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第二十一章 一元二次方程
知识与方法
1、定义
（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2、一元二次方程的解法
(1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。
3、一元二次方程与实际问题
解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
提升练习
一、选择题
1．一元二次方程的二次项系数是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一个根为2，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
3．“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知一元二次方程，下列配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．且
C．且 D．
7．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为1和-1，则的值为（　　）.
A．-1 B．1 C．2 D．-2
8．教育系统要组织一场足球赛，每两队之间进行两场比赛，计划踢90场比赛，则要邀请多少个足球队？（　　）
A．10场 B．9场 C．8场 D．7场
二、填空题
9．一元二次方程的根的判别式的值为　 　．
10．已知a、b是方程的根，则式子的值为　 　.
11．若m是方程的一个根，则的值为　 　.
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
13．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出　 　小分支.
三、解答题
14．解下列方程：
（1）.
（2）.
15．已知关于x的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根．
16．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数
17．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
18．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；
（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；
（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．C
5．B
6．B
7．A
8．A
9．9
10．
11．2026
12．k＜3且k≠2
13．9
14．（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，
15．证明：由题意可知．
∵，
∴方程总有两个实数根．
16．解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故答案为：6．
17．（1）解：根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）解：若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
18．（1）解：600-5×5
=600-25
=575（棵）
答：每棵橙子树的产量是575棵
（2）解：设应该多种x棵橙子树，依题意有
（100+x）（600-5x）=60375，
解得x1=5，x2=15（不合题意舍去）．
答：应该多种5棵橙子树
（3）解：设增种m棵树，果园橙子的总产量为（100+m）（600-5m）=-5（m-10）2+60500，
故当增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个

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