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空间向量与立体几何专题
------02空间向量的数量积运算
一、学习目标：
1.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算规律及计算方法；
2.能用向量的数量积解决夹角与距离问题。
二、知识梳理
1.空间向量的夹角
定义：如下图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，则叫做向量a，b的夹角，记作.
如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
空间向量a与b夹角的范围：
当＝0时，a与b方向相同；
当＝π时，a与b方向相反；
当＝时，a与b互相垂直．
2．空间向量的数量积
数量积定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．
数量积的运算规律：
（1）；
（2）（交换律）
（3）（分配律）
空间向量数量积的性质
设，是非零向量，是单位向量，则
； ②；
③或； ④； ⑤
3．空间两向量垂直的充要条件
4．利用空间向量求模长与夹角
（1）在空间两个向量的数量积中，特别地，
所以向量的模：。
将其推广：
（2）
5．投影向量：向量a向向量b投影，得到c = ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。
如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图（2））.
如图（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
三、类型归纳：
类型一：求空间向量的数量积
类型二：求空间向量的模长及夹角
类型三：利用空间向量证明垂直问题及求参数；
类型四：投影向量的应用
四、类型应用
类型一：空间向量的数量积的计算
【例1-1】已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（ ）．
A．15 B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】向量，，是两两垂直的单位向量，且，，
.
故选：B
【变式训练1-1】已知空间向量是一组单位正交向量，，则（ ）
A．15 B．21 C．45 D．36
【答案】C
【分析】利用数量积的运算律和定义结合已知条件求解即可.
【详解】因为空间向量是一组单位正交向量，
所以，，
因为，
所以
【例1-2】如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得， ，
则
,
故选：B
【变式训练1-2】如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】依题意可得底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，根据，数量积的运算律及数量积的定义计算可得.
【详解】因为四棱锥的各棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，
所以底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，
所以，且，
因为，
所以.
故选：D
【变式训练1-3】在空间四边形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
【答案】B
【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令，
则，
，
.
故选：B
类型二： 求空间向量的模长与夹角
【例2】如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，．
（1）用，，表示．
（2）求的长．
（3）求与所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，即可得答案.
（2）见模平方，结合数量积公式，整理计算，即可得答案.
（3）根据求夹角公式，代入计算，即可得答案.
【详解】（1）由题意得
（2）因为，所以，
，
所以
（3），所以，
所以
，
所以与所成角的余弦值为
【变式训练2-1】如图，在平行六面体中，，.求：
(1)；
(2)的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据空间向量数量积的定义计算；(2) 由，利用空间向量数量积的运算法则，即可求；
【详解】（1）
；
（2）
，所以
【变式训练2-2】如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据空间向量线性运算法则用，，表示出，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】解：，，
．
又，，，
所以，，，
所以
，
所以.
故选：A．
【变式训练2-3】已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，
.
故选：C
【变式训练2-4】如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.
【详解】设，，，
因为向量不共面，故可构成空间的一组基底，
结合，，，，，
所以=0，，，
则，，
可得
，
，
，
所以，
又因为异面直线所成角的范围是，
所以与所成角的余弦值为.
故选：B.
【变式训练2-5】已知空间向量、、满足，，，，则与的夹角为_________．
【答案】/60°
【分析】由，得，两边平方化简可求出得结果.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
【例3】如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果，求证：.
证明：在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得.
因为，所以，所以，所以.
所以.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以.
【变式训练3-1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．
【答案】证明见解析.
【分析】证明即可得出.
【详解】∵

∴
，
∴，即AO⊥CD1.
【变式训练3-2】如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)判断与是否垂直．
【答案】(1)
(2)
(3)垂直
【分析】（1）根据数量积的定义直接计算，可得答案;
（2）求得向量的模，求出，根据向量的夹角公式求得答案;
（3）计算与的数量积，根据结果，可得答案.
【详解】（1）正方体中， ,
故;
（2）由题意知, ,
,
，
故，
故 ，
故与的夹角的大小为 ；
（3）由题意， ,
,
故与垂直.
【变式训练3-3】在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【答案】B
【分析】由和的数量积为0，解出k的值.
【详解】由题意可得，，，
所以，即2k－12＝0，得k＝6.
故选：B.
【例4】已知与夹角为60°且，，则在方向上的投影向量是______．
【答案】
【解析】在方向投影向量.
故答案为：.
【变式训练4-1】已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.
【详解】，，与夹角的余弦值为，
在上的投影向量为
.
故选：D．
【变式训练4-2】在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______．
【答案】
【解析】棱长为的正方体中向量与向量夹角为，
所以
向量 在向量 方向上的投影向量是
向量 在向量 方向上的投影向量的模是，
故答案为：空间向量与立体几何专题
------02空间向量的数量积运算
一、学习目标：
1.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算规律及计算方法；
2.能用向量的数量积解决夹角与距离问题。
二、知识梳理
1.空间向量的夹角
定义：如下图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，则叫做向量a，b的夹角，记作.
如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
空间向量a与b夹角的范围： ________．
当＝0时，a与b________________．
当＝π时，a与b________________．
当＝时，a与b________________．
2．空间向量的数量积
数量积定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即________________．
数量积的运算规律：
（1）；
（2）（交换律）
（3）（分配律）
空间向量数量积的性质
设，是非零向量，是单位向量，则
； ②；
③或； ④； ⑤
3．空间两向量垂直的充要条件
________________．
4．利用空间向量求模长与夹角
（1）在空间两个向量的数量积中，特别地，
所以向量的模：。
将其推广：________________．
________________．
（2）________________．
5．投影向量：向量a向向量b投影，得到c =________________．,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。
如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图（2））.
如图（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
三、类型归纳：
类型一：求空间向量的数量积
类型二：求空间向量的模长及夹角
类型三：利用空间向量证明垂直问题及求参数；
类型四：投影向量的应用
四、类型应用
类型一：空间向量的数量积的计算
【例1-1】已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（ ）．
A．15 B．3 C． D．5
【变式训练1-1】已知空间向量是一组单位正交向量，，则（ ）
A．15 B．21 C．45 D．36
【例1-2】如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【变式训练1-2】如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式训练1-3】在空间四边形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
类型二： 求空间向量的模长与夹角
【例2】如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，．
（1）用，，表示．
（2）求的长．
（3）求与所成角的余弦值．
【变式训练2-1】如图，在平行六面体中，，.求：
(1)；
(2)的长.
【变式训练2-2】如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【变式训练2-4】如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】已知空间向量、、满足，，，，则与的夹角为_________．
【例3】如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果，求证：.
【变式训练3-1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．
【变式训练3-2】如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)判断与是否垂直．
【变式训练3-3】在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【例4】已知与夹角为60°且，，则在方向上的投影向量是______．
【变式训练4-1】已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______．

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