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(共37张PPT)
沪科版八年级上册数学
线段垂直平分线的应用
判断线段垂直平分线
判断线段垂直平分线的依据：
线段垂直平分线的定义
线段垂直平分线性质定理的逆定理
线段垂直平分线的定义
经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
直线 l⊥AB，AC=BC
直线 l 垂直平分线段AB
A
B
C
l
中点
垂直
，又称“中垂线”．
方法归纳：若已知一条直线经过线段的中点并且垂直这条线段，则根据垂直平分线的定义，即可判断直线是线段的垂直平分线.
线段垂直平分线性质定理的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
A
B
C
DA=DB，EA=EB
DE垂直平分线段AB
l
D
E
方法归纳：根据此定理，若两点分别到一条线段两端点距离相等，则两点的连线即是线段的垂直平分线.
点D，E都在线段AB的垂直平分线上
分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点（两交点位于线段的两侧）.
连接这两个交点.
用尺规作线段的垂直平分线
例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD．
A
B
C
D
O
法一
△ABC≌△ABD
∠CAB=∠DAB
△AOC≌△AOD
∠COA=∠DOA=90°
OC=OD
AB垂直平分CD
分析：
线段垂直平分线的定义
AB⊥CD， AB平分CD
需证
例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD．
法一
证明：
∵AC=AD，BC=BD，AB=AB
∴△ABC≌△ABD（SSS）
∴∠CAB=∠DAB
又∵AC=AD， AO=AO
∴△AOC≌△AOD（SAS）
∴∠COA=∠DOA=90°， OC=OD
∴ AB⊥CD，点O是CD的中点
∴ AB垂直平分CD
A
B
C
D
O
两次全等
根据定义证明线段的垂直平分线
(SSS)
(SAS)
例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD．
A
B
C
D
O
法二：
△ABC≌△ABD
△CAD是等腰三角形
∠CAB=∠DAB
AO是∠CAD的角平分线
AO是△CAD的高线，也是CD的中线
AB垂直平分CD
分析：
线段垂直平分线的定义
AB⊥CD， AB平分CD
需证
等腰三角形三线合一
例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD．
法二
∵AC=AD，BC=BD，AB=AB
∴△ABC≌△ABD（SSS）
∴∠CAB=∠DAB
∴AO是∠CAD的角平分线
∵ AC=AD
∴△CAD是等腰三角形
∴AO是△CAD的高线，也是CD的中线
∴ AB垂直平分CD
A
B
C
D
O
证明：
一次全等
等腰三角形三线合一
根据定义证明线段的垂直平分线
A
B
C
D
O
例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD．
法三
与一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上
点A，B都在线段CD的垂直平分线上
分析：
AB垂直平分CD
A
B
C
D
O
例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD．
法三
∵AC=AD
∴点A在CD的垂直平分线上
∵ BC=BD
∴点B在CD的垂直平分线上
∴点A与点B所在的直线是CD的垂直平分线
∴ AB垂直平分CD
证明：
小结：法一，法二都是从定义角度来判断线段垂直平分线，法三则是根据“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”来判断的.对比上述三个方法可发现方法三的证明更加简洁直接，因此要尝试选择最优解法提高逻辑思维能力．
例 如图，电信部门要在S区建一座信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
A
B
O
S
m
n
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
到角两边距离相等的点在角的平分线上
发射塔在线段AB的垂直平分线和m与n夹角的角平分线的交点处
连接点A,点B，发射塔在线段AB的垂直平分线上
发射塔在m与n夹角的角平分线上
分析：
例 如图，电信部门要在S区建一座信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
A
B
O
S
m
n
解：
连接AB
因为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以：
分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画圆
得到两个交点
连接这两个交点
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
例 如图，电信部门要在S区建一座信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
A
B
O
S
m
n
因为到角两边距离相等的点在角的平分线上
所以：以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线m，n于点M，N.
分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长度为半径画圆， 两圆交于点P.
作射线OP
M
N
P
C
∠MON的角平分线与AB的垂直平分线相交于点C
发射塔应修建在点C，点C到A，B距离相等，到直线m，n的距离也相等.
解：
到角两边距离相等的点在角的平分线上
小结：熟练掌握利用尺规作角的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键.
求线段之间的关系
添加环节P
求线段之间的关系:
求线段长或线段之间的数量关系
探究线段位置关系
直线 l 垂直平分线段AB
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
A
B
C
l
D
DA=DB
线段垂直平分线的性质
直线 l 垂直平分线段AB
DC⊥AB，BC=AC
点C是线段AB的中点
DC是等腰△DAB的高、中线
DA=DB
△DAB是等腰三角形
A
B
C
l
D
线段的特殊位置关系
平行∥
垂直⊥
例 如图，AD⊥BC，BD=CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB=5cm，BD=3cm．求BE的长．
A
B
C
D
E
AD垂直平分BC
AB=AC
AC=EC
AB=AC=EC=5cm
BD=CD=3cm
BE=BD+CD+EC=11cm
5cm
3cm
3cm
分析：
例 如图，AD⊥BC，BD=CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB=5cm，BD=3cm．求BE的长．
A
B
C
D
E
5cm
3cm
3cm
∵ AD⊥BC，BD=CD
∴AD所在的直线是BC的垂直平分线
∴ AB=AC
又∵点C在AE的垂直平分线上
∴AC=EC
∴ AB=AC=EC=5cm
又BD=CD=3cm
∴BE=BD+CD+EC=11cm
解：
小结：
首先，利用垂直平分线的定义判定线段的垂直平分线；
其次，根据点在垂直平分线上，得到线段相等的关系；
最后，进行线段长度的计算．
例 如图，在D，E分别是线段AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：AC=AB．
A
B
C
D
E
连接BC
D是线段AB的中点且CD⊥AB
AC=BC
E是线段AC的中点且BE⊥AC
AB=BC
AC=AB
分析：
CD是线段AB的垂直平分线
BE是线段AC的垂直平分线
例 如图，在D，E分别是线段AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：AC=AB．
A
B
C
D
E
连接BC
∵ 点D是线段AB的中点且CD⊥AB
∴ AC=BC
又∵点E是线段AC的中点且BE⊥AC
∴AB=BC
∴ AC=BC=AB
∴AC=AB
证明：
小结：利用线段垂直平分线的性质得出对应线段相等，再进行等量代换是解决此题的关键．
∴ CD是线段AB的垂直平分线
∴ BE是线段AC的垂直平分线
例 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．试猜想：AD与EF之间有什么位置关系？请证明你的猜想．
A
B
C
D
E
F
DE⊥AB，DF⊥AC
AD是公共边
Rt△ADE≌ Rt△ADF（HL）
AE=AF
AD垂直平分EF
分析：
DE=DF
AD是∠BAC的平分线
例 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．试猜想：AD与EF之间有什么位置关系？请证明你的猜想．
∵ DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴ DE⊥AB，DF⊥AC，
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ DE=DF，
又∵AD是公共边，DE=DF
∴ Rt△ADE≌ Rt△ADF（HL），
A
B
C
D
E
F
∴ AE=AF，
∴ AD垂直平分EF．
猜想：AD垂直平分EF．
证明：
小结： 探究两条线段的位置关系时，先猜想垂直平分的关系，再根据已知条件来进行推理证明．
∴点A在线段EF的垂直平分线上
∴点D都在线段EF的垂直平分线上
求角的度数
求角的度数
从定义角度：垂直
从性质角度：等边对等角
求角的度数
引例
A
B
C
D
如图，AD垂直平分线段BC
则AD⊥BC，BD=CD，
则AB=AC，
∠ADB=∠ADC=90°
∠B=∠C
定义角度
性质角度
角的关系
例 如图，在Rt △ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=16°，那么∠C的度数是多少？
A
B
C
D
E
ED是AC的垂直平分线
AE=CE
∠EAC=∠C
△ABC的内角和为180°
∠B+∠BAE +∠EAC+∠C=180°
90°+16°+∠EAC+∠C=180°
∠EAC=∠C=37°
分析：
例 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=16°，那么∠C的度数是多少？
∵ ED是AC的垂直平分线
∴ AE=CE
∴ △AEC是等腰三角形
∴ ∠EAC=∠C
∵ △ABC的内角和为180°
∴ ∠B+∠BAE +∠EAC+∠C=180°
90°+16°+∠EAC+∠C=180°
∠EAC+∠C=74°
A
B
C
D
E
∵ ∠EAC=∠C
∴ ∠EAC=∠C=37°
解：
小结：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．解答本题的关键是推出∠EAC=∠C.
例 如图，已知△ABC中，∠ABC=50 ，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N．若点M在线段PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数是多少？
A
B
C
M
N
P
AM=PM
∠1=∠2
∠1 +∠2+∠3=180°
∠m+∠3=180°
∠m=∠1+∠2=2∠2
NP=NC
∠4=∠5
∠4+∠5+∠6=180°
∠n+∠6=180°
∠n=∠4+∠5=2∠5
分析：
∠MAP=∠1
设：
∠MPA=∠2
∠AMP=∠3
∠NCP=∠4
∠NPC=∠5
∠CNP=∠6
∠BMP=∠m
∠BNP=∠n
n
m
1
2
3
4
5
6
A
B
C
M
N
P
∠B+∠m+∠n=180°
∠B+2∠2+2∠5=180°
∠B=50
2∠2+2∠5=130°
∠2+∠5=65°
∠APC+∠2+∠5=180°
∠APC=115°
分析：
n
m
1
2
3
4
5
6
例 如图，已知△ABC中，∠ABC=50 ，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N．若点M在线段PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数是多少？
A
B
C
M
N
P
n
m
1
2
3
4
5
6
∠MAP=∠1
设：
∠MPA=∠2
∠AMP=∠3
∠NCP=∠4
∠NPC=∠5
∠CNP=∠6
∠BMP=∠m
∠BNP=∠n
解：
例 如图，已知△ABC中，∠ABC=50 ，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N．若点M在线段PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数是多少？
A
B
C
M
N
P
∵点M在线段PA的垂直平分线上
∴ AM=PM
∴ ∠1=∠2
∵∠1 +∠2+∠3=180°
且∠m+∠3=180°
∴ ∠m=∠1+∠2=2∠2
同理可得：∠n=∠4+∠5=2∠5
∵∠B+∠m+∠n=180°且∠B=50
∴50°+2∠2+2∠5=180°
∴∠2+∠5=65°
又∠APC+∠2+∠5=180°
∴∠APC=115°
解：
n
m
1
2
3
4
5
6
小结：
首先，借助线段垂直平分线的性质得到线段相等的关系；
其次，根据等边对等角，得到角相等的关系；
最后，根据三角形内角和定理，运算求得未知角．
例 如图，已知△ABC中，∠ABC=50 ，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N．若点M在线段PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数是多少？
判断线段垂直平分线
线段垂直平分线的应用
定义：直线经过线段的中点且垂直这条线段
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
作线段垂直平分线
利用线段垂直平分线性质定理的逆定理构造相等线段
求线段的数量关系
方法指引：
中点
垂直平分线即等腰
求角的度数
垂直
等边对等角
方法指引：
再 见

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