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2023-2024学年初中数学八年级上册 19.5 角的平分线 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·仙桃期末）如图，直线，平分，，则的度数为（　　）
A．65° B．50° C．40° D．25°
2．（2023七下·石家庄期中）如图，是的平分线，交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023七下·潼南期中）如图，直线，一块含有角的直角三角尺的顶点E位于直线上，平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023七下·仙桃期末）如图，直线，AO，BO分别是，的平分线，那么与之间的大小关系一定为（　　）
A．相等 B．不等 C．互余 D．互补
5．（2023七下·锦江期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．（2023七下·锦江期末）如图，，平分，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023七下·南川期中）如图，，交于点P，平分，，，有以下结论：
①；②；
③；④．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．（2023七下·石家庄期中）甲、乙、丙共同完成这样一道题目：“直线，相交于点，平分，，垂足为（如图所示）．若，请用含的代数式表示，，中任意两个角的度数．”甲的结果是，；乙的结果是，；丙的结果是，．下列判断正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲和乙都错 C．乙和丙都对 D．乙对丙错
二、填空题
9．（2023七下·黄冈期末）如图，OC是的平分线，直线．若，则的大小为　 　．
10．（2023七下·仙桃期末）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分，，若为度，则为　 　度（用含的式子表示）．
11．（2023七下·陈仓期末）如图，在中，，是的角平分线，，若的面积为2，则的面积是　 　.
12．（2023七下·淄川期末）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为　 　．
13．（2023七下·泰山期末）如图，在锐角中，，、为的角平分线．且、交于点，连接．有下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是　 　 ．
三、解答题
14．（2023七下·石家庄期中）如图，在中，平分，交于点，，，求的度数．
四、作图题
15．（2021八上·防城期中）请在△ABC内部找到一个点P，使点P到AB、BC的距离相等，且PB=PC。(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
五、综合题
16．（2023七下·仙桃期末）在数学活动课上，老师组织七（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接AB，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）【小试牛刀】
当时，求的度数；
（2）【变式探索】
当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）【能力提升】
当点P运动到使时，　 　（直接写出结果）．
17．（2023七下·韩城期末）已知，为直线，之间一点.
（1）如图1，若，，则　 　；
（2）如图2，若点为线段与的交点，，，平分，交直线于点，求的度数；
（3）如图3，若点为线段与的交点，，，过点作，交直线于点，平分，平分，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；同位角
【解析】【解答】解：对图形进行标注：
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=65°，∠2=∠EBD
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°，
∵∠EBD=180°-∠ABD=50°，
∴∠2=50°，
故选：B.
【分析】根据平行线性质得：∠1=∠ABC=65°，∠2=∠EBD；再根据角平分线性质得：∠ABD=2∠ABC=130°，再根据平角的定义得：∠EBD=180°-∠ABD=50°.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴∠FAC=∠1=35°，
∵是的平分线 ，
∴∠BEF=∠FAC=35°，
；
故答案为：C。
【分析】由平行线性质得∠FAC=∠1=35°，由角平分线性质得∠BEF=∠FAC=35°计算即可。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠FEG=30°， 平分，
∴∠CEF=2∠FEG=60°，
∵AB//CD，
∴∠1=∠CEF=60°，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线求出∠CEF=2∠FEG=60°，再根据平行线的性质计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；同旁内角
【解析】【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠ABD+∠BAC=180°，
∵AO，BO分别为∠BAC和∠ABD的角平分线，
∴∠ABO=∠BAC，∠BAO=∠ABD
∴∠BAO+∠ABO=（∠ABD+∠BAC）=90°
∴∠BAO和∠ABO是互余，
故选：C.
【分析】根据平行线的性质得：∠ABD+∠BAC=180°；根据角平分线得性质得：∠BAO=∠ABD，∠ABO=∠BAC，继而可以求出∠BAO+∠ABO.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作FD⊥CA于点F，如图所示：
由题意得DA为∠CAB的角平分线，
∵，FD⊥CA，
∴ED=FD=2，
∴，
∴AC=5，
故答案为：B
【分析】过点D作FD⊥CA于点F，先根据角平分线的性质即可得到ED=FD=2，进而根据即可求解。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A=∠ADC，
∵平分，
∴∠CDF=∠CDA，
∵∠ADF为△AED的外角，
∴∠ADF=∠A+∠AED，
∴∠A=∠ADC=∠CDF=50°，
∴∠ADE=80°，
故答案为：C
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠A=∠ADC，进而根据角平分线的性质得到∠CDF=∠CDA，从而根据三角形外角的性质即可得到∠A=∠ADC=∠CDF=50°，然后结合题意即可求解。
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，∠COE＝20°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，故①正确；
∵OE⊥OF，
∴∠AOE＝90°-∠AOF＝25°，
∴∠COE＝∠COA-∠AOE＝25°，
∴∠AOE＝∠COE，故②正确；
∵OP⊥CD交AB于点P，
∴∠POF＝90°-∠DOF＝25°，
∴∠POF＝∠COE，故③正确；
∵∠AOP＝∠EOF-∠POF-∠AOE
＝90°-25°-25°
＝40°，
2∠COE＝50°，
∴∠AOP≠2∠COE，故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故选：A
【分析】根据平行线的性质可求得∠AOD＝130°，结合OF平分∠AOD，从而得到∠AOF＝65°；由平行线的性质可得∠AOC＝50°，再由∠AOE＝90°-∠AOF＝25°，从而可得∠AOE＝∠COE；从∠DOF＝∠AOF＝65°，可求∠POF＝90°-∠DOF＝25°，从而可判断；∠AOP＝90°-∠POF-∠AOE＝40°，而∠COE＝25°，故可判断。
8．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的性质
【解析】【解答】∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠DOE=90°
∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD= ∠FOD，
∵∠EOF=a，
∴∠BOD=∠DOF=∠EOF-∠EOD=a-90°
∴∠BOE=∠EOD-∠BOD=90° -(a-90°)=180°-a
∵∠BOD= ∠ACO，
∴∠AOC=a-90°，∠AOF=180°-∠BOF=180°-2∠BOD=180°-2(a-90°）=360° -2a
故答案为：C。
【分析】根据几何图形中的角度进行计算，用含a的代数式表示出即可。
9．【答案】65°
【知识点】角平分线的性质；同位角；内错角
【解析】【解答】解：∵l∥OB，
∴∠AOB=180°-∠1=130°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠BOC=∠AOB=65°，
∴∠2=∠BOC=65°，
故填：65°。
【分析】根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线定义求出∠BOC，再根据平行线的性质求出∠2.
10．【答案】（）
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点A，C，F，B在同一条直线上，∠ECA=°，
∴∠ECB=180°-∠ECA=(180-)°，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB=∠ECB=（）°，
∵FG∥CD，
∴∠GFB=∠DCB=（）°，
故答案为：（）.
【分析】根据平角得定义得：∠ECB=180°-∠ECA；再根据角平分线得性质得：∠DCB=∠ECB；最后根据平行线得性质得：∠GFB=∠DCB，即可求出答案.
11．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】∵过点D作于点E，如图所示，
∵是的角平分线 ，，，
∴.
由图可知，，，
∴，
∴.
∴.
故答案为：6.
【分析】利用角平分线判定定理求出CD=DE，再根据三角形的面积法即可求出答案.
12．【答案】13
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴∠ABD=∠CBD，∠EDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=ED，
∴的周长为AE+DE+AD=9+4=13，
故答案为：13
【分析】先根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到∠ABD=∠CBD，∠EDB=∠CBD，进而得到∠ABD=∠EDB，再根据等腰三角形的性质即可得到BE=ED，进而根据三角形的周长结合题意即可求解。
13．【答案】①③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵BE、CD为△ABC的角平分线 ，∴∴，又∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，∴∠FBC+∠FCB=60°∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°，所以①正确；
③如图3所示，在BC上截取BG=BD，在△BDF和△BGF中，BD=BG，∠DBF=∠GBF，BF=BF，∴△BDF≌△BGF，∴∠BFD=∠BFG，又∠BFD=180°-∠BFC=180°-120°=60°，∴∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC-∠BFG=120°-60°=60°，又∠CFE=∠BFD=60°，∴∠CFG=∠CFE，又CF=CF，∠FCG=∠FCE，∴△CFG≌△CFE，∴CG=CE，∵BC=BG+CG
∴BC=BD+CE，所以③正确；
④已知点F是角平分线的交点，所以点F到各条边的距离相等，设点F到边的距离为h，则，，∴，由③知BC=BD+CE，∴，∴，所以④正确；
②假设BD=CE成立，由③知BC=BD+CE=2BD=2BG，即点G是BC的中点，又∠BFG=∠CFG，FG=FG，∴△BFG≌△CFG，∴∠FBG=∠FCG，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，但已知△ABC并没有说是等边三角形，所以②结论不正确。综上，①③④正确。
故第1空答案为：①③④.
图3
【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和可判定①正确；由反证法可说明②不正确；通过证明三角形全等可证得③结论正确；根据角平分线的性质可知点F到三边的距离相等，可得④正确，故可得出答案。
14．【答案】解：∵，，
∴，
平分，
，
又∵，
∴ ．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】利用三角形内角和求出∠DBC=35°，由角平分线的性质求出 ∠ABD=35°，由平行线的性质可得∠BED=110°。
15．【答案】解：如图，点P为所求。
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意可得，需要做∠ABC的角平分线，作出对应图形即可。
16．【答案】（1）解：时，，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，，
∴，
（2）解：，理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-60°=120°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=，
故答案为：60°.
（2）∵BD分别平分∠PBN，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠ABD=∠CBN，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，
∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠A+∠ABN=90°，
即：2∠DBN+∠A=90°.
【分析】（1）根据平行线的性质得：∠A+∠ABN=180°；再根据角平分线的性质得：，，进而求出∠CBD.
（2）根据角平分线的性质得：；再根据平行线的性质得：，，进而可以得到 与之间的数量关系 .
（3）根据平行线的性质得：；再根据角平分线的性质得：，，∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN；最后根据平行线的性质得：，∠A+∠ABN=90°，即可解出答案.
17．【答案】（1）85°
（2）解：如图1，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴.
（3）解：如图2，过点作，
∵，
∴，
∴，.
∵，
∴
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点E作，如图所示，
∵，，
∴.
∴，.
∵，，
∴，.
∴.
【分析】（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可求出和度数，从而求出度数；
（2）根据平行线性质：两直线平行，同位角相等，即可求出和度数，从而求出度数，利用角平分线性质即可求出度数；
（3）根据两直线平行内错角相等以及同旁内角互补可求出，以及的度数，利用角平分线性质即可求出和度数，从而求出和度数，最后可求出度数.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.5 角的平分线 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·仙桃期末）如图，直线，平分，，则的度数为（　　）
A．65° B．50° C．40° D．25°
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；同位角
【解析】【解答】解：对图形进行标注：
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=65°，∠2=∠EBD
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°，
∵∠EBD=180°-∠ABD=50°，
∴∠2=50°，
故选：B.
【分析】根据平行线性质得：∠1=∠ABC=65°，∠2=∠EBD；再根据角平分线性质得：∠ABD=2∠ABC=130°，再根据平角的定义得：∠EBD=180°-∠ABD=50°.
2．（2023七下·石家庄期中）如图，是的平分线，交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴∠FAC=∠1=35°，
∵是的平分线 ，
∴∠BEF=∠FAC=35°，
；
故答案为：C。
【分析】由平行线性质得∠FAC=∠1=35°，由角平分线性质得∠BEF=∠FAC=35°计算即可。
3．（2023七下·潼南期中）如图，直线，一块含有角的直角三角尺的顶点E位于直线上，平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠FEG=30°， 平分，
∴∠CEF=2∠FEG=60°，
∵AB//CD，
∴∠1=∠CEF=60°，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线求出∠CEF=2∠FEG=60°，再根据平行线的性质计算求解即可。
4．（2023七下·仙桃期末）如图，直线，AO，BO分别是，的平分线，那么与之间的大小关系一定为（　　）
A．相等 B．不等 C．互余 D．互补
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；同旁内角
【解析】【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠ABD+∠BAC=180°，
∵AO，BO分别为∠BAC和∠ABD的角平分线，
∴∠ABO=∠BAC，∠BAO=∠ABD
∴∠BAO+∠ABO=（∠ABD+∠BAC）=90°
∴∠BAO和∠ABO是互余，
故选：C.
【分析】根据平行线的性质得：∠ABD+∠BAC=180°；根据角平分线得性质得：∠BAO=∠ABD，∠ABO=∠BAC，继而可以求出∠BAO+∠ABO.
5．（2023七下·锦江期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作FD⊥CA于点F，如图所示：
由题意得DA为∠CAB的角平分线，
∵，FD⊥CA，
∴ED=FD=2，
∴，
∴AC=5，
故答案为：B
【分析】过点D作FD⊥CA于点F，先根据角平分线的性质即可得到ED=FD=2，进而根据即可求解。
6．（2023七下·锦江期末）如图，，平分，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A=∠ADC，
∵平分，
∴∠CDF=∠CDA，
∵∠ADF为△AED的外角，
∴∠ADF=∠A+∠AED，
∴∠A=∠ADC=∠CDF=50°，
∴∠ADE=80°，
故答案为：C
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠A=∠ADC，进而根据角平分线的性质得到∠CDF=∠CDA，从而根据三角形外角的性质即可得到∠A=∠ADC=∠CDF=50°，然后结合题意即可求解。
7．（2023七下·南川期中）如图，，交于点P，平分，，，有以下结论：
①；②；
③；④．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，∠COE＝20°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，故①正确；
∵OE⊥OF，
∴∠AOE＝90°-∠AOF＝25°，
∴∠COE＝∠COA-∠AOE＝25°，
∴∠AOE＝∠COE，故②正确；
∵OP⊥CD交AB于点P，
∴∠POF＝90°-∠DOF＝25°，
∴∠POF＝∠COE，故③正确；
∵∠AOP＝∠EOF-∠POF-∠AOE
＝90°-25°-25°
＝40°，
2∠COE＝50°，
∴∠AOP≠2∠COE，故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故选：A
【分析】根据平行线的性质可求得∠AOD＝130°，结合OF平分∠AOD，从而得到∠AOF＝65°；由平行线的性质可得∠AOC＝50°，再由∠AOE＝90°-∠AOF＝25°，从而可得∠AOE＝∠COE；从∠DOF＝∠AOF＝65°，可求∠POF＝90°-∠DOF＝25°，从而可判断；∠AOP＝90°-∠POF-∠AOE＝40°，而∠COE＝25°，故可判断。
8．（2023七下·石家庄期中）甲、乙、丙共同完成这样一道题目：“直线，相交于点，平分，，垂足为（如图所示）．若，请用含的代数式表示，，中任意两个角的度数．”甲的结果是，；乙的结果是，；丙的结果是，．下列判断正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲和乙都错 C．乙和丙都对 D．乙对丙错
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的性质
【解析】【解答】∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠DOE=90°
∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD= ∠FOD，
∵∠EOF=a，
∴∠BOD=∠DOF=∠EOF-∠EOD=a-90°
∴∠BOE=∠EOD-∠BOD=90° -(a-90°)=180°-a
∵∠BOD= ∠ACO，
∴∠AOC=a-90°，∠AOF=180°-∠BOF=180°-2∠BOD=180°-2(a-90°）=360° -2a
故答案为：C。
【分析】根据几何图形中的角度进行计算，用含a的代数式表示出即可。
二、填空题
9．（2023七下·黄冈期末）如图，OC是的平分线，直线．若，则的大小为　 　．
【答案】65°
【知识点】角平分线的性质；同位角；内错角
【解析】【解答】解：∵l∥OB，
∴∠AOB=180°-∠1=130°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠BOC=∠AOB=65°，
∴∠2=∠BOC=65°，
故填：65°。
【分析】根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线定义求出∠BOC，再根据平行线的性质求出∠2.
10．（2023七下·仙桃期末）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分，，若为度，则为　 　度（用含的式子表示）．
【答案】（）
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点A，C，F，B在同一条直线上，∠ECA=°，
∴∠ECB=180°-∠ECA=(180-)°，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB=∠ECB=（）°，
∵FG∥CD，
∴∠GFB=∠DCB=（）°，
故答案为：（）.
【分析】根据平角得定义得：∠ECB=180°-∠ECA；再根据角平分线得性质得：∠DCB=∠ECB；最后根据平行线得性质得：∠GFB=∠DCB，即可求出答案.
11．（2023七下·陈仓期末）如图，在中，，是的角平分线，，若的面积为2，则的面积是　 　.
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】∵过点D作于点E，如图所示，
∵是的角平分线 ，，，
∴.
由图可知，，，
∴，
∴.
∴.
故答案为：6.
【分析】利用角平分线判定定理求出CD=DE，再根据三角形的面积法即可求出答案.
12．（2023七下·淄川期末）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为　 　．
【答案】13
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴∠ABD=∠CBD，∠EDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=ED，
∴的周长为AE+DE+AD=9+4=13，
故答案为：13
【分析】先根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到∠ABD=∠CBD，∠EDB=∠CBD，进而得到∠ABD=∠EDB，再根据等腰三角形的性质即可得到BE=ED，进而根据三角形的周长结合题意即可求解。
13．（2023七下·泰山期末）如图，在锐角中，，、为的角平分线．且、交于点，连接．有下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是　 　 ．
【答案】①③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵BE、CD为△ABC的角平分线 ，∴∴，又∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，∴∠FBC+∠FCB=60°∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°，所以①正确；
③如图3所示，在BC上截取BG=BD，在△BDF和△BGF中，BD=BG，∠DBF=∠GBF，BF=BF，∴△BDF≌△BGF，∴∠BFD=∠BFG，又∠BFD=180°-∠BFC=180°-120°=60°，∴∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC-∠BFG=120°-60°=60°，又∠CFE=∠BFD=60°，∴∠CFG=∠CFE，又CF=CF，∠FCG=∠FCE，∴△CFG≌△CFE，∴CG=CE，∵BC=BG+CG
∴BC=BD+CE，所以③正确；
④已知点F是角平分线的交点，所以点F到各条边的距离相等，设点F到边的距离为h，则，，∴，由③知BC=BD+CE，∴，∴，所以④正确；
②假设BD=CE成立，由③知BC=BD+CE=2BD=2BG，即点G是BC的中点，又∠BFG=∠CFG，FG=FG，∴△BFG≌△CFG，∴∠FBG=∠FCG，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，但已知△ABC并没有说是等边三角形，所以②结论不正确。综上，①③④正确。
故第1空答案为：①③④.
图3
【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和可判定①正确；由反证法可说明②不正确；通过证明三角形全等可证得③结论正确；根据角平分线的性质可知点F到三边的距离相等，可得④正确，故可得出答案。
三、解答题
14．（2023七下·石家庄期中）如图，在中，平分，交于点，，，求的度数．
【答案】解：∵，，
∴，
平分，
，
又∵，
∴ ．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】利用三角形内角和求出∠DBC=35°，由角平分线的性质求出 ∠ABD=35°，由平行线的性质可得∠BED=110°。
四、作图题
15．（2021八上·防城期中）请在△ABC内部找到一个点P，使点P到AB、BC的距离相等，且PB=PC。(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
【答案】解：如图，点P为所求。
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意可得，需要做∠ABC的角平分线，作出对应图形即可。
五、综合题
16．（2023七下·仙桃期末）在数学活动课上，老师组织七（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接AB，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）【小试牛刀】
当时，求的度数；
（2）【变式探索】
当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）【能力提升】
当点P运动到使时，　 　（直接写出结果）．
【答案】（1）解：时，，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，，
∴，
（2）解：，理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-60°=120°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=，
故答案为：60°.
（2）∵BD分别平分∠PBN，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠ABD=∠CBN，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，
∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠A+∠ABN=90°，
即：2∠DBN+∠A=90°.
【分析】（1）根据平行线的性质得：∠A+∠ABN=180°；再根据角平分线的性质得：，，进而求出∠CBD.
（2）根据角平分线的性质得：；再根据平行线的性质得：，，进而可以得到 与之间的数量关系 .
（3）根据平行线的性质得：；再根据角平分线的性质得：，，∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN；最后根据平行线的性质得：，∠A+∠ABN=90°，即可解出答案.
17．（2023七下·韩城期末）已知，为直线，之间一点.
（1）如图1，若，，则　 　；
（2）如图2，若点为线段与的交点，，，平分，交直线于点，求的度数；
（3）如图3，若点为线段与的交点，，，过点作，交直线于点，平分，平分，求的度数.
【答案】（1）85°
（2）解：如图1，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴.
（3）解：如图2，过点作，
∵，
∴，
∴，.
∵，
∴
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点E作，如图所示，
∵，，
∴.
∴，.
∵，，
∴，.
∴.
【分析】（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可求出和度数，从而求出度数；
（2）根据平行线性质：两直线平行，同位角相等，即可求出和度数，从而求出度数，利用角平分线性质即可求出度数；
（3）根据两直线平行内错角相等以及同旁内角互补可求出，以及的度数，利用角平分线性质即可求出和度数，从而求出和度数，最后可求出度数.
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