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九年级数学上学期知识点归纳（华师版）
第21章 二次根式
一、二次根式
1、形如（a≥0）的式子叫做二次根式。“ ”叫做二次根号，a叫做被开方数，（a≥0）表示非负数a的算术平方根。
注意：
二次根号“ ”实为“”，通常根指数2省略；
二次根式中，a可以是一个具体的数，也可以是含有字母的代数式，但必须满足a≥0；
（3）二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“”。如=2，是二次根式，2不是二次根式。
（4）形如（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与的乘积。当b是假分数时，不能写成带分数或小数，如不能写成1或。
2、二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是a≥0，即a是非负数。
由于负数没有算术平方根，所以当a＜0时，无意义，只有当a≥0时，才有意义。
注意：
若被开方数中含有分母或分母中含有二次根式，则还应使分母不为零。如 , 中，a≠0，所以它们有意义的条件都是a>0。
++…+有意义的条件为A≥0, B≥0, … ,N≥0。
3、二次根式的性质
（1）二次根式的双重非负性：
因为（a≥0）表示非负数a的算术平方根，而非负数a的算术平方根也是非负数，即（a≥0）也是非负数，所以二次根式具有双重非负性，即
①被开方数具有非负性，即a≥0；
②非负数a的算术平方根也具有非负性，即≥0(a≥0)。
（2）()2(a≥0)与的性质
性质 文字语言 应用及拓展
()2=a(a≥0) 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 ①正用：如()2=2，()2=+2； ②逆用：若b≥0，则b=()2，如5=()2，=()2
=|a|= 任意实数的平方的算术平方根都等于它本身的绝对值 化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如=|π 4|=4 π
（3）()2(a≥0)与的区别与联系
()2(a≥0)
区别 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示a的平方的算术平方根
包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方
a的取值范围 a为非负数 a为全体实数
结果的表达形式 ()2=a(a≥0) =|a|=
联系 ()2和的结果都是非负数，且当a≥0时，=()2
二、二次根式的运算
1、二次根式的乘除
乘法法则：=(a≥0，b≥0)；
即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。
积的算术平方根：=(a≥0，b≥0)；
即积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。
除法法则：=(a≥0，b＞0)；
即两个算术平方根的商，等于商的算术平方根。也可以写成=(a≥0，b＞0)。
二次根式的加减
同类二次根式
与整式中同类项相类似，我们把像，与这样的几个二次根式，称为同类二次根式。与也是同类二次根式。
同类二次根式与同类项的不同点
同类二次根式 同类项
所指对象不同 几个二次根式之间的关系 几个单项式之间的关系
判定标准不同 化为最简二次根式后看被开方数 看字母和相应的指数
判断方法不同 先化简再看被开方数 先看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否相同
合并同类二次根式
将同类二次根式的系数相加减作为结果的系数，被开方数和根指数不变。
合并同类二次根式和合并同类项的异同
合并同类二次根式 合并同类项
合并后的结果形式不同 （如合并式子 a+b b+a） + +）a+（-）b
合并法则相同 把单项式的字母因式称为“类”，把二次根式的根号及被开方数称为“类”，则合并的法则均是：系数相加减，“类”不变
二次根式的加减
法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。
步骤：
①“化”:化为最简二次根式；
②“找”:找出同类二次根式；
③“合”:合并同类二次根式。
二次根式加减的运算律：二次根式的加减也满足加法交换律和结合律。
注意：
①二次根式的加减实际上就是合并同类二次根式，切记不是同类的二次根式不能合并，如 +不能合并。
②二次根式的加减运算中，对于不能合并的二次根式，不要漏写。
二次根式的混合运算
①二次根式混合运算的顺序：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。（幂的运算法则、多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用）
②二次根式的混合运算的几种常见类型及运算方法：
（++）=++（其中a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）；
（+）（+）=+++（其中a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）；
（+）（-）=（）2-（）2=a-b（其中a≥0，b≥0）；
（±）2=a+b±（其中a≥0，b≥0）。
三、二次根式的化简求值技巧
技巧一 利用二次根式的性质=|a|化简
技巧二 逆用二次根式乘除法法则化简
技巧三 利用隐含条件化简
技巧四 巧用乘法公式化简
技巧五 巧用整体思想进行计算
第22章 一元二次方程
一、一元二次方程
1、一元二次方程
含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程。
【说明】一元二次方程必须同时满足三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）所含未知数的最高次数是2；
（3）必须是整式方程。
2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
3、一元二次方程的解（根）
①概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解
也叫做一元二次方程的根。
②判断一个数是否是一元二次方程的根：
将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不
相等，则该数不是这个方程的根。
二、一元二次方程的解法
1、降次
把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)。
2、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x2=b或的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
3、配方法
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
配方法解一元二次方程的步骤是：
①移项；
②配方(写成平方形式)；
③用直接开方法降次；
④解两个一元一次方程；
⑤判断2个根是不是实数根。
4、公式法
公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。
（1）一元二次方程根的判别式
①内容：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=。
②方程的根的情况：
Δ＞0 方程有两个不相等的实数根。
Δ=0 方程有两个相等的实数根。
Δ＜0 方程无实数根。
一元二次方程的求根公式
①内容：当 ≥0时，方程的实数根的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
②公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，以避免配方过
程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
③用公式法解一元二次方程的步骤
Ⅰ.整理方程：写成一般式；
Ⅱ.计算根的判别式：Δ=；
Ⅲ.求根：当Δ=＞0 时，将各项系数代入求根公式；
Ⅳ.写解：，。
注：当Δ==0时，方程有两个相等的实数根，即x1=x2=-。
5、因式分解法
（1）因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
（2）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①移项：将方程化为一般形式；
②分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
③转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。
6、灵活选用适当的方法解一元二次方程
（1）在一元二次方程的四种解法中，优先选取的顺序为：
直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法
（2）没有特殊要求，一般不用配方法，因为配方法比较繁琐。
（3）因式分解法用的最多，因为其比较简单、灵活。
（4）公式法是解一元二次方程的“万能方法”，只要方程有解，就能用公式法来解。
7、一元二次方程的根与系数的关系
（1）公式：，。
（2）内容
文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两
个根的积等于常数项与二次项系数的比。
数学语言：如果方程的两个实数根是，则，。
重要结论
①若一元二次方程的两根为，则，。
②以实数为两根的二次项系数为1的一元二次方程是。
实际问题与一元二次方程
1、列一元一次方程解决实际问题的一般步骤
①审题找相等关系；
②设未知数；
③列方程；
④解方程；
⑤检验：检验所得结果是不是方程的解；检验方程的解是否符合实际意义；
⑥写出答案。
2、常见实际问题
①平均增长率（降低率）问题：a(1+x)2=n；
②几何图形问题；
③存款利息问题；
④数字问题；
⑤存款利息问题；
⑥传播、比赛与握手问题。
一元二次方程的解法归纳
1、直接开平方法；
2、因式分解法；
3、配方法；
4、公式法；
5、十字相乘法；
6、换元法；
7、分组分解法。
五、根的判别式的两种应用
1、直接判定方程根的个数；
2、确定方程中字母参数的值或取值范围。
第23章 图形的相似
一、成比例线段
１、线段的比
如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成。
注：在求线段比时，线段单位要统一。
２、成比例线段
　　在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
注：①比例线段是有顺序的，如果说ａ，ｂ，ｃ，ｄ成比例，那么应得比例式为：=。
②a、d叫比例外项，b、c叫比例内项,如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中项， 此时有。
③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。
３、比例的性质（注意性质成立的条件：分母不能为0）
（１）比例的基本性质
如果＝，那么ad＝bc；如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），那么＝。
如果＝，那么b2＝ac；如果b2＝ac（a，b，c都不等于0），那么＝。
（２）等比性质：如果，那么。
注：
①此性质的证明运用了“设法”（即引入新的参数k），这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法。
②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零。
③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立。如：；其中。
（3）合、分比性质：。
（４）更比性质(交换比例的内项或外项)：
（５）反比性质：如果＝，那么＝。（交换比的前项和后项）
（６）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k法，消元法。
二、平行线分线段成比例
１、平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。已知AD∥BE∥CF,可得等。
注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF的比例关系。
２、平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
三、相似图形
１、相似图形的相关概念
（１）相似图形的定义
两个形状相同的平面图形称为相似图形。
相似多边形的性质
相似多边形的对应边成比例，对应角相等。
（３）相似多边形的判定
两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似。
【说明】
两个多边形相似，必须同时满足“各角对应相等”和“各边对应成比例”两个条件，二者缺一不可。
四、三角形相似的判定方法
1、定义法：三角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、定理法
（1）两角分别相等的两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
【说明】
①如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
②在两个直角三角形中，如果有一组锐角相等，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似，且都与原直角三角形相似。
④如果两个等腰三角形的顶角相等，那么这两个等腰三角形相似。
⑤如果两个等腰三角形的底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
五、相似三角形的性质
１、相似三角形的性质
（１）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（２）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
（３）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【说明】
①相似三角形对应线段的比等于相似比。
②如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有CD２＝AD·BD。
２、相似多边形的性质
（１）相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
（２）相似多边形的对应线段的比等于相似比。
（３）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
六、相似三角形的应用
1、利用阳光下的影子测高
2、利用标杆测高
3、利用镜子的反射测高
七、中位线
1、三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。
3、三角形的重心：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的。
八、位似图形
１、位似多边形的相关概念
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应点P、P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上k就是这两个相似多边形的相似比，在这里叫做位似比。
２、位似多边形的性质
（1）位似多边形的对应角相等，对应边成比例。
（2）位似多边形的对应边平行（或在一条直线上）。
（3）位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
【说明】位似多边形一定相似，但相似多边形不一定位似。
3、确定位置
（1）平面内确定一个物体的位置需要2个数据。
（2）确定位置的方法
①行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。
②方位角距离定位法：方位角和距离。
③经纬定位法：它也需要两个数据——经度和纬度。
④区域定位法：只描述某点所在的大致位置，如“解放路22号”。
（3）弄清（a,b）中a与b各代表什么含义，顺序不能写错。
4、图形的变换与坐标
①平移变换的坐标变化规律：
左、右平移，它们的纵坐标都不变，横坐标有变化，向右平移几个单位横坐标就增加几个单位，向左平移几个单位横坐标就减少几个单位；
上、下平移，它们的横坐标都不变，纵坐标有变化，向上平移几个单位，纵坐标就增加几个单位，向下平移几个单位，纵坐标就减少几个单位。
②轴对称变换的点的坐标变化规律:
关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
关于原点对称，横、纵坐标都互为相反数。
③在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是|k|。
九、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法
1、证明题常用方法归纳：
（1）总体思路：“等积式”变“比例式”，“比例的对应边”找“相似多边形的对应边”，当有多条边相等的时候要会转移边；
（２）找相似
（３）找中间比：常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换；
（４）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例。
（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看作k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
2、相似图形的证明题型
题型一：相似之中间项转化
题型二：辅助线X图
题型三：面积相等题
题型四：周长相等题
题型五：相似旋转
题型六：非相似三角形的面积比
题型七：相似外角推论
题型八：函数题
第24章 解直角三角形
一、测量
1、影长法
原理：在太阳光线下，同一时刻中，物高与影长成正比。
【总结】
利用太阳光，量出竹竿在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度、竹竿的高度，便可构造出相似三角形，从而求出旗杆的高度。
2、平面镜法
原理：根据反射角等于入射角，再利用等角的余角相等，可得一组角相等，再根据物与地面垂直，得出一组直角，得两个三角形相似，列出比例式求解。
3、标杆法
原理：构造相似三角形。
二、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余；
2、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
三、锐角三角函数
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示；另两条直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示(如图)。
1、我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A==。
2、我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A==。
3、我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A==。
4、显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sin A＜1，0＜cos A＜1。
根据三角函数的定义，我们还可以得出sin2A+cos2A=1.
5、特殊角的三角函数值
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
说明：由上表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角。
巧记特殊锐角三角函数值的方法
①三角板记忆法：借助如图所示的三角板记忆
②特点记忆法：
30°，45°，60°角的正弦值记为，，，余弦值相反，正切值记为，，。
③口诀记忆法：1，2，3；3，2，1；3，9，27；弦比2，切比3，分子根号别忘添。
四、解直角三角形
1、在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素。∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素。
2、解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形。
3、解直角三角形类型：①已知两边长；②已知一个锐角和一边长。
注意：
①在初中研究的是锐角的三角函数，都是在直角三角形中定义的，而锐角三角函数值的大小与所在的三角形无关，只与角本身大小有关。
②利用三角函数的定义求值时如果图形中没有直角三角形，首先要添加辅助线构造直角三角形。
五、解直角三角形的应用
1、在直角三角形的应用中，常常涉及到的概念有仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等。
2、解直角三角形的步骤：
（1）弄清其中名词的概念，根据题意画出几何图形；
（2）把实际问题转化为数学问题，建立数学模型；
（3）找到基本三角形，添加辅助线，构造直角三角形，利用三角函数找到边角之间的关系，选择合适的三角关系求解；
（4）按题目中已知数的精确度进行近似计算，按要求的精确度确定答案及单位。
六、作辅助线分割图形
1、作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形。
2、作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形。
3、连线割补，可以把不规则四边形转化为含直角三角形的图形。
七、锐角三角函数求值的六种方法
方法一 运用定义求锐角三角函数值
方法二 巧设参数求锐角三角函数值
方法三 构造直角三角形求锐角三角函数值
方法四 利用等角求锐角三角函数值
方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值
方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值
解直角三角形实际问题中的四种基本模型
模型一 “背靠背”型
模型二 “母抱子”型
模型三 “拥抱”型
模型四 “组合”型
第25章 随机事件的概率
一、在重复试验中观察不确定现象
1、确定性事件
（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件；必然事件一定会发生，即发生的可能性是100%；
（2）不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件；不可能事件一定不会发生，即发生的可能性是0。
注：一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述违背真理或客观存在的事实的事件是不可能事件。
2、随机事件（不确定性事件）
（1）概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
（2）随机事件发生的可能性都在0～100%之间（不包括0和100%）。
注：比较随机事件发生的可能性大小时，可在相同的条件和总数一定的情况下，通过可能出现的结果数进行比较，结果数越多，则这个事件发生的可能性越大。
二、概率
1、概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。
2、概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P (A ) =。
注：运用上述计算概率的方法时，试验需满足两个共同特点：
（1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
（2）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。
3、概率的取值范围
（1）当A为必然事件时，P(A)=1；
（2）当A为随机事件时，0（3）当A为不可能事件时，P(A)=0；
（4）事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。
4、计算简单事件的概率的主要类型
（1）个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果的试验；P(A)=。
（2）面积类型：如果随机试验是向区域S内掷一点，那么掷在区域A(A在S内)内的概率P(A)=。
三、利用频率估计概率
1、一般地，在大量重复进行同一试验时，某一事件发生的频率总接近于某个常数，且在这个常数附近波动，这个常数就是这一事件发生的概率。在一个试验中有n个等可能的结果，而某一事件A中包含其中m个等可能的结果，那么事件A发生的概率为(m≤n)，记为P（A）＝。
2、适用条件
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率。
３、计算方法
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P(A)=p。
注：①试验得出的频率只是概率的近似值。
②试验次数越多，频率越趋向于概率，所以利用频率估计概率的前提条件是大量重复试验。
③频率和概率的区别和联系
四、列举所有机会均等的结果
1、用画树状图法求概率：当一次试验涉及两个或更多个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，通常采用画树状图法列举出所有的等可能结果，再利用概率公式P(A) =求事件发生的概率。
（1）适用条件：
①当一次试验涉及两个或更多个因素时；
②可能出现的等可能结果数目较多。
2、用列表法求概率：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，常采用列表格的方式列举出所有的等可能结果，再利用概率公式P(A) =求事件发生的概率。
（2）适用条件
①当一次试验涉及两个因素；
②可能出现的等可能结果数目较多。

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