分析】（1）直接根据题意表示出矩形的长与宽，再表示出矩形的面积即可得出答案；
（2）利用矩形的长与宽表示出其面积，再根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）设AD＝x米，则AB＝（28﹣x）＝（14﹣x）米，
根据题意，得：x（14﹣x）＝92，
解得：x1＝14+2≈17.46＞12，不合题意，舍去．
x2＝14﹣2＝14﹣2×1.73≈10.5，
答：所用的墙长AD约为10.5米；
（2）设矩形养鸡场ABCD的面积为S平方米，则：
S＝x（14﹣x）＝﹣（x﹣14）2+98，
∵墙长12米，
∴0＜x≤12．
∴当x＝12时，S取最大值为：﹣（12﹣14）2+98＝96，
答：此矩形养鸡场的最大面积为96平方米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的实际应用，根据题中的数量关系正确表示出矩形面积是解题的关键．
10 .如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A到直线EF距离的最大值．
【解答】解：（1）∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，
∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；
（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，
在△BAQ和△COA中，
，
∴△BAQ≌△COA（AAS），
∴AQ＝OA＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为yx﹣1，
联立，
解得x1＝2（舍去），x2，
∴P（，）；
（3）设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），
由点P、E的坐标得，yPE＝（x1+1）x﹣4﹣x1，
同理可得yPF＝（x2+1）x﹣4﹣x2，
又∵PE⊥PF，
∴（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1，
x1x2＝﹣2﹣（x1+x2）（这里可以构造三垂模型如图3，利用相似三角形的性质得到）．
同理可得EF的解析式为：yEF＝（x1+x2）x﹣4﹣x1x2，
∴yEF＝（x1+x2）x﹣4+2+（x1+x2）＝（x1+x2）（x+1）﹣2，
∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣2），设该点为R，
连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，
∴AR．
老师对你说：
老师对你说：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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