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2023年河南省平顶山市中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．下列各数中，小于0的数是（　　）
A．（﹣1）0 B．|﹣1| C． D．﹣12
2．从“同一个世界，同一个梦想”的2008年夏季奥运会，到“一起向未来”的2022年冬季奥运会，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．　　
3．新时代的中国北斗服务优质多样，我们的授时精度对外服务的承诺是20纳秒，其中1纳秒＝0.000000001秒（　　）
A．20×10﹣8秒 B．2×10﹣8秒 C．20×10﹣9秒 D．2×10﹣9秒
4．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．长方体
5．将一副三角尺如图放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，则∠BCF的度数为（　　）
A．105° B．120° C．150° D．165°
6．在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a为常数）的图象经过点P（1，2）（　　）
A．函数图象经过点（﹣2，﹣1）
B．函数值y随x的增大而减小
C．函数图象不经过第三象限
D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为1
7．定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
8．为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩（单位：分）分别为83，86，91，93，又是中位数，请你思考（　　）
A．83分 B．86分 C．88分 D．91分
9．在地球引力作用下，大量气体聚集在地球周围，形成数千公里的大气层，大气层由于重力作用形成了大气压，海拔高度不同，如图是大气压强P（KPa）随海拔高度h（km），观察图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．大气压强p（KPa）与海拔高度h（km）成反比例函数关系
B．随着海拔高度的增大，大气压强也随之增大
C．海拔高度为4km时，大气压强约为60KPa
D．海拔高度为0km时，大气压强为0KPa
10．图1是一组邻边分别为2m，2n（m＜n），一个内角为60°的平行四边形，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图2拼成一个六边形
ABCDEF，则中间空白部分的面积是（　　）
A．（n+m）2 B．（n﹣m）2 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出不等式x﹣1＜0的一个整数解：　 　．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，点D为AC上任一点，过点B，C分别作BE∥CD，BE与CE交于点E，则线段DE的最小值为 　 　．
13．“二十大”报告中对新时代好青年提出了四个要求：“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”，现有四张卡片，正面分别写有这四个词语，现反面朝上洗匀，从中随机抽取一张；再随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率是 　 　．
14．如图，AB为半圆O的直径，且OA＝6cm上一点，连接AP，使折叠后的圆弧恰好经过圆心O，则图中阴影部分的周长为 　 　cm．（结果保留π）
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，点D是AC的中点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60°，连接CF，当BC＝2CE时　 　．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）某校为了解学生对“运动与健康”知识的掌握情况，开展了以“我运动，我健康”为主题的知识测试（百分制，分数均为整数），对他们的测评数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.50名学生得分x（单位：分）的频数分布直方图如图所示：（数据分成5组：50.5＜x＜60.5，60.5＜x＜70.5，70.5＜x＜80.5，80.5＜x＜90.5，90.5＜x＜100.5）；
b．学生得分在80.5＜x＜90.5这一组的是：
81 81 81 82 82 83 84 85 85 86 86 86 86 87 87 88 90
c．所有测评学生的得分平均数为81.26分；
d．小明在这次知识测评中得分为88分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的得分在抽取的50名学生得分中，从高到低排第 　 　名；
（2）本校三个年级共有900人参加了此次测试，请估计测试成绩超过平均分81.26分的人数；
（3）请对该校学生“运动与健康”知识的掌握情况进行合理评价．
18．（9分）为了方便“红旗小区”居民的出行，市政府在小区门前的河道上新修建了一座大桥MN，一数学兴趣小组为了测量大桥的长度，已知楼AB的高为30m，且楼的底部B与大桥MN在同一水平线上（结果精确到1m，参考数据：sin21.2°≈0.36，cos21.2°≈0.93，tan21.2°≈0.39，）
19．（9分）如图，在矩形OABC中，OA＝8，反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，N两点，且MB＝2MC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点P为OA上一点，若CP＝PN，求点P的坐标．
20．（9分）为美化环境，某园林部门决定购买A，B两种景观树对开源路南段进行绿化改造；购买A种树3棵，B种树2棵
（1）求A，B两种树的单价各是多少元？
（2）若园林部门计划购买A，B两种景观树共200棵，设购买A种树的数量为a棵
①求出关于a的函数关系式；
②根据市场变化，厂家对A种树的价格下调10%，B种树的价格不变，则最多能购买A种树多少棵？
21．（9分）如图，点C为线段AB的中点，BC为⊙O的直径，切点为D．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作OE⊥CD，垂足为E，且直线OE交AD于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（2）在（1）的条件下：
①求证：∠ADC＝∠AOF．
②若BD＝8，请直接写出EF的长为 　 　．
22．（10分）隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，测得它的跨度AB为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到AB中点O的距离），以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系（x﹣h）2+k．
（1）结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01）
（2）当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度EF不大于21m时，当测量员测得点C到水面EF的距离CD只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
23．（10分）综合与实践
在学完特殊的平行四边形这一章节后，老师提出了这样一个问题：将平行四边形沿其一条对角线折叠能否得到一组新的平行线．
动手操作
（1）如图①，已知矩形ABCD（AD＞AB），小明将矩形沿对角线AC对折，B′C与AD交于点E，连接DB′．
①写出图①中的一个等腰三角形（不添加辅助线）：　 　；
②DB′与AC的位置关系为　 　．
迁移探究
（2）如图②，小明将图①中的矩形ABCD换成任意的平行四边形ABCD（AD＞AB），则（1）中DB′与AC的位置关系是否成立？若成立；若不成立，请说明理由．
拓展应用
（3）在图②中若∠B＝30°，AB＝6，当△ADB′恰好为直角三角形时
2023年河南省平顶山市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．下列各数中，小于0的数是（　　）
A．（﹣1）0 B．|﹣1| C． D．﹣12
【分析】分别计算各个选项的值，然后比较大小即可．
【解答】解：A选项：（﹣1）0＝8＞0，不符合题意；
B选项：|﹣1|＝4＞0，不符合题意；
C选项：＝7＞0；
D选项：﹣16＝﹣1＜0，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查实数的大小比较、零指数幂、绝对值等知识，熟练掌握实数的大小比较、零指数幂、绝对值等知识是解题的关键．
2．从“同一个世界，同一个梦想”的2008年夏季奥运会，到“一起向未来”的2022年冬季奥运会，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．　　
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．新时代的中国北斗服务优质多样，我们的授时精度对外服务的承诺是20纳秒，其中1纳秒＝0.000000001秒（　　）
A．20×10﹣8秒 B．2×10﹣8秒 C．20×10﹣9秒 D．2×10﹣9秒
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示20纳秒为：20×0.000000001秒＝0.00000002秒＝5×10﹣8秒．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．长方体
【分析】根据三棱柱的展开图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，图形可以折叠成三棱柱，
故选：B．
【点评】本题主要考查简单几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．
5．将一副三角尺如图放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，则∠BCF的度数为（　　）
A．105° B．120° C．150° D．165°
【分析】由∠D＝∠BAC，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出AC∥DF，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ACE的度数，结合∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE，可求出∠BCE的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠BCF的度数．
【解答】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，
∴AC∥DF，
∴∠ACE＝∠F＝30°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣30°＝15°．
又∵∠BCE+∠BCF＝180°，
∴∠BCF﹣180°﹣∠BCE＝180°﹣15°＝165°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及邻补角，根据各角之间的关系，求出∠BCE的度数是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a为常数）的图象经过点P（1，2）（　　）
A．函数图象经过点（﹣2，﹣1）
B．函数值y随x的增大而减小
C．函数图象不经过第三象限
D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为1
【分析】先根据待定系数法求出a的值，再根据一次函数的图象和性质求解．
【解答】解：∵y＝ax+a（a为常数）的图象经过点P（1，2），
∴a+a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x+1，
A：当x＝﹣7时：y＝﹣2+1＝﹣5，
故A是正确的；
B：∵a＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
故B是错误的；
C：∵a＞5，
∴函数图象经过一、二、三象限，
故C是错误的；
D：函数图象与坐标轴的交点为：（﹣1，0）（3，
∴函数图象与坐标轴围成三角形的面积为，
故D是错误的；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．
7．定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】利用新定义得到x2+x﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：由新定义得：x2+x﹣1＝2，
∵Δ＝12﹣3×1×（﹣1）＝6＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩（单位：分）分别为83，86，91，93，又是中位数，请你思考（　　）
A．83分 B．86分 C．88分 D．91分
【分析】原数据的中位数为88，当小明的成绩为88分时，新数据的中位数为＝88，众数为88，据此可得答案．
【解答】解：原数据的中位数为88，当小明的成绩为88分时＝88，符合题意，
所以小明的成绩为88分，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
9．在地球引力作用下，大量气体聚集在地球周围，形成数千公里的大气层，大气层由于重力作用形成了大气压，海拔高度不同，如图是大气压强P（KPa）随海拔高度h（km），观察图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．大气压强p（KPa）与海拔高度h（km）成反比例函数关系
B．随着海拔高度的增大，大气压强也随之增大
C．海拔高度为4km时，大气压强约为60KPa
D．海拔高度为0km时，大气压强为0KPa
【分析】A、根据反比例函数的定义即可判断；
B、根据图象的变化趋势即可判断；
C、根据表格数据即可判断；
D、根据图象趋势即可判断．
【解答】解：A、根据图象可知图象经过（2，（4，40），5×60＝240，横坐标与纵坐标的积不相等，不符合题意；
B、根据图象可以看出，大气压强也随之减小，不符合题意；
C、根据图象可以看出，大气压强P＝60KPa，符合题意；
D、根据图象可以看出，P≠0，不符合题意．
故选：C．
【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
10．图1是一组邻边分别为2m，2n（m＜n），一个内角为60°的平行四边形，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图2拼成一个六边形
ABCDEF，则中间空白部分的面积是（　　）
A．（n+m）2 B．（n﹣m）2 C． D．
【分析】根据题意表示出AB与AF，作出辅助线，求出KT的值，根据平行四边形的判定，判断出四边形MKNH为平行四边形，进而求出平行四边形MKNH的面积，即为中间空白部分的面积．
【解答】解：如图，由题意可知，
AB＝DE＝×4m＝m
AF＝CD＝×7n＝n，
∴△ABM是等边三角形，
∴BM＝AB＝m，
∵MH＝BH﹣BM＝n﹣m，∠TMK＝∠AMB＝60°，
过点K作KT⊥MH于T，则KT＝sin∠TMK MK＝sin60° （n﹣m）＝，
∵∠AMB＝60°，
∴∠AMH＝120°，
又∵∠AKC＝∠CKE＝120°，
∴∠MKN＝120°，
∴∠AMH+∠MKE＝60°+120°＝180°，
∴MH∥KN，
又∵∠BHF＝∠FHD＝120°，
∴∠MHN＝120°，
∴∠TMK+∠MHN＝180°，
∴HN∥MK，
∴四边形MKNH为平行四边形，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，解直角三角形的应用，解题的关键是判断出四边形MKNH为平行四边形．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出不等式x﹣1＜0的一个整数解：　0（答案不唯一）　．
【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．
【解答】解：不等式x﹣1＜0的解集是：x＜6，
因而不等式的整数解是：任意小于1的整数．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，点D为AC上任一点，过点B，C分别作BE∥CD，BE与CE交于点E，则线段DE的最小值为 　3　．
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据平行四边形的判定得四边形BECD为平行四边形，再根据平行线间的距离为垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，BC＝5，
∴AB＝＝＝3，
∵BE∥CD，EC∥BD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴ED的最小值等于平行线BE与AC之间的距离AB＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查勾股定理，平行四边形的判定，垂线段最短，解题关键是找出最短距离的位置．
13．“二十大”报告中对新时代好青年提出了四个要求：“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”，现有四张卡片，正面分别写有这四个词语，现反面朝上洗匀，从中随机抽取一张；再随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率是 　　．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：设“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”这四个词语分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”，
∴这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．如图，AB为半圆O的直径，且OA＝6cm上一点，连接AP，使折叠后的圆弧恰好经过圆心O，则图中阴影部分的周长为 　（4π+6）　cm．（结果保留π）
【分析】作⊙O半径OM⊥AP于N，由折叠的性质得到ON＝MN＝OA，＝，得到+＝，由cos∠AON＝＝，求出∠AON＝60°，得到∠MOB＝180°﹣60°＝120°，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长．
【解答】解：作⊙O半径OM⊥AP于N，
由折叠的性质得到：ON＝MN＝OM＝，＝，
∴+＝+＝，
∵cos∠AON＝＝，
∴∠AON＝60°，
∴∠MOB＝180°﹣60°＝120°，
∵OA＝6cm，
∴的长＝，
∴阴影的周长＝的长+的长+OB＝（7π+6）（cm）．
故答案为：（4π+2）．
【点评】本题考查弧长的计算，折叠问题，关键是求出∠AON＝60°，证明+＝．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，点D是AC的中点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60°，连接CF，当BC＝2CE时　3或　．
【分析】分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求BC的长，即可求BE的长，由“SAS”可证△BDE≌△CDF，可得BE＝CF，即可求解．
【解答】解：如图，当点E在线段BC上时，DF，
∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，BC＝2，
∵BC＝8CE，
∴CE＝，
∴BE＝，
∵点D是AC的中点，
∴BD＝CD，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝CD，∠BDC＝60°，
∵将线段DE绕点E顺时针旋转60°，得到线段EF，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°＝∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF＝；
如图，点E在线段BC的延长线上时，
∵BC＝2CE，
∴CE＝，
∴BE＝6，
同理可证：△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF＝3；
故答案为：3或．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先算负整数指数幂、算术平方根和零指数幂，然后计算加法即可；
（2）先算括号内的式子，然后算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）
＝（﹣3）+3+4
＝1；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（9分）某校为了解学生对“运动与健康”知识的掌握情况，开展了以“我运动，我健康”为主题的知识测试（百分制，分数均为整数），对他们的测评数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.50名学生得分x（单位：分）的频数分布直方图如图所示：（数据分成5组：50.5＜x＜60.5，60.5＜x＜70.5，70.5＜x＜80.5，80.5＜x＜90.5，90.5＜x＜100.5）；
b．学生得分在80.5＜x＜90.5这一组的是：
81 81 81 82 82 83 84 85 85 86 86 86 86 87 87 88 90
c．所有测评学生的得分平均数为81.26分；
d．小明在这次知识测评中得分为88分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的得分在抽取的50名学生得分中，从高到低排第 　11　名；
（2）本校三个年级共有900人参加了此次测试，请估计测试成绩超过平均分81.26分的人数；
（3）请对该校学生“运动与健康”知识的掌握情况进行合理评价．
【分析】（1）根据频数分布直方图中90.5＜x＜100.5频数和得分在80.5＜x＜90.5这一组具体数据解答即可；
（2）先根据频数分布直方图和得分在80.5＜x＜90.5这一组具体数据求出样本中超过平均分的百分比，再乘以900即可；
（3）可从频数分布直方图和平均数方面对该校学生“运动与健康”知识的掌握情况进行合理评价．
【解答】解：（1）由频数分布直方图可知：
学生得分在90.5＜x＜100.5的有3人，
又∵学生得分在80.5＜x＜90.5这一组的是：
81 81 81 82 82 83 84 85 85 86 86 86 86 87 87 88 90，
∴88分从高到低排第11名，
故答案为：11；
（2）由频数分布直方图和得分在80.7＜x＜90.5这一组具体数据，
可知：样本中50名学生测试成绩中超过平均分81.26分有：9+14＝23（人），
∴＝414（人），
答：估计测试成绩超过平均分81.26分的有414人；
（3）从频数分布直方图中可以看出，成绩高于80.8的26人；但低于平均分的有27人，说明大部分成绩有待提高．
【点评】本题考查频数分布直方图，平均数，能从频数分布直方图中获取有用信息，熟悉相关数据的意义是解题的关键．
18．（9分）为了方便“红旗小区”居民的出行，市政府在小区门前的河道上新修建了一座大桥MN，一数学兴趣小组为了测量大桥的长度，已知楼AB的高为30m，且楼的底部B与大桥MN在同一水平线上（结果精确到1m，参考数据：sin21.2°≈0.36，cos21.2°≈0.93，tan21.2°≈0.39，）
【分析】根据题意可得：AB⊥BM，AC∥BN，从而可得∠CAN＝∠ANB＝21.2°，∠CAM＝∠AMB＝60°，然后分别在Rt△ABM和Rt△ABN中，利用锐角三角函数的定义求出BM和BN的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥BM，AC∥BN，
∴∠CAN＝∠ANB＝21.2°，∠CAM＝∠AMB＝60°，
在Rt△ABM中，AB＝30m，
∴BM＝＝＝10，
在Rt△ABN中，BN＝≈，
∴MN＝BN﹣BM＝76.7﹣10≈60（m），
∴大桥MN的长度约为60m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（9分）如图，在矩形OABC中，OA＝8，反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，N两点，且MB＝2MC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点P为OA上一点，若CP＝PN，求点P的坐标．
【分析】（1）利用矩形的性质，根据MB＝2MC求得M（，6），代入y＝（x＞0）即可求得k的值；
（2）利用反比例函数的解析式求得N的坐标，然后根据CP＝PN利用勾股定理即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）在矩形OABC中，OA＝8，
∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，
∵MB＝2MC，
∴CM＝，
∴M（，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点M，
∴k＝＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）把x＝8代入y＝得，y＝3，
∴N（8，2），
∴AN＝8，
设P（m，0），PA＝8﹣m，
∵CP＝PN，
∴OC2+OP2＝PA2+AN4，即62+m3＝（8﹣m）2+62，
解得m＝2，
∴点P的坐标为（3，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求得交点坐标是解题的关键．
20．（9分）为美化环境，某园林部门决定购买A，B两种景观树对开源路南段进行绿化改造；购买A种树3棵，B种树2棵
（1）求A，B两种树的单价各是多少元？
（2）若园林部门计划购买A，B两种景观树共200棵，设购买A种树的数量为a棵
①求出关于a的函数关系式；
②根据市场变化，厂家对A种树的价格下调10%，B种树的价格不变，则最多能购买A种树多少棵？
【分析】（1）设B种树的单价是x元，根据购买A种树3棵，B种树2棵，共花费320元得：3×2x+2x＝320，即可解得答案；
（2）①根据题意得：w＝80a+40（200﹣a）＝40a+8000；
②由对A种树的价格下调10%，可得A种树的价格为72（元/棵），根据购买树的总费用不超过12000元，知72a+40（200﹣a）≤12000，解得a的范围可得答案．
【解答】解：（1）设B种树的单价是x元，则A种树的单价是2x元，
根据题意得：3×6x+2x＝320，
解得x＝40，
∴2x＝4×40＝80，
∴B种树的单价是40元，A种树的单价是80元；
（2）①根据题意得：
w＝80a+40（200﹣a）＝40a+8000，
∴w关于a的函数关系式为w＝40a+8000；
②∵对A种树的价格下调10%，
∴A种树的价格为80×（1﹣10%）＝72（元/棵），
∵购买树的总费用不超过12000元，
∴72a+40（200﹣a）≤12000，
解得：a≤125，
答：最多能购买A种树125棵．
【点评】本题考查一次函数的应用，涉及一元一次方程，一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
21．（9分）如图，点C为线段AB的中点，BC为⊙O的直径，切点为D．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作OE⊥CD，垂足为E，且直线OE交AD于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（2）在（1）的条件下：
①求证：∠ADC＝∠AOF．
②若BD＝8，请直接写出EF的长为 　2　．
【分析】（1）作CD的垂直平分线即可；
（2）①连接OD，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可解决问题；
②先证明＝，根据BC为⊙O的直径，证明OE∥BD，得△AOF∽△ABD，可得＝＝，然后证明OE是△BCD的中位线，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，OE；
（2）①证明：如图，连接OD，
∵AD为⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ODE+∠ADC＝90°，
由（1）作图可知：OE⊥CD，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OCE+∠AOF＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠OCE＝∠ODE，
∴∠ADC＝∠AOF；
②解：∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝BC，
∵BC为⊙O的直径，
∴OC＝OB，
∴＝＝＝，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴OE∥BD，
∴△AOF∽△ABD，
∴＝＝，
∵BD＝8，
∴OF＝4，
∵OE⊥CD，
∴CE＝DE，
∵OC＝OB，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝BD＝8，
∴EF＝OF﹣OE＝6﹣4＝8．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
22．（10分）隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，测得它的跨度AB为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到AB中点O的距离），以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系（x﹣h）2+k．
（1）结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01）
（2）当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度EF不大于21m时，当测量员测得点C到水面EF的距离CD只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出函数关系式即可；
（2）结合（1），令y＝5.2求出x的值，即可求出EF的长度，再和21m比较可得答案．
【解答】解：（1）由已知可得，抛物线顶点C（0，A（﹣18.7，B（18.2，
∴y＝ax2+7.7，
把B（18.7，0）代入得：
7＝a×18.72+8.2，
解得：a＝﹣0.02，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2.02x2+7.2；
（2）∵CD＝2m，
∴OD＝5.6m，
在y＝﹣0.02x2+2.2中，令y＝5.3得：
﹣0.02x2+6.2＝5.2，
解得x＝10或x＝﹣10，
∴EF＝10﹣（﹣10）＝20（m），
∵20＜21，
∴需要采取紧急措施．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
23．（10分）综合与实践
在学完特殊的平行四边形这一章节后，老师提出了这样一个问题：将平行四边形沿其一条对角线折叠能否得到一组新的平行线．
动手操作
（1）如图①，已知矩形ABCD（AD＞AB），小明将矩形沿对角线AC对折，B′C与AD交于点E，连接DB′．
①写出图①中的一个等腰三角形（不添加辅助线）：　△AEC　；
②DB′与AC的位置关系为　DB'∥AC　．
迁移探究
（2）如图②，小明将图①中的矩形ABCD换成任意的平行四边形ABCD（AD＞AB），则（1）中DB′与AC的位置关系是否成立？若成立；若不成立，请说明理由．
拓展应用
（3）在图②中若∠B＝30°，AB＝6，当△ADB′恰好为直角三角形时
【分析】（1）①由矩形的性质和折叠的性质可求∠ACB＝∠ACE＝∠DAC，可证AE＝EC；
②通过证明点A，点C，点D，点B'四点共圆，可得∠ADB'＝∠ACE，可求解；
（2）由矩形的性质和折叠的性质可求∠ACB＝∠ACE＝∠DAC，证明点A，点C，点D，点B'四点共圆，可得∠ADB'＝∠ACE，可求解；
（3）分三种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，
∴∠AB'C＝∠B＝90°，∠ACB＝∠ACE，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴AE＝EC，
∴△AEC是等腰三角形，
故答案为：△AEC；
②∵∠AB'C＝∠ADC＝90°，
∴点A，点C，点B'四点共圆，
∴∠ADB'＝∠ACE，
∴∠ADB'＝∠DAC，
∴B'D∥AC，
故答案为：B'D∥AC；
（2）结论仍然成立，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠ADC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，
∴∠ACB＝∠ACE，AF＝AE，∠B＝∠AB'C，
∴∠DAC＝∠ACE，∠AB'C＝∠ADC，
∴点A，点C，点B'四点共圆，
∴∠ADB'＝∠ACE，∠CB'D＝∠DAC，
∴∠ADB'＝∠DAC＝∠CB'D＝∠ACE，
∴B'D∥AC；
（3）当∠AB'D＝90°时，
由折叠可知：∠AB'C＝∠B＝30°，AB＝AB'＝6，
∴∠CB'D＝60°，
∴∠CB'D＝∠ADB'＝60°，
∴tan∠ADB'＝＝，
∴B'D＝6；
当∠B'AD＝90°时，
由折叠可知：∠AB'C＝∠B＝30°，AB＝AB'＝6，
∴∠AEB'＝60°，
∴∠CB'D＝∠ADB'＝30°，
∴B'D＝8AB'＝12，
当∠ADB'＝90°时，∵∠CB'D＝∠ADB'＝90°，
∴∠CB'D+∠ADB'+∠B'ED＞180°，不合题意舍去，
故∠ADB'＝90°是不成立的，
综上所述：B'D＝12或2．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了锐角三角函数，矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

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