资源简介

19.8 直角三角形的性质
学习目标：
1、掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用.
2、继续学习几何证明的分析方法。
学习难点
1.掌握直角三角形边、角的性质.
2.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“含30 °的直角三角形”的性质.
3.会运用直角三角形的性质解决有关问题.
学习过程
一、情境导入，初步认识
复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？
二、思考探究，获取新知
除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？
1.实验操作：准备一张直角三角形的纸片.
（1）量一量边斜边的长度；（2）找到斜边的中点，画出斜边上的中线；（3）量一量斜边上的中线的长度。请猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.
2.提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。
3.证明命题：你能否用演绎推理证明这一猜想？
已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.
求证：CD=AB.
思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线.
三、例题讲解：
例1、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,∠A=30°.求证：BC=AB
结论：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 .
例2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是对角线AC、BD的中点。求证：MN⊥BD。
达标检测
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为(　　)
A.15° B.25°
C.35° D.45°
2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点.若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且EC＝5，则AE的长为　　　.
4.如图，在△ABC中，若∠BAC＝120°，AB＝AC， AD⊥AC于点A，BD＝3，则BC＝______.
5.如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝，等腰Rt△ACD的斜边AD在AB边上，求BC的长.
6.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点(不与A、B重合)，DE⊥BC于点E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由.
参考答案
1.C　　2.D　　　3.10.　4.9
5.【解】如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E.
由△ACD是等腰直角三角形可得△AEC是等腰直角三角形.
设CE＝x，
则2x2＝()2，
∴ x＝1，
即CE＝1.
在Rt△CEB中，∠CEB＝90°，∠B＝30°，
∴ BC＝2CE＝2.
6.【解】△PAE为等边三角形.理由：
∵ 在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，
∴ PA＝PC＝CD，
∴ ∠ACD＝∠PAC，
∴ ∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD.
同理，在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，
∴ PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，
∴ ∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，
∴ △PAE是等边三角形.

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