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专题3.1 平方根
模块1：学习目标
1、了解算术平方根与平方根的概念与性质，会用根号表示一个正数的算术平方根与平方根；
2、了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个正数的算术平方根，并解决实际问题；
3、能正确区分平方根与算术平方根的意义。
模块2：知识梳理
1）算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2）平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
3）平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
4）平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
5）平方根的性质：
6）平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如：，，，.
模块3：核心考点与典例
考点1、求已知数的算术平方根
例1．（2022·绵阳市初二期中）的算术平方根是_____；(－)2 的算术平方根是____．
【答案】
【分析】先通过计算及的值，再分别计算它们的算术平方根即可得解．
【解析】，5的算术平方根是；，的算术平方根是，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查求一个数的平方及算术平方根，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．
变式1．（2022·内蒙古初二期中）下列语句、式子中①4是16的算术平方根，即②4是16的算术平方根，即③-7是49的算术平方根，即④7是的算术平方根，即其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可得．
【解析】4是16的算术平方根，即，则①错误，②正确；
7是49的算术平方根，即，则③错误；
7是的算术平方根，即，则④正确；综上，正确的是②④，故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根，掌握理解算术平方根的定义是解题关键．
变式2.（2023·成都市初二期中）下列说法正确的是（ ）．
A．4是的算术平方根 B．0的算术平方根是0
C．是算术平方根 D．的算术平方根是
【答案】B
【分析】根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断选项，即可．
【解析】A. 4是16的算术平方根，故原选项错误；B. 0的算术平方根是0，故原选项正确；
C.2是算术平方根，故原选项错误；D. 没有算术平方根，故原选项错误，故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根以及平方根的定义和性质，掌握负数没有平方根，零的平方根是零，正数有两个平方根，是解题的关键．
考点2、算术平方根的非负性
例2．（2022·山东七年级专题练习）已知和互为相反数，且，求的值．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入计算．
【详解】解：∵和互为相反数，∴+=0，
∵两个非负数互为相反数则只能均为0，∴－1＝0，1－2＝0，
∴＝1， ∴＝2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方．
变式1.（2022.浙江·七年级期末）若与互为相反数，则________．
【答案】2．
【分析】根据相反数的概念列式，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解析】解：由题意得：，则：a 1＝0，b＋1＝0，解得：a＝1，b＝ 1，
则1＋1＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
变式2.（2022.江苏·七年级期末）若，则的值是（ ）
A．4 B．16 C．25 D．64
【答案】C
【分析】先根据非负数的性质求出的值，再代入代数式进行计算即可．
【解析】∵，∴，，解得：，，
∴．故选：C．
【点睛】本题考查非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键．
考点3、与算术平方根有关的规律问题
例1.（2022·江苏·八年级）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n 16 0.16 0.0016 1600 160000 …
4 x 0.04 y 400 …
(1)表格中x＝　 　；y＝　 　；
(2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈　 　；②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　．
【答案】(1)0.4；40
(2)①143.5；②0.03489
【分析】（1）把n=0.16代入x=求解即可；把n=1600代入y=求解即可；
（2）①根据被开方数小数点向右移动了4位，则算术平方根小数点向右移动两位求解；
②根据算术平方根小数点向左移动1位；则被开方数小数点向左移动了2位求解．
(1)解：当n=0.16时，x===0.4，
当n=1006时，x===40，故答案为：0.4，40；
(2)解：①已知≈1.435，则≈143.5；故答案为：143.5；
②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝0.03489．故答案为：0.03489．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
变式1．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如果＝3.873，＝1.225，那么＝___________．
【答案】122.5
【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动4个位数，则它的算术平方根就向左向右移动2个位数”可知答案．
【详解】解：∵1.5×10000=15000，∴＝100＝122.5，故答案为：122.5．
【点睛】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系．
变式2．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期中）如果，那么的结果为( )
A．38.73 B．387.3 C．12.25 D．122.5
【答案】D
【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动4个位数，则它的算术平方根就向左或向右移动2个位数”可知答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．故选：D
【点睛】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系．
考点4、算术平方根的实际应用
例1．（2022·平泉市八年级期末）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
【答案】D
【分析】观察图形，大正方形的面积等于小正方形的面积，小正方形的面积为1，根据面积相等求得大正方形的边长即可．
【详解】大正方的面积等于2个小正方形的面积，小正方形的面积为1大正方形的面积等于2，
设大正方形的边长为，则．故选D．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，正方形的面积，根据面积相等求解是解题的关键．
变式2．（2022·成都市·八年级月考）小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得
. . .
∵ ＞0，∴ . ∴ 长方形纸片的长为.
∵ 50＞49, ∴.∴ , 即长方形纸片的长大于20.
由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.
变式2．（2022 武昌区七年级期中）如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）求大正方形的边长；（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？
【思路点拨】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【答案】解：（1）大正方形的边长是＝5（cm）；
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x 3x＝48，解得：x＝cm＝2（cm），4x＝8cm＞5cm，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2．
【点睛】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．
考点5 平方根的相关概念理解
例1．（2022·成都市初二课时练习）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根
【答案】D
【解析】解：A. 非负数0的平方根是0，只有一个，故本选项错误；
B. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项错误；
C. 因0的平方根是0，故本选项错误；D. 负数没有平方根，故本选项正确；故选：D
【点睛】本题考查正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
变式1.（2022·福建八年级月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．非负数才有平方根 B．非负数的算术平方根是非负数
C．任何数都有两个平方根 D．负数没有平方根
【答案】C
【分析】根据平方根的定义、非负数的定义逐项排查即可．
【详解】解：A. 非负数才有平方根，说法正确；B. 非负数的算术平方根是非负数，说法正确；
C. 0只有1个平方根，故C说法错误、符合题意；D. 负数没有平方根，说法正确．故答案为C．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义、非负数的定义，理解平方根的定义成为解答本题的关键．
变式2.（2022 武安市七年级期末）下列各数中一定有平方根的是（　　）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
【思路点拨】非负数必定有平方根．
【答案】解：A、a2﹣5有可能小于0，故A不符合题意．
B、﹣a有可能小于0，故B不符合题意．
C、a+1有可能小于，故C不符合题意．
D、a2+1≥0，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
考点6、求一个数的平方根
例1．（2022·福建七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是±4 C．25的平方根是±5 D．﹣36的算术平方根是6
【答案】C
【分析】根据平方根和算术平方根的定义判断即可．
【详解】解：A．4的平方根是±2，故错误，不符合题意；B．的平方根是±2，故错误，不符合题意；
C．25的平方根是±5，故正确，符合题意；D．-36没有算术平方根，故错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的概念，解题关键是熟悉相关概念，准确进行判断．
变式1．（2022 集贤县七年级期末）（﹣0.25）2的平方根是（　　）
A．﹣0.5 B．±0.5 C．0.25 D．±0.25
【分析】先根据乘方的法则求出（﹣0.25）2的结果，再根据平方根的概念求出平方根，选出答案．
【解析】（﹣0.25）2＝0.0625，
0.0625的平方根为±0.25，故选：D．
变式2．（2022·黑龙江初二期中）的平方根是____．
【答案】±3
【解析】∵=9，∴9的平方根是.故答案为3.
考点7、已知平方根求数
例1．（2022·上海·七年级期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a＋2
(1)求a和x的值；(2)求3x＋2a的平方根．
【答案】(1)a＝﹣1，x＝9(2)±5
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求出a的值，再将a的值代入2a﹣1即可求出x的值；（2）将（1）中的结果代入求解即可．
(1)解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，解得a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
(2)解：∵3x+2a＝3×9﹣2＝25，
又∵25的平方根为±5，∴3x+2a的平方根为±5．
【点睛】本题考查了平方根的知识，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
变式1．（2022·广东）若一个正数m的两个平方根分别是a-1和4-2a，则m的值为________．
【答案】4
【分析】根据平方根的定义和相反数得出a-1+4-2a=0，求出a=3，求出a-1=2，即可得出答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是a-1和4-2a，
∴a-1+4-2a=0，∴a=3，∴a-1=2，∴这个正数m的值是22=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根和相反数的应用，解此题的关键是求出a的值，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
变式1．（2022 东城区七年级期中）已知正实数x的平方根是n和n+a（a＞0）．
（1）当a＝6时，求n的值；（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值；
（2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝x，a2＝x，代入式子n2x2+（n+a）2x2＝10即可求出x值．
【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴n+n+a＝0，
∵a＝6，
∴2n+6＝0
∴n＝﹣3；
（2）∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴（n+a）2＝x，n2＝x，
∵n2+（n+a）2＝8，
∴x+x＝8，
∴x＝4，
∴n＝﹣2，n+a＝2，即a＝4，
∴a﹣n＝6，
a﹣n的平方根是±．
【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
考点8、利用平方根解方程
例1．（2022·绵阳市初二期中）求下列各式中的.
（1） （2）； （3）
【答案与解析】
解：（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴＋1＝±17
＝16或＝－18.
（3）∵
∴
∴
∴
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
变式1．（2022 集贤县七年级期末）1方程的解是_____________；．
【答案】或
【分析】利用平方根进行求解方程即可．
【解析】解：
∵，∴，
当时，则，
当时，则，
∴原方程的解为或；故答案为或．
【点睛】本题主要考查利用平方根求解方程，熟练掌握平方根是解题的关键．
变式2．（2022·河南）求下列各式中的．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先移项，方程两边除以4，再开方即可；
（2）先开方，再分别求解或，即可得出答案．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2）∵，
∴或，
解得：或．
【点睛】此题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·西宁市七年级期中）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③(π－4)2的算术平方根是π－4；④算术平方根不可能是负数，其中不正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】若一个正数x的平方等于a，即，则这个正数x为a的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根，根据这些定义即可判断．
【详解】①负数没有平方根，因此负数也没有算术平方根，①不正确，符合题意；
②0的算术平方根是0，②不正确，符合题意；
③π< 4， (π－4)2的算术平方根是4-π，③错误，符合题意；
④算术平方根不可能是负数，④正确，不符合题意，错误的选项有三个，故选：C．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，属于基础题，本题重点是对算术平方根性质的理解．
2．（2022 香洲区七年级开学）下列说法正确的是（ ）
A．可以平方的数一定也可以开平方 B．平方根有负数，所以负数有平方根
C．把4开平方得到的结果为 D．没有平方根
【答案】C
【分析】根据负数没有平方根，正数的平方根有两个（一正一负）进行逐一判断即可得到答案．
【解析】解：负数可以平方，但不可以开平方，故A错误；
负数没有平方根，故B错误；
4开平方得，故C正确；
当a为非正数时，，有平方根，故D错误．故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键在于能够熟练掌握，负数没有平方根，正数的平方根有两个（一正一负，互为相反数），0的平方根是0．
3．（2022·江苏·八年级）已知，，则（ ）
A．0.15129 B．0.015129 C．0.0015129 D．1.5129
【答案】B
【分析】根据题意可得出，，然后再将、和的计算结果对比可得出结论．
【详解】解：∵，，∴，，
∴，，，∴．故选：B．
【点睛】本题考查的是算术平方根．如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．理解和掌握算术平方根的定义是解答此题的关键．
4．（2022·广东白云初二期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根 C．的平方根 D．的平方根
【答案】A
【分析】根据平方根的性质，逐一判定即可.
【解析】A选项，的平方根是，正确；B选项，的平方根是，错误；
C选项，的平方根是，错误；D选项，没有平方根，错误；故选：A.
【点睛】此题主要考查对平方根的理解，熟练掌握，即可解题.
5．（2022·成都市八年级课时练习）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　)
A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1
【答案】D
【分析】根据平方根的性质解答即可.
【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；
C、>0，∴该数有平方根；
D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；故选：D.
【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键.
6．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
【答案】A
【分析】先求出的值，再求平方根即可．
【详解】解：∵，9的平方根是±3，∴的平方根是±3，故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7.（2022春 上杭县校级月考）已知实数m，n满足|n﹣2|+＝0，则m+n的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】C
【解答】解：∵|n﹣2|+＝0，
又|n﹣2|≥0，≥0，∴n﹣2＝0，m+1＝0，
解得m＝﹣1，n＝2，∴m+n＝﹣1+2＝1．故选：C．
8．（2022·河北七年级期中）一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.
【解析】根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.
【点睛】此题考察平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键.
9.（2022 玄武区七年级期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（　　）
A．a是5的平方根 B．b是5的平方根
C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，则a﹣1是5的算术平方根．故选：C．
【点评】本题主要考查看平方根与算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
10．（2022·北京市九年级期中）示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是( ).
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小
D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
【答案】D
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除．
【详解】解：A.不符合题意； B.不符合题意；
C．不符合题意； D.符合题意． 故选：D．
【点睛】这道题主要考查利用算术平方根的含义及实际应用，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：_________；_________．
【答案】 2 4
【分析】根据算术平方根的性质，乘方的运算法则，即可求解．
【详解】解：；．故答案为：2，4
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，乘方运算，熟练掌握算术平方根的性质，乘方的运算法则是解题的关键．
12．（2021·湖南邵阳市·中考真题）16的算术平方根是___________．
【答案】4
【详解】正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；
负数没有平方根也没有算术平方根
∵ ∴16的平方根为4和-4 ∴16的算术平方根为4
13．（2022·山东七年级期中）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个正数是___．
【答案】49
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于a的方程，解之可得．
【详解】解：根据题意知2a-3+5-a=0，解得：a=-2，
∴2a-3=-7，∴这个正数是49．故答案为：49．
【点睛】本题主要考查了平方根，关键是掌握正数a有两个平方根，它们互为相反数．
14．（2022 镇海区七年级期末）一个数的算术平方根是6，则这个数是 　 　，它的另一个平方根是 　 　．
【思路点拨】根据平方根、算术平方根的意义进行计算即可．
【答案】解：36的算术平方根为＝6，36的平方根为±＝±6，故答案为：36，﹣6．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根，理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的前提．
15．（2022·西宁市七年级期中）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是 _____________．
【答案】
【分析】设这个正方形的边长为x（x＞0），由题意得x2＝3，根据算术平方根的定义解决此题．
【详解】解：设这个正方形的边长为x（x＞0）．由题意得：x2＝3．∴x＝．故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的面积以及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键．
16．（2022 朝阳县七年级期末）的算术平方根是 　　，的平方根是 　　．
【思路点拨】先计算以及，再求13的算术平方根和4的平方根．
【答案】解：∵，，
∴的算术平方根是，的平方根是±2．故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根以及平方根，熟练掌握算术平方根以及平方根是解决本题关键．
17．（2022 浙江七年级期中）若x、y满足，则的值为________．
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出x、y的值，然后再代入运用乘方计算即可．
【解析】解:∵，∴，，∴．故填-1．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，当几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
18．（2022·江西南昌·七年级期中）已知，，若，则的值为____________．
【答案】5217
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【详解】解：∵，，∴52.17≈7.2232，x≈72.232，
∵72.232＝7.2232×102，∴x＝52.17×100＝5217，故答案为： 5217．
【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 肥乡区七年级月考）计算：
（1）﹣；（2）；（3）；（4）±．
【思路点拨】根据平方根和算术平方根定义求出即可．
【答案】解：（1）﹣＝﹣3；
（2）＝3；
（3）＝；
（4）±＝±0.5．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
20．（2022·绵阳市·七年级专题练习）求下列式子中的x：
(1)25(x﹣)2＝49； (2)(x+1)2＝32．
【答案】(1)x1＝2，x2＝
(2)x1＝7，x2＝﹣9
【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；
（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．
(1)解： 25（x﹣）2＝49，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
x﹣＝或x﹣＝﹣，
解得：x1＝2，x2＝；
(2)（x+1）2＝32，
（x+1）2＝32×2，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x+1＝8或x+1＝﹣8，
解得：x1＝7，x2＝﹣9．
【点睛】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．
21．（2022·湖南七年级期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知：解得：则：，所以这个正数为．
王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．
【答案】这个正数为4或1，正确过程见解析
【分析】根据平方根和算术平方根的概念求解即可．
【详解】解：依题意可知：是两数中的一个．
①当时
解得：，则：，所以这个正数为；
②当
解得：，则：，所以这个正数为．
综上，这个正数是或．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义、解一元一次方程，解答的关键是熟知一个正数有两个平方
根，它们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根，零的平方根为0 ，负数没有平方根．
22.（2022 仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：
（1）m+n的值；（2）（m+n）2的平方根．
【解答】解：（1）∵132＝169，∴m＝13，
∵（﹣11）2＝121，∴n＝﹣11，∴m+n＝13+（﹣11）＝2；
（2）（m+n）2＝4＝（±2）2，∴（m+n）2的平方根是±2．
故答案为：（1）2，（2）±2．
23．（2022 武侯区七年级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+＝0，求a+3b+c的算术平方根．
【思路点拨】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．
【答案】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，
∵|b﹣1|+＝0，且|b﹣1|≥0，≥0，
∴b﹣1＝0，c+4＝0，解得：b＝1，c＝﹣4，
∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，
＝2，∴a+3b+c的算术平方根是2．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．
24．（2022 栾城区七年级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为256时，输出的y值是　　；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：　 　．
【分析】（1）直接利用运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案；
（2）直接利用运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案；
（3）运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案．
【解析】（1）∵256的算术平方根是16，16是有理数，16不能输出，
16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是，是无理数，输出，故答案为：．
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，故答案为：5和25（答案不唯一）．
25．（2022·河南开封·七年级期末）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．
问题发现：若大正方形的面积为，则小正方形的面积是__________，边长为___________；
知识迁移：某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．
拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
【答案】问题发现：小正方形的面积为，边长为4
知识迁移：不能裁出符合要求的长方形纸片
拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，示意图见解析，大正方形边长为
【分析】问题发现：先求出小正方形的面积，再根据正方形的面积等于边长的平方求边长；
知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，利用面积列方程，最后检验即可；
拓展延伸：新的大正方形面积为5，则边长为，可以把它剪开并拼成一个大正方形．
【详解】问题发现：小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为4．故答案为：16；4．
知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，
由题意得：，整理得：，
∵实际问题x为正数，∴，
∴长方形的长为，
即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长，
∴不能裁出符合要求的长方形纸片．
拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示：
∵原图形的面积是5，∴裁剪后的正方形面积也是5，∴大正方形边长为．
【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．
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专题3.1 平方根
模块1：学习目标
1、了解算术平方根与平方根的概念与性质，会用根号表示一个正数的算术平方根与平方根；
2、了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个正数的算术平方根，并解决实际问题；
3、能正确区分平方根与算术平方根的意义。
模块2：知识梳理
1）算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2）平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
3）平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
4）平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
5）平方根的性质：
6）平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如：，，，.
模块3：核心考点与典例
考点1、求已知数的算术平方根
例1．（2022·绵阳市初二期中）的算术平方根是_____；(－)2 的算术平方根是____．
变式1．（2022·内蒙古初二期中）下列语句、式子中①4是16的算术平方根，即②4是16的算术平方根，即③-7是49的算术平方根，即④7是的算术平方根，即其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
变式2.（2023·成都市初二期中）下列说法正确的是（ ）．
A．4是的算术平方根 B．0的算术平方根是0
C．是算术平方根 D．的算术平方根是
考点2、算术平方根的非负性
例2．（2022·山东七年级专题练习）已知和互为相反数，且，求的值．
变式1.（2022.浙江·七年级期末）若与互为相反数，则________．
变式2.（2022.江苏·七年级期末）若，则的值是（ ）
A．4 B．16 C．25 D．64
考点3、与算术平方根有关的规律问题
例1.（2022·江苏·八年级）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n 16 0.16 0.0016 1600 160000 …
4 x 0.04 y 400 …
(1)表格中x＝　 　；y＝　 　；
(2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈　 　；②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　．
变式1．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如果＝3.873，＝1.225，那么＝___________．
变式2．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期中）如果，那么的结果为( )
A．38.73 B．387.3 C．12.25 D．122.5
考点4、算术平方根的实际应用
例1．（2022·平泉市八年级期末）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
变式2．（2022·成都市·八年级月考）小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
变式2．（2022 武昌区七年级期中）如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）求大正方形的边长；（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？
考点5 平方根的相关概念理解
例1．（2022·成都市初二课时练习）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根
变式1.（2022·福建八年级月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．非负数才有平方根 B．非负数的算术平方根是非负数
C．任何数都有两个平方根 D．负数没有平方根
变式2.（2022 武安市七年级期末）下列各数中一定有平方根的是（　　）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
考点6、求一个数的平方根
例1．（2022·福建七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是±4 C．25的平方根是±5 D．﹣36的算术平方根是6
变式1．（2022 集贤县七年级期末）（﹣0.25）2的平方根是（　　）
A．﹣0.5 B．±0.5 C．0.25 D．±0.25
变式2．（2022·黑龙江初二期中）的平方根是____．
考点7、已知平方根求数
例1．（2022·上海·七年级期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a＋2
(1)求a和x的值；(2)求3x＋2a的平方根．
变式1．（2022·广东）若一个正数m的两个平方根分别是a-1和4-2a，则m的值为________．
变式1．（2022 东城区七年级期中）已知正实数x的平方根是n和n+a（a＞0）．
（1）当a＝6时，求n的值；（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．
考点8、利用平方根解方程
例1．（2022·绵阳市初二期中）求下列各式中的.
（1） （2）； （3）
变式1．（2022 集贤县七年级期末）1方程的解是_____________；．
变式2．（2022·河南）求下列各式中的．
（1）； （2）．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·西宁市七年级期中）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③(π－4)2的算术平方根是π－4；④算术平方根不可能是负数，其中不正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022 香洲区七年级开学）下列说法正确的是（ ）
A．可以平方的数一定也可以开平方 B．平方根有负数，所以负数有平方根
C．把4开平方得到的结果为 D．没有平方根
3．（2022·江苏·八年级）已知，，则（ ）
A．0.15129 B．0.015129 C．0.0015129 D．1.5129
4．（2022·广东白云初二期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根 C．的平方根 D．的平方根
5．（2022·成都市八年级课时练习）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　)
A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1
6．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
7.（2022春 上杭县校级月考）已知实数m，n满足|n﹣2|+＝0，则m+n的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．3
8．（2022·河北七年级期中）一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
9.（2022 玄武区七年级期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（　　）
A．a是5的平方根 B．b是5的平方根
C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根
10．（2022·北京市九年级期中）示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是( ).
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小
D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：_________；_________．
12．（2021·湖南邵阳市·中考真题）16的算术平方根是___________．
13．（2022·山东七年级期中）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个正数是___．
14．（2022 镇海区七年级期末）一个数的算术平方根是6，则这个数是 　 　，它的另一个平方根是 　 　．
15．（2022·西宁市七年级期中）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是 _____________．
16．（2022 朝阳县七年级期末）的算术平方根是 　　，的平方根是 　　．
17．（2022 浙江七年级期中）若x、y满足，则的值为________．
18．（2022·江西南昌·七年级期中）已知，，若，则的值为____________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 肥乡区七年级月考）计算：
（1）﹣；（2）；（3）；（4）±．
20．（2022·绵阳市·七年级专题练习）求下列式子中的x：
(1)25(x﹣)2＝49； (2)(x+1)2＝32．
21．（2022·湖南七年级期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知：解得：则：，所以这个正数为．
王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．
22.（2022 仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：
（1）m+n的值；（2）（m+n）2的平方根．
23．（2022 武侯区七年级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+＝0，求a+3b+c的算术平方根．
24．（2022 栾城区七年级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为256时，输出的y值是　　；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：　 　．
25．（2022·河南开封·七年级期末）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．
问题发现：若大正方形的面积为，则小正方形的面积是__________，边长为___________；
知识迁移：某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．
拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
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