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专题3.2 实数
模块1：学习目标
1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类；
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
3、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
4、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
模块2：知识梳理
1、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类；.②带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.；③看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
2、实数：有理数和无理数统称为实数.
1）实数的分类
实数 实数
2）实数与数轴上的点的关系
每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。
3）实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。
（1）与互为相反数，且互为相反数的两个数的绝对值相等。
（2）与互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。
（3）绝对值的非负性：
4）两个实数比较大小
①负数小于0，0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。②数轴上，如果点A，点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离。
5）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
模块3：核心考点与典例
考点1：无理数的相关概念与识别
例1．（2022 杭州七年级期中）在0.618，0，，，，3.14，，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可判断．
解：0.618，0，，3.14，是有理数，，是无理数，故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
变式1．（2022·黑龙江甘南初二期末）下列说法中正确的是（ ）
A．无限小数是无理数 B．用根号形式表示的数是无理数
C．无理数是无限小数 D．无理数是开方开不尽的数
【答案】C
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数逐项判断即得答案．
【解析】解：A、无限小数不一定是无理数，如无限循环小数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
B、用根号形式表示的数不一定是无理数，如，故本选项说法错误，不符合题意；
C、无理数是无限小数，故本选项说法正确，符合题意；
D、无理数不都是开方开不尽的数，如π，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，属于基础概念题型，熟知无理数的概念是关键．
变式2．（2022·湖北七年级期末）有下列各数：﹣，，0.02002000200002…（相邻两个2之间0的个数依次多1），﹣8，3，，．其中，无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：﹣是分数，属于有理数；是无理数；
0.02002000200002…（相邻两个2之间0的个数依次多1）是无理数；
﹣8是整数，属于有理数；3是无理数；＝6，是整数，属于有理数；是无理数；
无理数共4个，故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
考点2、实数的概念理解及实数的分类
例1．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列说法中错误的是（　　）
A．有理数和无理数统称为实数 B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．平方根是其本身的数只有0 D．负数没有立方根
【答案】D
【分析】根据实数的定义：有理数和无理数统称为实数；实数和数轴的关系；平方根的定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就是的平方根；立方根的定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就是的立方根；据此判断即可；
【详解】解：A、有理数和无理数统称为实数，说法正确，不符合题意；
B、实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确，不符合题意；
C、平方根是其本身的数只有0，说法正确，不符合题意；
D、负数的立方根还是负数，原说法错误，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了实数的定义，实数与数轴的关系，平方根和立方根的定义，熟记相关定义并理解是解本题的关键．
例2．（2022·山东德州·七年级期中）把下列各数填入相应的集合内．
，，3.1，，0.8080080008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1），，，，，，，．
整数集合{ ，…}；
正数集合{ ，…}；
有理数集合{ ，…}；
无理数集合{ ，…}．
【答案】见解析
【分析】先根据立方根和算术平方根进行化简，再根据实数的分类进行填写即可．
【详解】，解：整数集合{，，…}；
正数集合{，3.1，，0.8080080008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1），，，，，，，…}；有理数集合{，3.1，，，，，…}；
无理数集合{，0.8080080008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1），，，…}．
【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握立方根和算术平方根的求解及实数的分类是解题的关键．
变式1．（2022春·重庆·八年级校考阶段练习）下列语句中，正确的是（　　）
A．无限小数都是无理数 B．实数与数轴上的点是一一对应的
C．无理数分为正无理数、0和负无理数 D．无理数的平方一定是无理数
【答案】B
【分析】根据有理数、无理数、实数与数轴上点的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A项，无限小数中，无限循环小数就是有理数，A选项说法错误；
B项，实数与数轴上的点是一一对应的，B选项正确；
C项，无理数分为正无理数、负无理数，0是有理数；C选项说法错误；
D项，无理数的平方一定是无理数说法错误．比如是无理数，的平方是2，不是无理数，D选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键要看说法的不同，而导致的结果也不相同．
变式2.（2022·河北石家庄·八年级期末）把下列各数写人相应的集合内：．
(1)有理数集合：{ …}
(2)正实数集合：{ …}
(3)无理数集合：{ …}
(4)负实数集合：{ …}
【答案】(1)，，，
(2)，，，，，
(3)，，， (4)，
【分析】根据实数的分类方法进行解答即可．
（1）解：，，，
有理数集合为：．
（2）解：正实数集合为：．
（3）解：无理数集合为：．
（4）解：负实数集合：．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数的概念，是解题的关键．
考点3、实数的性质
例1．（2022·辽宁八年级期中）的倒数是 ____，3﹣的绝对值是 ______．
【答案】﹣ ﹣3
【分析】（1）先化简再根据互为倒数的两个数积为1的概念进行求值即可.
（2）根据若一个数小于0，那么它的绝对值为它的相反数，求出- 2的相反数即可.
【详解】解：（1）化简，又，故答案为：.
（2）- 2＜0，则它的绝对值即为它的的相反数 = ，
故答案为：故答案为，
【点睛】本题考查立方根，互为倒数和绝对值的概念，务必清楚的是互为倒数的的两个数积1，负数的绝对值等于它的相反数，掌握倒数和求绝对值的相关概念是解题的关键.
变式1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵>1，∴｜｜＝，故选：B．
【点睛】本题考查绝对值，估算无理数，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反相数，0的绝对值中0是解题的关键．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）的相反数是___，﹣π的绝对值是___，＝___．
【答案】- 3
【分析】直接利用相反数以及绝对值、算术平方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：的相反数是：-，-π的绝对值是：π，=3．故答案为：-，π，3．
【点睛】此题主要考查了算术平方根、实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
变式3．（2022 海伦市七年级期末）﹣的相反数是 　　；|1﹣|＝　 　．
【思路点拨】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质分别得出答案．
【答案】解：﹣的相反数是：﹣（﹣）＝﹣；|1﹣|＝﹣1．
故答案为：﹣；﹣1．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确化简各数是解题关键．
考点4、实数的估算
例1．（2022·内蒙古·七年级期末）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于12，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，差就是小数部分．根据以上的内容，解答下面的问题：（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若设（2）整数部分是x，小数部分是y，分别求出x与y的值．
【答案】（1）2，；（2）x＝3，y=
【分析】（1）仿照例子找出在哪两个整数之间即可得解；
（2）仿照例子找出整数部分和小数部分后即可得出x与y的值
【详解】（1）解：∵，∴的整数部分为2，小数部分为；
（2）解：∵ ∴ 由题意得x＝3，y3．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟悉无理数的大小估算是解题的关键．
变式1．（2022·山西朔州·七年级期中）估计与最接近的整数是（ ）
A．4 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】根据无理数的估算即可求得．
【详解】解：，，
又，，与最接近的整数是6，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握和运用无理数估算的方法是解决本题的关键．
变式2．（2022·江苏泰州·中考真题）下列判断正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据即可求解．
【详解】解：由题意可知：，故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估值，属于基础题．
变式3．（2022·江苏宿迁·中考真题）满足的最大整数是_______．
【答案】3
【分析】先判断从而可得答案．
【详解】解：
满足的最大整数是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
考点5、实数与数轴
例1．（2022·贵州·统考二模）如图，在数轴上，对应的点在（　　）
A．点B与点C之间 B．点C与点D之间 C．点D与点E之间 D．点E与点F之间
【答案】C
【分析】先估算的大小，进而根据数轴即可求解．
【详解】解：∵
∴对应的点在1与2之间，即点D与点E之间，故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，正确的估算的大小是解题的关键．
变式1．（2022·福建厦门·校考一模）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（ ）
A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间
【答案】D
【分析】先估算出的值，再确定出其位置即可．
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，即，∴表示数的点应在O，B之间．故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出的值是解答此题的关键．
变式2．（2022 喀什市七年级模拟）如图，数轴上的A、B两点分别表示的数是：－1和，点O为原点，AB＝AC，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出点AB的长，再设C点表示的数为x，进而根据AB=AC列出关系式求解即可．
【解析】解：∵数轴上的A、B两点分别表示的数是：-1和，∴AB=+1，
设点C表示的数为x，∵AB=AC，∴-1-x=+1，∴x=-2-，
∴点C所表示的数为-2-，故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
考点6、 实数的大小比较
例1.（2022·安徽芜湖·八年级期末）比较大小：________．（填“＞”或“＜”）
【答案】
【分析】根据无理数的估算可得，由此即可得．
【详解】解：，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题关键．
变式1．（2021·海南三亚·统考一模）比较大小：___________（填“>”“<” 或“=”）．
【答案】<
【分析】直接根据平方法比较即可．
【详解】解：∵，∴，故答案为：<．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，利用平方法比较大小是解题的关键．
变式2．（2022·四川乐山·八年级期末）请将、2、这三个数用“<”连接起来________．
【答案】
【分析】首先将改写成，将2改写成，然后比较大小即可．
【详解】∵，，
∵，∴，即．故答案为：．
【点睛】此题考查了比较实数的大小，解题的关键是熟练掌握比较实数的大小的方法．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·河南洛阳·八年级统考期中）有下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数 B．数轴上的点和有理数一一对应
C．无限循环小数都是无理数 D．两个无理数和还是无理数
【答案】A
【分析】利用无理数与有理数的定义判断即可．
【详解】解：A、无理数都是无限不循环小数，是真命题，符合题意；
B、数轴上的点和实数一一对应，是假命题，不符合题意；
C、无限不循环小数都是无理数，是假命题，不符合题意；
D、两个无理数和不一定是无理数，是假命题，不符合题意；故选：A．
【点睛】此题考查命题与定理，实数的运算，有理数与无理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（2022·湖北孝感·七年级期中）在，，，是圆周率），，，中，负有理数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据有理数的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，，，，，
∴ ，， ，是负有理数，故选：B．
【点睛】本题考查负有理数，解题关键是正确理解有理数的定义，属于基础题型．
3．（2022 珠海七年级期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据无理数、分数的概念判断．
【解析】解：无限不循环小数是无理数，错误．是有理数，错误．
是有理数，错误．也是无理数，不含根号，错误．
是一个无理数，不是分数，错误．故选：．
【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．
4．（2022·福建漳州市·八年级期中）下面与互为相反数的是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】根据相反数的定义即可得出答案；
【详解】解：与互为相反数的是；故选：B
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
5．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【分析】先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可．
【详解】解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间，
A.，故本选项不符合题意；B. ，故此选项符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；D. ，故本选项不符合题意；故选：B
【点睛】本题主要考查实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解答本题的关键．
6．（2022·辽宁营口·统考中考真题）在，0，，2这四个实数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵2＞＞0＞-1，
∴在，0，-1，2这四个实数中，最大的数是2．故选：C．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
7．（2022 巴彦淖尔七年级期末）不是（ ）．
A．分数 B．小数 C．无理数 D．实数
【答案】A
【分析】利用分数、小数、无理数、实数的定义依次判断即可．
【解析】解：是小数、无理数和实数，但不是分数，故选：A．
【点睛】本题考查实数的分类．注意分数是有理数．
8．（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）有一个数值转换器，原理如下，当输入时，输出的是（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数为的算术平方根；无理数的定义：即无限不循环小数；据此解答即可．
【详解】解：根据题意：，，为无理数，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义以及无理数的定理，熟记相关定义是解本题的关键．
9．（2022 迁西县九年级模拟）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【分析】先估算出的值，再估算出的值在1和2之间．
【解析】解：∵，∴，∴，故选B．
【点睛】此题考查了无理数的大小，估算出的值是解题的关键．
10．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可．
【详解】解：，，，，，…可写出：
，，，，，…，∴第10个数为，故选：D．
【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·四川绵阳·中考真题）的绝对值是 .
【答案】
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：的绝对值是．故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
12．（2022·湖南永州·中考真题）请写出一个比大且比10小的无理数：______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据实数的大小比较即可求出答案．
【详解】解：∵5＜7＜100，∴<<10
∴比大且比10小的无理数为，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是熟练运用实数比较大小的法则，本题属于基础题型．
13．（2021·河南·统考模拟预测）比较大小：___________1（填“>”、“<”或“=”）
【答案】
【分析】先求出，然后利用作差法求解即可．
【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知作差法比较大小的方法是解题的关键．
14．（2022 浦东新区七年级月考）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、1、2、3，则表示数的点P应落在线段_________上．（从“”，“”，“”，“”中选择）
【答案】
【分析】用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
【解析】解：∵，∴，∴，
故表示数的点P应落在线段上．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小估算及应用，正确掌握估算及应用是解此题关键．
15．（2022 湖北七年级期末）把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_______．
【答案】
【分析】根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案．
【解析】解：，，即，，，
则在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是，故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
16.（2022·河南·七年级期末）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为________．
【答案】1
【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论．
【详解】解：拼剪后的正方形的面积，∴，
∵，即∴，
∴的整数部分是1，故答案为：1．
【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为______．
【答案】
【分析】先据算出的大小，然后求得的范围，从而可求得的值．
【详解】解：∵，∴．∴．∴．
故的值为．故答案为：．
【点睛】考查了无理数大小的估算，估算出的范围是解题的关键，对算术平方根的估算常用方法是最与它相邻的两个完全平方数分别是几的平方．
18．（2022·河南·潢川县七年级期中）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m排，从左到右第n个数，如表示实数，则这些实数中从小到大第十个有理数对应的有序数对是_________．
【答案】（14，9）
【分析】据题意可知第十个有理数为10，即，根据第排有个数，找到第100个数即可求解．
【详解】解：依题意第排有个数，第十个有理数为10，即，
则前排共有个数; 当时，前14排共有个数
第100个数位于第14排第9个，即（14，9）.故答案为：（14，9）
【点睛】本题考查了数字的变化规律. 解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，利用规律解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 海曙区七年级期中）把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
【答案】(1)－，，0， (2)，π，，，，0.3737737773 (3)－，，
【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．
【解析】(1)有理数集合：{－，,0，…}
(2)无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……}
(3)负实数集合：{－，，…}
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.
20.（2022春 赣州期末）把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：
3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，，8.7，2002，，0，﹣4.2，3.1415，﹣1000，1.21121112…
【分析】根据有理数、无理数、非正数、非负整数的意义选出即可．
【解答】解：
．
21．（2022 玉田县二模）如图：
(1)已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；
(2)O为原点，求出O、A两点间的距离．(3)求出A、B两点间的距离．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）估算出-和的值，在数轴上标出即可；
（2）用表示点O的数减去表示点A的数即为两点之间的距离；
（3）用表示点B的数减去表示点A的数即为A、B间的距离．
【解析】(1)解：∵2.25<3<4，1<2<2.25，∴-2<-<-1.5，1<<1.5，
-和数轴上的位置如图所示，
；
(2)解：∵表示点A的数为﹣，表示点O的数为0，
∴OA=0﹣（﹣）=；
(3)解：∵表示点A的数为﹣，表示点B的数为，
∴AB=﹣（﹣）=+．
【点睛】本题考查实数与数轴以及两点间的距离，在数轴上准确表示出点A、B的位置是解题的关键．
22．（2022 汉阴县七年级月考）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x为256时，输出的y值是　 　．
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由．
（3）若输出的y值是，请写出两个满足要求的x值：　 　．
【思路点拨】（1）按照数值转换器计算即可得答案；
（2）一个有理数，若算术平方根等于本身（有理数），则始终输不出y值；
（3）根据即可写出符合条件的两个数．
【答案】解：（1）当输入的x为256时，第一次求算术平方根得＝16，是有理数，
第二次求算术平方根得＝4，是有理数，第三次求算术平方根得＝2，是有理数，
第四次求算术平方根得，是无理数，∴输出y＝；故答案为：；
（2）一个有理数，若算术平方根等于本身，则求算术平方根的结果总是有理数，始终输不出y值，
而算术平方根等于本身得数是1和0，∴输入有效的x值后，始终输不出y值，则x＝1或0；
（3）∵3的算术平方根是，且是无理数，
∴输入的数是3的正整数次幂，比如3或9等，故答案为：3或9
【点睛】本题考查算术平方根的概念及计算，解题的关键是读懂题意，理解算术平方根的概念．
23．如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．(1)求m的值；(2)求|m﹣1|+1的值．
【答案】(1)m＝ (2)
【分析】（1）根据题意，结合数轴性质，直接求解即可；
（2）根据去绝对值的运算法则，去掉绝对值即可得出结论．
【解析】(1)解：∵点A表示，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数为，即：m＝；
（2）∵m＝，，
∴原式＝＝＝＝．
【点睛】本题考查数轴上点的坐标表示以及去绝对值运算，熟练掌握数轴的性质以及去绝对值运算是解决问题的关键．
24．（2022 海曙区七年级期中）阅读下面的两则材料，解答问题
材料1：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分
材料2：因为，所以式子①和式子②均成立．
请解答下列问题：(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
【答案】(1)5； (2)
【分析】（1）估算无理数的大小，即可确定的整数部分和小数部分；
（2）估算无理数5+和5-的大小，进而确定a、b的值，再代入计算即可．
【解析】(1)∵，∴5＜＜6，
∴的整数部分为5，小数部分为-5，故答案为：5， -5；
(2)∵2＜＜3，∴7＜5+＜8，∴5+的小数部分a=5+-7=-2，
∵2＜＜3，∴-3＜-＜-2，∴2＜5-＜3，
∴5-的整数部分为b=2，∴
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提，确定a、b的值是求代数式值的关键．
25．（2022 浙江七年级期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=_______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值_____________．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
【答案】(1)2；5(2)1，2，3(3)3次，过程见解析(4)255
【分析】（1）根据题意得，，，则，即可得；
（2）根据，，即可得；
（3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得．
【解析】(1)解：∵，，，∴，
∴，，故答案为：2，5．
(2)解：∵，，，∴或或，故答案为：1，2，3．
(3)解：第一次：，第二次：，第三次：，∴第3次之后结果为1．
(4)最大的是255，理由如下，
解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∵，，∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算
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专题3.2 实数
模块1：学习目标
1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类；
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
3、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
4、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
模块2：知识梳理
1、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类；.②带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.；③看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
2、实数：有理数和无理数统称为实数.
1）实数的分类
实数 实数
2）实数与数轴上的点的关系
每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。
3）实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。
（1）与互为相反数，且互为相反数的两个数的绝对值相等。
（2）与互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。
（3）绝对值的非负性：
4）两个实数比较大小
①负数小于0，0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。②数轴上，如果点A，点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离。
5）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
模块3：核心考点与典例
考点1：无理数的相关概念与识别
例1．（2022 杭州七年级期中）在0.618，0，，，，3.14，，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（2022·黑龙江甘南初二期末）下列说法中正确的是（ ）
A．无限小数是无理数 B．用根号形式表示的数是无理数
C．无理数是无限小数 D．无理数是开方开不尽的数
变式2．（2022·湖北七年级期末）有下列各数：﹣，，0.02002000200002…（相邻两个2之间0的个数依次多1），﹣8，3，，．其中，无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点2、实数的概念理解及实数的分类
例1．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列说法中错误的是（　　）
A．有理数和无理数统称为实数 B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．平方根是其本身的数只有0 D．负数没有立方根
例2．（2022·山东德州·七年级期中）把下列各数填入相应的集合内．
，，3.1，，0.8080080008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1），，，，，，，．
整数集合{ ，…}；
正数集合{ ，…}；
有理数集合{ ，…}；
无理数集合{ ，…}．
变式1．（2022春·重庆·八年级校考阶段练习）下列语句中，正确的是（　　）
A．无限小数都是无理数 B．实数与数轴上的点是一一对应的
C．无理数分为正无理数、0和负无理数 D．无理数的平方一定是无理数
变式2.（2022·河北石家庄·八年级期末）把下列各数写人相应的集合内：．
(1)有理数集合：{ …}
(2)正实数集合：{ …}
(3)无理数集合：{ …}
(4)负实数集合：{ …}
考点3、实数的性质
例1．（2022·辽宁八年级期中）的倒数是 ____，3﹣的绝对值是 ______．
变式1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）的相反数是___，﹣π的绝对值是___，＝___．
变式3．（2022 海伦市七年级期末）﹣的相反数是 　　；|1﹣|＝　 　．
考点4、实数的估算
例1．（2022·内蒙古·七年级期末）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于12，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，差就是小数部分．根据以上的内容，解答下面的问题：（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若设（2）整数部分是x，小数部分是y，分别求出x与y的值．
变式1．（2022·山西朔州·七年级期中）估计与最接近的整数是（ ）
A．4 B．7 C．6 D．5
变式2．（2022·江苏泰州·中考真题）下列判断正确的是( )
A． B． C． D．
变式3．（2022·江苏宿迁·中考真题）满足的最大整数是_______．
考点5、实数与数轴
例1．（2022·贵州·统考二模）如图，在数轴上，对应的点在（　　）
A．点B与点C之间 B．点C与点D之间 C．点D与点E之间 D．点E与点F之间
变式1．（2022·福建厦门·校考一模）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（ ）
A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间
变式2．（2022 喀什市七年级模拟）如图，数轴上的A、B两点分别表示的数是：－1和，点O为原点，AB＝AC，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
考点6、 实数的大小比较
例1.（2022·安徽芜湖·八年级期末）比较大小：________．（填“＞”或“＜”）
变式1．（2021·海南三亚·统考一模）比较大小：___________（填“>”“<” 或“=”）．
变式2．（2022·四川乐山·八年级期末）请将、2、这三个数用“<”连接起来________．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·河南洛阳·八年级统考期中）有下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数 B．数轴上的点和有理数一一对应
C．无限循环小数都是无理数 D．两个无理数和还是无理数
2．（2022·湖北孝感·七年级期中）在，，，是圆周率），，，中，负有理数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2022 珠海七年级期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2022·福建漳州市·八年级期中）下面与互为相反数的是（ ）
A． B． C．5 D．
5．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
6．（2022·辽宁营口·统考中考真题）在，0，，2这四个实数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C．2 D．
7．（2022 巴彦淖尔七年级期末）不是（ ）．
A．分数 B．小数 C．无理数 D．实数
8．（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）有一个数值转换器，原理如下，当输入时，输出的是（ ）
A．9 B．3 C． D．
9．（2022 迁西县九年级模拟）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
10．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·四川绵阳·中考真题）的绝对值是 .
12．（2022·湖南永州·中考真题）请写出一个比大且比10小的无理数：______．
13．（2021·河南·统考模拟预测）比较大小：___________1（填“>”、“<”或“=”）
14．（2022 浦东新区七年级月考）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、1、2、3，则表示数的点P应落在线段_________上．（从“”，“”，“”，“”中选择）
15．（2022 湖北七年级期末）把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_______．
16.（2022·河南·七年级期末）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为________．
17．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为______．
18．（2022·河南·潢川县七年级期中）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m排，从左到右第n个数，如表示实数，则这些实数中从小到大第十个有理数对应的有序数对是_________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 海曙区七年级期中）把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
20.（2022春 赣州期末）把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：
3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，，8.7，2002，，0，﹣4.2，3.1415，﹣1000，1.21121112…
21．（2022 玉田县二模）如图：
(1)已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；
(2)O为原点，求出O、A两点间的距离．(3)求出A、B两点间的距离．
22．（2022 汉阴县七年级月考）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x为256时，输出的y值是　 　．
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由．
（3）若输出的y值是，请写出两个满足要求的x值：　 　．
23．如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．(1)求m的值；(2)求|m﹣1|+1的值．
24．（2022 海曙区七年级期中）阅读下面的两则材料，解答问题
材料1：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分
材料2：因为，所以式子①和式子②均成立．
请解答下列问题：(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
25．（2022 浙江七年级期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=_______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值_____________．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
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