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2023-2024学年初中数学八年级上册 19.4 线段的垂直平分线 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022八上·赵县期末）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B=∠C，且∠EAC>90°，则根据图中标示的角，下列结论正确的是（　　）
A．∠1=∠2，∠1<∠3 B．∠1=∠2，∠1>∠3
C．∠l≠∠2，∠1<∠3 D．∠1≠∠2，∠1>∠3
2．（2022八上·凤台期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若，△ADC的周长为9 cm，则△ABC的周长是（　　）
A．6 cm B．12 cm C．15 cm D．24 cm
3．（2022八上·右玉期末）已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm
4．（2023八上·蜀山期末）如图，已知，用尺规在边上确定一点P，使．下面四种作图中，正确的是（　　）
A．以B为圆心，为半径画弧，交于点P，点P为所求
B．以C为圆心，为半径画弧，交于点P，点P为所求
C．作的垂直平分线交于点P，点P为所求
D．作的垂直平分线交于点P，点P为所求
5．（2023八上·港南期末）如图，在中，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两相交于两点；②作直线交于点，连接.若.则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022八上·安次期末）如图，，的周长为9，的垂直平分线交于点E，垂足为D，则（　　）
A．6 B．5 C．4 D．9
7．（2021八上·林口期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④
8．（2022八上·定海期末）如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023八上·汉阴期末）如图所示，在边长为2的等边中，点为的中点，点为的中点，过点作交于点，交于点，点是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是　 　.
10．（2023八上·安岳期末）如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上.若的周长为30，则的长为　 　.
11．（2022八上·奎文期中）如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则　 　度．
12．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为　 　．
13．（2021八上·林口期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是　 　．
三、解答题
14．（2022八上·淮北月考）如图，在中，点D是的中点，过点D作交于点E，连接．若的周长为13，，求的周长．
15．（2022八上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
三角形背景下角的关系探索
素材1 如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2 特例猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.
四、作图题
16．（2022八上·丰台期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：，使，且点D在射线上．
作法：
①如图2，在射线上任取一点C；
②作线段的垂直平分线，交于点D；
③连接．
则即为所求作的角．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：是线段的垂直平分线，
▲ （ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
，
．
五、综合题
17．（2023八上·安顺期末）如图，在中，已知，是边上的中线，点是边上一动点，点是上的一个动点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，，且时，求的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值．
18．（2022八上·丰台期末）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结．
（1）如图1，射线，都在的内部．
①设，则　 　（用含有的式子表示）；
②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段　 　的长度相等；
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】DE为AB的中垂线，则AD=BD，且∠BDE=∠ADE=90°，在△BDE和△ADE中，DE是公共边，根据SAS可知，△BDE≌△ADE，所以∠1=∠2。在△BDE和△ACE中，∠B=∠C，∠BDE=90°，而∠EAC>90°，根据三角形内角和为180°，则∠B+∠BDE+∠1=∠C+∠EAC+∠2，所以∠1>∠3；
故答案为：B。
【分析】根据线段垂直平分线和三角形内角和相等的性质进行分析。
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AD+CD+AC=9cm，
∴BD+CD+AC=9cm，即BC+AC=9cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+9=15cm，
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ABC的周长=AB+BC+AC=6+9=15cm。
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
∵的垂直平分线交于M交于E，的垂直平分线交于点N，交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，再结合，可得。
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故答案为：D.
【分析】利用垂直平分线的性质求解即可。
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
，
，
在中，
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DC=DB，根据等边对等角得∠B=∠DCB，∠CDA=∠A=50°，根据三角形外角值得∠CDA=∠B+∠DCB=2∠B，据此即可算出∠B的度数，进而根据三角形的内角和定理，由∠ACB=180°-∠A-∠B即可算出答案.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
由的周长为9可得，，
则，
，
故答案为：B
【分析】利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得。
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABC=∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①符合题意；
②△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②符合题意；
③如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；故③符合题意；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD=S△CHP，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD=S△AHC，
∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD，
∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④符合题意．
故答案为：A．
【分析】①连接OB，由垂直平分线的性质可得OB=OC=OP，利用等边对等角可得∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，由∠ABC=
∠ABO+∠DBO=30°可得∠APO+∠DCO=30°，故意正确；②由周角及三角形内角和可求出∠POC=2∠ABD=60°，结合PO=OC，可证△OPC是等边三角形，故②正确；③在AC上截取AE=PA，证明△OPA≌△CPE（SAS），可得AO=CE，从而得出AC=AE+CE=AO
+AP；故③正确；④作CH⊥BP，证明△CDO≌△CHP（AAS），可得S△OCD=S△CHP，再证Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），可得S△ABD
=S△AHC，从而推出四边形OAPC面积=S△ABC，故④正确.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：
∵∠PAE=60°，
∴△PAE是等边三角形，
∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，
∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，
∴△BPE≌△OPA（SAS），
∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，
∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，
∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，
如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得BD=CD，∠ACB=∠ABC=30°，利用等边对等角可得到∠OBD=∠OCD，结合已知可得到OC=OP，利用等边对等角可证得∠APO=∠OCP，根据∠ACB=∠OCP-∠OCB，可对①作出判断；由OP=OB，可证得∠OPB=∠PBO，再证明∠PBO=∠PBA+∠APO，利用三角形的内角和定理可证得∠OPB=60°，利用有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△BPO是等边三角形，可对②作出判断；在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，易证△PAE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到AP=PE=AE，∠APE=60°；再证明∠BPE=∠OPA，利用SAS证明△BPE≌△OPA，利用全等三角形的性质可得到BE=AO，根据AB-BE=AE，可推出AB-AP=AO，可对③作出判断；延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，易证△ABF是等边三角形，可得到∠ABF=60°，再证明∠PBA=∠OBF，利用SAS证明△APB≌△FOB，可证得四边形AOBP的面积等于△ABF的面积，要证四边形AOBP的面积等于△BOC面积的2倍，需证明AD=2OD，不能证明此结论，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
等边△ABC中，点G为BC的中点，
，，
，
，
∵点D为AG的中点，
EF是AG的垂直平分线，
关于对称，
，
，
当三点共线时（即P与E重合），即P与E重合时有最小值，
为：
，
故答案为：3.
【分析】连接AP，根据等边三角形的性质得AG⊥BC，BG=1，由平行线的性质推出AD⊥EF，易得EF是AG的垂直平分线，故PA=PG，根据三角形周长的计算方法可得C△BPG=1+BP+PA，当B、P、A三点共线时（即P与E重合），即P与E重合时有最小值，最小值就是AB，从而问题就可以解决了.
10．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵于点D，，
∴，
∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：15.
【分析】根据等腰三角形的判定定理可得AB=AC，由垂直平分线的性质可得AC=EC，则AC=EC=AB，根据周长的意义可得AB+AC+BC=2(AC+DC)=30，求出AC+DC的值，然后根据DE=DC+CE=DC+AC进行计算.
11．【答案】160
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接，
∵在中，，
∴．
∵三内角的角平分线交于点D，
∴平分，
∴，
同理可得，，，
∵在中，
，
又∵，，，
∴，
∵，
∴．
如图2，连接，
∵三边的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，
．
故答案为：160．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。
12．【答案】
【知识点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
13．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，
∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【分析】连接BD，OB，由折叠知EF是BD的对称轴，可得OB=OD，求出CD=AC-AD=2，由于△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，当点B、O、C共线时，BO+OC=BC为最小值，从而求出△OCD周长最小值=2+BC，继而得解.
14．【答案】解：∵点D是的中点，，
∴是线段的中垂线，
∴，
∵的周长为13，
∴，
∴的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据中垂线的性质可得BE=CE，再利用三角形的周长公式及等量代换可得的周长。
15．【答案】解：任务一：右；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°.
∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝70°﹣20°＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°.
猜想：∠BAD＝2∠CAE；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，
∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x﹣y，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝2x﹣2y，
∵∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝x﹣y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧.
故答案为：右；
【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，再根据等边对等角得∠DAE＝∠E＝20°， 根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CAE， 进而根据角的和差，由 ∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE ， ∠BAD＝∠BAC+∠CAD 算出∠BAD的度数，从而即可得出结论；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE，设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE， 设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y ，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可.
16．【答案】（1）解：如图，
即为所求作：
（2）证明：∵是线段的垂直平分线，
(线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)，
(等边对等角），
，
．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-角
【解析】【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）由线段垂直平分线的性质可得OD=CD，利用等边对等角可得∠AOB=∠DCO，再根据三角形外角的性质可得∠ADC=2∠AOB.
17．【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）解：∵CE⊥AB，
∴·BC·AD＝·AB·CE，
又∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝=．
（3）解：PE+PB的最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接PC，
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理求得∠ACB的度数即可；
（2）利用三角形等面积法可得·BC·AD＝·AB·CE，再代入数据计算即可求解；
（3）连接PC，利用线段垂直平分线性质及轴对称性质，可得到PB+PE＝PE+PC≥CE，即把问题转化为两点之间线段最短，进而求解即可．
18．【答案】（1）；CG
（2）解：，证明如下：
如图，在射线上取一点P，是，连接，则垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵，射线，的夹角为，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
②如图，连接，
∵点B关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
【分析】（1）①根据即可求解；②连接，根据SAS证明，可得CG=B'G；
（2） ，证明： 在射线上取一点P，是，连接，则垂直平分，证明，可得，利用即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.4 线段的垂直平分线 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022八上·赵县期末）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B=∠C，且∠EAC>90°，则根据图中标示的角，下列结论正确的是（　　）
A．∠1=∠2，∠1<∠3 B．∠1=∠2，∠1>∠3
C．∠l≠∠2，∠1<∠3 D．∠1≠∠2，∠1>∠3
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】DE为AB的中垂线，则AD=BD，且∠BDE=∠ADE=90°，在△BDE和△ADE中，DE是公共边，根据SAS可知，△BDE≌△ADE，所以∠1=∠2。在△BDE和△ACE中，∠B=∠C，∠BDE=90°，而∠EAC>90°，根据三角形内角和为180°，则∠B+∠BDE+∠1=∠C+∠EAC+∠2，所以∠1>∠3；
故答案为：B。
【分析】根据线段垂直平分线和三角形内角和相等的性质进行分析。
2．（2022八上·凤台期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若，△ADC的周长为9 cm，则△ABC的周长是（　　）
A．6 cm B．12 cm C．15 cm D．24 cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AD+CD+AC=9cm，
∴BD+CD+AC=9cm，即BC+AC=9cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+9=15cm，
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ABC的周长=AB+BC+AC=6+9=15cm。
3．（2022八上·右玉期末）已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
∵的垂直平分线交于M交于E，的垂直平分线交于点N，交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，再结合，可得。
4．（2023八上·蜀山期末）如图，已知，用尺规在边上确定一点P，使．下面四种作图中，正确的是（　　）
A．以B为圆心，为半径画弧，交于点P，点P为所求
B．以C为圆心，为半径画弧，交于点P，点P为所求
C．作的垂直平分线交于点P，点P为所求
D．作的垂直平分线交于点P，点P为所求
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故答案为：D.
【分析】利用垂直平分线的性质求解即可。
5．（2023八上·港南期末）如图，在中，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两相交于两点；②作直线交于点，连接.若.则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
，
，
在中，
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DC=DB，根据等边对等角得∠B=∠DCB，∠CDA=∠A=50°，根据三角形外角值得∠CDA=∠B+∠DCB=2∠B，据此即可算出∠B的度数，进而根据三角形的内角和定理，由∠ACB=180°-∠A-∠B即可算出答案.
6．（2022八上·安次期末）如图，，的周长为9，的垂直平分线交于点E，垂足为D，则（　　）
A．6 B．5 C．4 D．9
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
由的周长为9可得，，
则，
，
故答案为：B
【分析】利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得。
7．（2021八上·林口期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABC=∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①符合题意；
②△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②符合题意；
③如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；故③符合题意；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD=S△CHP，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD=S△AHC，
∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD，
∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④符合题意．
故答案为：A．
【分析】①连接OB，由垂直平分线的性质可得OB=OC=OP，利用等边对等角可得∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，由∠ABC=
∠ABO+∠DBO=30°可得∠APO+∠DCO=30°，故意正确；②由周角及三角形内角和可求出∠POC=2∠ABD=60°，结合PO=OC，可证△OPC是等边三角形，故②正确；③在AC上截取AE=PA，证明△OPA≌△CPE（SAS），可得AO=CE，从而得出AC=AE+CE=AO
+AP；故③正确；④作CH⊥BP，证明△CDO≌△CHP（AAS），可得S△OCD=S△CHP，再证Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），可得S△ABD
=S△AHC，从而推出四边形OAPC面积=S△ABC，故④正确.
8．（2022八上·定海期末）如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：
∵∠PAE=60°，
∴△PAE是等边三角形，
∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，
∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，
∴△BPE≌△OPA（SAS），
∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，
∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，
∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，
如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得BD=CD，∠ACB=∠ABC=30°，利用等边对等角可得到∠OBD=∠OCD，结合已知可得到OC=OP，利用等边对等角可证得∠APO=∠OCP，根据∠ACB=∠OCP-∠OCB，可对①作出判断；由OP=OB，可证得∠OPB=∠PBO，再证明∠PBO=∠PBA+∠APO，利用三角形的内角和定理可证得∠OPB=60°，利用有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△BPO是等边三角形，可对②作出判断；在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，易证△PAE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到AP=PE=AE，∠APE=60°；再证明∠BPE=∠OPA，利用SAS证明△BPE≌△OPA，利用全等三角形的性质可得到BE=AO，根据AB-BE=AE，可推出AB-AP=AO，可对③作出判断；延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，易证△ABF是等边三角形，可得到∠ABF=60°，再证明∠PBA=∠OBF，利用SAS证明△APB≌△FOB，可证得四边形AOBP的面积等于△ABF的面积，要证四边形AOBP的面积等于△BOC面积的2倍，需证明AD=2OD，不能证明此结论，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
9．（2023八上·汉阴期末）如图所示，在边长为2的等边中，点为的中点，点为的中点，过点作交于点，交于点，点是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是　 　.
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
等边△ABC中，点G为BC的中点，
，，
，
，
∵点D为AG的中点，
EF是AG的垂直平分线，
关于对称，
，
，
当三点共线时（即P与E重合），即P与E重合时有最小值，
为：
，
故答案为：3.
【分析】连接AP，根据等边三角形的性质得AG⊥BC，BG=1，由平行线的性质推出AD⊥EF，易得EF是AG的垂直平分线，故PA=PG，根据三角形周长的计算方法可得C△BPG=1+BP+PA，当B、P、A三点共线时（即P与E重合），即P与E重合时有最小值，最小值就是AB，从而问题就可以解决了.
10．（2023八上·安岳期末）如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上.若的周长为30，则的长为　 　.
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵于点D，，
∴，
∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：15.
【分析】根据等腰三角形的判定定理可得AB=AC，由垂直平分线的性质可得AC=EC，则AC=EC=AB，根据周长的意义可得AB+AC+BC=2(AC+DC)=30，求出AC+DC的值，然后根据DE=DC+CE=DC+AC进行计算.
11．（2022八上·奎文期中）如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则　 　度．
【答案】160
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接，
∵在中，，
∴．
∵三内角的角平分线交于点D，
∴平分，
∴，
同理可得，，，
∵在中，
，
又∵，，，
∴，
∵，
∴．
如图2，连接，
∵三边的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，
．
故答案为：160．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。
12．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
13．（2021八上·林口期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，
∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【分析】连接BD，OB，由折叠知EF是BD的对称轴，可得OB=OD，求出CD=AC-AD=2，由于△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，当点B、O、C共线时，BO+OC=BC为最小值，从而求出△OCD周长最小值=2+BC，继而得解.
三、解答题
14．（2022八上·淮北月考）如图，在中，点D是的中点，过点D作交于点E，连接．若的周长为13，，求的周长．
【答案】解：∵点D是的中点，，
∴是线段的中垂线，
∴，
∵的周长为13，
∴，
∴的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据中垂线的性质可得BE=CE，再利用三角形的周长公式及等量代换可得的周长。
15．（2022八上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
三角形背景下角的关系探索
素材1 如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2 特例猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.
【答案】解：任务一：右；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°.
∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝70°﹣20°＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°.
猜想：∠BAD＝2∠CAE；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，
∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x﹣y，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝2x﹣2y，
∵∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝x﹣y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧.
故答案为：右；
【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，再根据等边对等角得∠DAE＝∠E＝20°， 根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CAE， 进而根据角的和差，由 ∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE ， ∠BAD＝∠BAC+∠CAD 算出∠BAD的度数，从而即可得出结论；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE，设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE， 设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y ，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可.
四、作图题
16．（2022八上·丰台期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：，使，且点D在射线上．
作法：
①如图2，在射线上任取一点C；
②作线段的垂直平分线，交于点D；
③连接．
则即为所求作的角．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：是线段的垂直平分线，
▲ （ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
，
．
【答案】（1）解：如图，
即为所求作：
（2）证明：∵是线段的垂直平分线，
(线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)，
(等边对等角），
，
．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-角
【解析】【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）由线段垂直平分线的性质可得OD=CD，利用等边对等角可得∠AOB=∠DCO，再根据三角形外角的性质可得∠ADC=2∠AOB.
五、综合题
17．（2023八上·安顺期末）如图，在中，已知，是边上的中线，点是边上一动点，点是上的一个动点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，，且时，求的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）解：∵CE⊥AB，
∴·BC·AD＝·AB·CE，
又∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝=．
（3）解：PE+PB的最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接PC，
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理求得∠ACB的度数即可；
（2）利用三角形等面积法可得·BC·AD＝·AB·CE，再代入数据计算即可求解；
（3）连接PC，利用线段垂直平分线性质及轴对称性质，可得到PB+PE＝PE+PC≥CE，即把问题转化为两点之间线段最短，进而求解即可．
18．（2022八上·丰台期末）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结．
（1）如图1，射线，都在的内部．
①设，则　 　（用含有的式子表示）；
②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段　 　的长度相等；
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；CG
（2）解：，证明如下：
如图，在射线上取一点P，是，连接，则垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵，射线，的夹角为，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
②如图，连接，
∵点B关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
【分析】（1）①根据即可求解；②连接，根据SAS证明，可得CG=B'G；
（2） ，证明： 在射线上取一点P，是，连接，则垂直平分，证明，可得，利用即可求解.
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