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5升6奥数思维特训：数与形（试题）-数学六年级上册人教版
一、选择题
1．观察下面点阵图的规律，第6幅点阵图中有（ ）个点。
……
A．18 B．21 C．24 D．27
2．用小木棒按下图方式摆放图形，第⑧个图形需要（ ）根小木棒。
A．33 B．30 C．36 D．27
3．观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是（ ）。
A． B． C． D．
4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，不符合这一规律的是（ ）。

A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝21＋28 D．64＝28＋36
5．观察图，如果按这样摆下去摆8个正五边形，需要（ ）根火柴棒。

A．34根 B．40根 C．29根 D．33根
6．第n个图形由（ ）根小棒组成。
A．2n B．2n－1 C．2n＋1 D．2（n＋1）
7．小明在纸上画2个点，发现只可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过5个点中的每两个点最多可以画（ ）条直线。
A．6 B．5 C．10
8．如图中图形的面积可以表示为，还可以表示为（ ）。
A． B． C．
二、填空题
9．下面图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律摆成的，第1个图中有4个实心圆，第2个图中有6个实心圆，第3个图中有8个实心圆……，按此规律，第7个图中有( )个实心圆。
10．下面的图案是由若干个相同的正方形组成，每个涂色部分的面积是4平方分米，占每个正方形面积的。由20个正方形像这样组成的图案面积( )平方分米。
11．按下面的规律画出第8幅图的笑脸是( )个。

12．如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，照这样计算，10个杯子叠起来高( )cm，( )个杯子叠起来高55cm。
13．用小棒按下图方式搭图形。（第一个图形用6根小棒搭成），第10个图形需用( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
14．根据图形中各个数的关系，★＝( )，▲＝( )。
三、解答题
15．如果数字1、2、3、4、5、6分别用下图表示：
那么左下图表示的数字是（ ），在右下图中画出表示62的图。
16．学校举行运动会，四年级组成4个方队，每个方队如下图排成6行，每行6人。要求每个方队最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿白色运动服，穿这两种颜色运动服的同学各有多少人？
17．下图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的。仔细观察后，请回答。
（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？
（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？
18．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。
（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
19．A4纸是生活中最常用的纸。A系列的纸张规格特点在于：A1、A2、A3、A4、A5等所有尺寸的纸张长和宽的比都相同。在A系列纸中，前面序号的纸对裁后，可以得到两张后面序号相同大小的纸，比如A1对裁后，可以得到2张A2，A2对裁后，可以得到2张A3，依此类推。如图所示，涂色部分A4纸的面积和A1纸的面积比是1∶8。
请再写3个这样的比。（注意书写完整哦！）
如：（ ）纸的面积和（ ）纸的面积比是（ ）。
20．数学里有很多奥秘，需要我们探索、发现与应用。下面的问题，让我们都来研究吧。
问题1：两个相邻自然数相乘，积的末位数学有什么特征？
（1）探究：请你在下框中举一些例子进行观察、比较。要从简单开始，有序思考寻找规律。
（2）发现：两个相邻自然数相乘，积的末位数字的特征是（ ）。
（3）应用：①下面四个选项中，只有选项（ ）是两个相邻自然数的乘积。
A．62 B．123 C．756 D．1416
②它是两个相邻自然数（ ）和（ ）的乘积。
问题2：两个相邻自然数相加或相乘，它们的和与积有什么联系？
（4）再探究：请你在下表中进行观察、比较，寻找联系。
相邻自然数 1与2 2与3 3与4 … 9与10 n与
和 3 5 7 1 19
积 2 6 12 1 90
①再观察：下图大正方形是由四个相同的小长方形拼接而成，你能找到n与的“和”、“积”吗？（在图上标出来）
②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：______。（可用含有字母的式子表示出来）
【反思】
当你解决此题时，是不是觉得很神奇呢？原来复杂的问题也可以通过画图、转换等探索，而变得简单有趣。只要真正热爱数学，你就能感受到学习的无穷魅力。
参考答案：
1．B
【分析】通过观察，第1幅点阵图中有（3＋3）个点，第2幅点阵图中有（3＋3＋3）个点；第3幅点阵图中有（3＋3＋3＋3）个点……以此类推，可得出第n幅点阵图中有（3＋3n）个点，据此解答。
【详解】据分析可知，第n幅点阵图中有（3＋3n）个点；
第6幅点阵图中有
3＋3×6
＝3＋18
＝21（个）
第6幅点阵图中有21个点。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
2．D
【分析】第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要（6＋3）根小木棒，第3个图形需要（6＋3×2）根小木棒……每增加一个正方形增加3根小木棒，第n个图形需要[6＋3×（n－1）]根小木棒，最后求出n＝8时式子的值，据此解答。
【详解】第n个图形需要小木棒的数量：6＋3×（n－1）
＝6＋3n－3×1
＝6＋3n－3
＝3n＋6－3
＝（3n＋3）根
当n＝8时。
3n＋3
＝3×8＋3
＝24＋3
＝27（根）
所以，第⑧个图形需要27根小木棒。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，找出小木棒数量的变化规律是解答题目的关键。
3．C
【分析】观察可知，方框中的圆点数量如，中间4圆点可以呈现出一定的规律性，再根据圆点的呈现方式进行选择。
【详解】如图，具有一定的规律性。
故答案为：C
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
4．A
【分析】根据“三角形数”的规律是：1，3，6，10，15，21，28，36，45…，而“正方形数”是两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。
【详解】A．25＝9＋16；25＝52，是正方形数，9和16不是三角形数，不符合规律，符合题意；
B．36＝15＋21；36＝62，是正方形数，15和21是相邻的三角形数，符合规律，不符合题意；
C．49＝21＋28；49＝72，是正方形数，21和28是相邻的三角形数，符合规律，不符合题意；
D．64＝28＋36；64＝82，是正方形数，28和36是相邻的三角形数，符合规律，不符合题意。
故答案为：A
【点睛】解答本题的关键是找清楚“三角形数”和“正方形数”的关系，从而进行求解。
5．D
【分析】摆1个正五边形需要5根小棒，摆2个正五边形需要（5＋4×1）根小棒，摆3个正五边形需要（5＋4×2）根小棒……，摆n个正五边形需要5＋4×（n－1）根小棒。据此解答即可。
【详解】5＋4×（8－1）
＝5＋4×7
＝5＋28
＝33（根）
摆8个正五边形，需要33根火柴棒。
故答案为：D
【点睛】本题考查了数与形的问题，关键是求出正五边形的个数与小棒根数之间的关系，主要培养学生的观察能力和总结能力。
6．C
【分析】观察图形可知，第1个图形有3根小棒；第2个图形有5根小棒；第3个图形有7根小棒……每增加一个三角形，增加2根小棒，据此找到规律，并按规律解答。
【详解】观察图形可知：
第1个图形用了3根小棒，3＝2×1＋1；
第2个图形用了5根小棒，5＝2×2＋1；
第3个图形用了7根小棒，7＝3×2＋1；
……
第n个图形由（2n＋1）根小棒组成。
故答案为：C
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
7．C
【分析】经过2个点，可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画1＋2＝3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画1＋2＋3＝6条直线，经过5个点中的每两个点最多可以画1＋2＋3＋4＝10条直线，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，经过5个点中的每两个点最多可以画10条直线。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查学生对直线的认识，找出点的个数与直线条数的关系是解答本题的关键。
8．C
【分析】根据大正方形的面积等于两个一样的的长方形的面积加上两个边长分别为a、b的正方形的面积计算即可。
【详解】最小正方形面积为：a×a＝a2
较小的正方形面积为：b×b＝b2，
1个长方形的面积为：a×b＝ab
所以大正方形的面积为：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2
故答案为：C
【点睛】利用不同的方法表示出大正方形的面积是解决此题的关键。
9．16
【分析】由图可知：第1个图中有4＝2×（1＋1）个实心圆，第2个图中有6＝2×（2＋1）个实心圆；第3个图中有8＝2×（3＋1）个实心圆……第n个图中有2×（n＋1）个实心圆；将n＝7代入计算即可。
【详解】第1个图中有4个实心圆，第2个图中有6个实心圆，第3个图中有8个实心圆……，按此规律，第7个图中有2×（7＋1）＝2×8＝16个实心圆。
【点睛】本题主要考查数与形，找出其中的变化规律是解题的关键。
10．644
【分析】把每个正方形的面积看作单位“1”，根据分数除法的意义，用4÷即可求出一个正方形的面积；观察图形可知，涂色部分的个数＝正方形个数－1，20个正方形的面积－涂色部分的面积＝20个正方形组成的图案面积，据此用20×36－（20－1）×4即可求出结果。
【详解】4÷
＝4×9
＝36（平方分米）
20×36－（20－1）×4
＝20×36－19×4
＝720－76
＝644（平方分米）
由20个正方形像这样组成的图案面积644平方分米。
【点睛】解答本题的关键是找出涂色部分的个数和正方形个数之间的关系。
11．36
【分析】第1幅1个笑脸，第2幅1＋2个笑脸；第3幅1＋2＋3个笑脸； 第n幅1＋2＋3…＋n个笑脸；将n＝8代入即可解答。
【详解】由分析可知：第8幅图有：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8
＝10＋5＋6＋7＋8
＝36（个）
即第8幅图的笑脸是36个。
【点睛】本题主要考查数与形问题，找出其中规律是解题的关键。
12． 37 16
【分析】5个杯子比3个杯子多2两个，多出来了6 cm，所以增加一个杯子就增加3厘米，3个杯子总高度是16厘米，每增加一个杯子增加3厘米，所以第一个杯子的高度是10厘米，此后每增加一个杯子就增加3厘米，所以10个杯子的时候，是增加了9个3厘米，所以10个杯子的高度是10＋3×9，总高度是55厘米，也就是增加了45厘米，45里面有15个3厘米，所以在第一个杯子的基础上增加了15个杯子，因此一共有16个杯子。
【详解】22－16＝6（cm）
6÷2＝3（cm）
10＋3×9
＝10＋27
＝37（cm）
55－10＝45（cm）
45÷3＝15（个）
15＋1＝16（个）
所以10个杯子叠起来高37 cm，16个杯子叠起来高55cm。
【点睛】考查数与形的相关知识，重点要知道第一个杯子的高度是多少，每增加一个杯子高度增加多少。
13． 42 4n＋2/2＋4n
【分析】看图，第一个图形用2＋4×1＝6（根）小棒搭成，第2个图形用2＋4×2＝10（根）小棒搭成，第3个图形用2＋4×3＝14（根）小棒搭成，每次搭成的图形在上个图形的基础上增加4根小棒。那么，第10个图形需要用（2＋4×10）根小棒，第n个图形需要用（2＋4×n）根小棒。
【详解】2＋4×10
＝2＋40
＝42（根）
2＋4×n＝2＋4n＝4n＋2
所以，第10个图形需用42根小棒，第n个图形需要（4n＋2）根小棒。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。
14． 26 32
【分析】由图分析可知，黑色三角形位置的数字是16的2倍，五角星星位置的数字是比16多10。
【详解】★＝16＋10＝26
▲＝16×2＝32
【点睛】此题考查学生的观察推理能力。
15．20；画图见详解
【分析】观察图形可知，第一列的圆表示1，第二列每个圆表示2，则1＋2＝3，2×2＝4，前两列填满表示1＋2×2＝5，第三列每个圆表示6。同理，前三列填满表示1＋2×2＋6×3＝23，则第四列每个圆表示24，据此解答。
【详解】通过分析，左下图表示的数字是2＋6×3＝20；
62＝24×2＋6×2＋2，即在第二列画1个圆，第三列画2个圆，第四列画2个圆，画图如下：
【点睛】本题考查数形结合问题。通过分析、计算，明确每列的圆表示的数字是解题的关键。
16．穿红色运动服的有80人，穿白色运动服的有64人
【分析】1个方队有6行，每行有6人，则最外圈的人数是（6－1）×4人。用每个方队最外圈的人数乘4，求出4个方队穿红色运动服的总人数。1个方队共有（6×6）人，减去1个方队最外圈的人数，求出1个方队穿白色运动服的人数，再乘4，求出4个方队穿白色运动服的总人数。
【详解】（6－1）×4
＝5×4
＝20（人）
20×4＝80（人）
（6×6－20）×4
＝（36－20）×4
＝16×4
＝64（人）
答：穿红色运动服的有80人，穿白色运动服的有64人。
【点睛】本题考查方阵问题，最外圈人数是（n－1）×n，总人数是n×n。
17．（1）9个
（2）25个
【分析】（1）根据图可知：第一个有1个三角形；1＝1×1；第二个有4个三角形，4＝2×2，底部是3个三角形；第三个有9个三角形，9＝3×3；底部有5个三角形；第四个有16个三角形；底部有7个三角形，由此可知后一个三角形的底部比前一个三角形的底部多了2个三角形。
（2）由于第n个图形就有n×n个三角形，则第五个图形的三角形的个数是：5×5，据此即可解答。
【详解】（1）由分析可知：
7＋2＝9（个）
答：五层的“宝塔”的最下层包含9个小三角形。
（2）5×5＝25（个）
整个五层“宝塔”一共包含25个小三角形。
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，关键是找准它的排列规律。
18．（1）见详解；
（2）50；7n＋1
【分析】（1）由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（8＋7）根小棒，摆3个八边形需要（8＋7×2）根小棒，摆4个八边形需要（8＋7×3）根小棒……
（2）由（1）可知，每增加一个八边形需要增加7根小棒，摆n个八边形需要[8＋（n－1）×7]根小棒，求出当n＝7时式子的值就是摆7个八边形需要小棒的数量，据此解答。
【详解】（1）分析可知：
（2）摆n个八边形需要小棒的根数为：8＋（n－1）×7
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
当n＝7时。
7n＋1
＝7×7＋1
＝49＋1
＝50（根）
所以，摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
【点睛】分析图形找出八边形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
19．A2纸的面积和A1纸的面积比是1∶2；A3纸的面积和A1纸的面积比是1∶4；A5纸的面积和A1纸的面积比是1∶16（答案不唯一）
【分析】由题意可知，A2纸的面积占A1纸面积的，A3纸的面积占A2纸面积的，A4纸的面积占A3纸面积的，A5纸的面积占A4纸面积的，用分数乘法求出A3纸的面积和A5纸的面积占A1纸面积的分率，再根据比的意义求出A2纸的面积和A1纸的面积比、A3纸的面积和A1纸的面积比、A5纸的面积和A1纸的面积比，据此解答。
【详解】由图可知，A2纸的面积占A1纸面积的，A2纸的面积∶A1纸的面积＝1∶2；
A3纸的面积占A1纸面积的分率：×＝
所以，A3纸的面积∶A1纸的面积＝1∶4
A5纸的面积占A1纸面积的分率：×××＝
所以，A5纸的面积∶A1纸的面积＝1∶16
由上可知，A2纸的面积∶A1纸的面积＝1∶2，A3纸的面积∶A1纸的面积＝1∶4，A5纸的面积∶A1纸的面积＝1∶16。
答：A2纸的面积和A1纸的面积比是1∶2，A3纸的面积和A1纸的面积比是1∶4，A5纸的面积和A1纸的面积比是1∶16。（答案不唯一）
【点睛】根据图形求出A2、A3、A5纸的面积占A1纸面积的分率是解答题目的关键。
20．（1）见详解；
（2）积的末位的数字是0或2或6；
（3）①C；
②27；28；
（4）①见详解；
②
【分析】（1）找一些相邻的两个自然数，然后相乘，计算出乘法算式的结果即可；
（2）根据（1）里面计算出的结果，观察积的末位数字，即可发现，相邻的两个自然数相乘的结果，积的末位的数字是0或2或6。
（3）①根据积的末位数字是0、2、6的特征，分别检验4个选项里的数字，找出符合要求的答案即可。
②通过计算，把这个数拆解成相邻两个自然数的乘积，即可写出这两个相邻的自然数是多少。
（4）①大正方形的边长＝n＋（n＋1）＝2n＋1，所以n与n＋1的和是大正方形的边长。
小长方形的面积＝长×宽，长是n＋1，宽是n，可得（n＋1）×n＝n2＋n，所以n与n＋1的积是小长方形的面积。在图上标注即可。
②通过计算可以发现，，所以n与n＋1的和的平方等于n与n＋1的积的4倍加1。据此解答。
【详解】（1）例如：1×2＝2
2×3＝6
3×4＝12
5×6＝30
（2）通过举例，我发现两个相邻自然数相乘，积的末位数字是0或2或6。
（3）①A．7×8＝56，8×9＝72，56＜62＜72，显然62不是两个相邻自然数的乘积；
B．10×11＝110，11×12＝132，110＜123＜132，显然123不是两个相邻自然数的乘积；
C．27×28＝756，显然756是两个相邻自然数的乘积；
D．37×38＝1406，38×39＝1482，1406＜1416＜1482，显然1416不是两个相邻自然数的乘积；
故答案为：C
②27×28＝756，所以它是两个相邻自然数27和28的乘积。
（4）①根据分析得，n与n＋1的和是大正方形的边长；
n与n＋1的积是小长方形的面积。
②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：。
【点睛】此题综合性较强，难度大，里面涉及到乘积的规律以及数与形的变换，找和与积之间的关系，解法有些超纲，运用了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2完全平方公式。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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