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2023年国家集训队第一轮选拔考试试题解析
2023年3月，国际数学奥林匹克中国国家队的第一轮选拔在成都嘉祥外国语
高级中学举行.本次试题新颖有趣.值得思考与研究.因作者水平有限.不当之处在
所难免.请读者不吝赐教
I.试题
1.设整数n≥2.A1A2·A2m是圆内接凸2n边形.已知形内存在一点P.满
足
∠PA1A2=∠PA2A3=··=∠PA2nA1
求证：
ΠA-1A2=AA2+l
其中A2n+1=A1:
2.某次聚会有n个人参加.已知其中共有不超过n对朋友，且两人握手当且
仅当他们有公共朋友.设整数m≥3.且满足n≤m3.求证：存在一个人A.A握
过手的人数不超过A的朋友数的m-1倍：
3.(1)设a.b为互质的正整数.求证：存在实数入.B.使得对任意正整数m.均
有
Am-B
(2)求证：存在正整数N,使得对任意质数p>N,若正整数a.b.c满足p不整
除(a+b)(b+c(c+a,则至少存在[品]个1≤k≤p-1,使得
{}+商+{}1
修订日期：2023-06-20
4.对正整数m.n.记
S(m,n)={(a.b)∈N|1≤a≤m.1≤b≤n.gcd(a,b)=1}.
求证：对任意正整数d.r,存在不小于d的整数m.n.使得
|S(m.n)川≡r(modd).
5.设P.·.Pn是△ABC内的点.满足乃.··Pn,A.B.C中任意三点不共
线.求证：可以将△ABC划分为2+1个小三角形.使得每个小三角形的顶点都
来自P,·,Pm:A.B.C.且含A.B.C中至少一个的小三角形不少于n+m+1
个
6.求证：(1)在复平面中，每条过原点的直线（实轴除外）上至多有一点z.使
得中器是实数
(2)对任意非零复数a和任意实数0，方程1+z23+az64=0在
s={eecRae92lleos}
中都有根
7.给定整数n≥2及与n互质的整数a.一个国家有n座小岛D1.D2.·
Dn,对任意1≤i卡j≤n,D,到D,有单向轮渡当且仅当)三ia(modn).一个
游客初始时可以坐飞机到达任意一个小岛.之后只能乘坐单向轮渡.问：他最多可
以游览多少座小岛？
8.在非等腰锐角△ABC中，AP.BQ,CR是高，H是垂心.A1是BC的中点，
AA交QR于点K.QR交过A且平行于BC的直线于点D.AH的中点与K的
连线交DA1于点A2.类似定义点B2.C2.已知△A2B2C2非退化.其外接圆为w.
求证：存在w内与之相切的圆A',B.C,满足
(1)圆A'与AB.AC相切、圆B与BC,BA相切、圆C”与CA.CB相切：
(2)A',B.C”不同且共线
9.求最大的正整数m.使得可以将一个70×70方格表中的一些格染红.满足：
(1)不存在两个红格，它们所在行中红格数相同，所在列中红格数也相同：
(2)存在两行中恰有m个红格
10.称非空整数集A是“优美的”，如果对任意a∈A.1≤k≤2023.集合
eA:[=[}
的元素个数恰为2.求证：若整数集S与任意优美集合的交非空.则S包含一个
优美的集合，
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