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山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（10套）-03解答题（提升题）①
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2023 黄岛区一模）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
2．（2023 青岛一模）（1）化简：；
（2）解不等式组：．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023 青岛一模）化简：M＝，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2023 青岛一模）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，连接BP，若△ABP的面积为△CBO面积的 ，求a的值．
5．（2023 青岛一模）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
（1）求k2的值及直线AB的解析式；
（2）根据函数图象，直接写出不等式y2＞y1的解集；
（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积最大时，请求出此时P点的坐标．
四．二次函数的应用（共3小题）
6．（2023 青岛一模）恩施州是祖国的后花园之一，旅游资源丰富．为适应市场需求，某星级大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
淡季 旺季
未入住房间数 10 0
日总收入（元） 12000 20000
7．（2023 青岛一模）某工厂计划投资生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润y1（万元）与投资量x（万元）成正比例关系，如图①所示：产品B的利润y2（万元）与投资量x（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．
（1）请直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式y1＝　 　，y2＝　 　；
（2）如果工厂以9万元资金投入生产A、B两种产品，要求A产品的投资金额不超过B的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）在（2）问的情况下，工厂要获得不低于18万的利润，工厂要如何投资？
8．（2023 市南区一模）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．
（总利润＝总销售额﹣总进价）
（1）直接写出t、p、q的值；
（2）分别求出y1，y2与x的关系式；
（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
五．正方形的判定（共1小题）
9．（2023 青岛一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）若AD＝CD，当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为正方形？请说明理由．
六．四边形综合题（共2小题）
10．（2023 市南区一模）在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．
探究一：如图1，在矩形ABCD中，AC2＝AB2+BC2，BD2＝AC2＝CD2+AD2，则AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？
证明：如图2，在 ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．
请你接着完成上面的证明过程．
结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，求该平行四边形的四条边长．
11．（2023 市南区一模）如图，在△ABC中，O是AB的中点，过A作BC的平行线，交CO延长线于D，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE和BF．
（1）求证：△OBC≌△OAD；
（2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答，（若多选，按第一个解答计分）
①当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是菱形？请加以证明；
②当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是矩形？请加以证明．
七．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2023 市南区一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．
（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若，则∠DBC的度数为 　 　°．
八．作图—复杂作图（共2小题）
13．（2023 黄岛区一模）已知：如图，在△ABC中，∠A为钝角．
求作：⊙P，使圆心P在△ABC的边AC上，且⊙P与AB、BC所在的直线都相切．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
14．（2023 青岛一模）如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．
九．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2023 市南区一模）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD为18°，小林在书桌上方的身长AB为52cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．
（参考数据：sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈）
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2023 青岛一模）某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4．求建筑物CD的高度．
（参考数据：，

一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
17．（2023 青岛一模）为认真做好新冠疫情防控，增强学生新冠疫情防控与传染病预防意识，培养学生的健康意识与公共卫生意识，青岛市某校数学兴趣小组的同学设计了“新冠疫情防控知识”问卷，并在本校随机抽取着千名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下统计图表：
“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表
组别 分数/分 频数
A 60＜x≤70 36
B 70＜x≤80 74
C 80＜x≤90 60
D 90＜x≤100 30
其中被抽取的学生的问卷测试成绩中，将B组分数按小到大整理后，B组后15个分数为：75，76，76，76，78，78，78，78，78，78，78，79，79，79，80，80．
依据以上统计信息解答下列问题：
（1）被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是：　 　．
（2）若将“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表设计成扇形统计图，则“D”组频数所占扇形圆心角为 　 　°．
（3）若全青岛市改年级共有50000名初中生，请你估计成绩超过80分的人数．
（4）为了增强大家对新冠疫情防控知识的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间的学习后，再次对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现A组的同学平均成绩提高15分，B组的同学平均成绩提高10分，C组的同学平均成绩提高5分，D组的同学平均成绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成绩提高的分数．
一十二．中位数（共1小题）
18．（2023 青岛一模）促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容，为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，据统计，所有学生一分钟的跳绳数不少于10次，现随机抽取了部分学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据成绩分布情况，将抽取的全部成绩分成A、B、C、D四组，并绘制了如图统计图表：
等级 次数 频数 平均数
A 100x＜120 4 110
B 120x＜140 12 130
C 140x＜160 14 150
D x＞160 m 190
请结合上述信息完成下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）上述样本数据的中位数落在 　 　组；
（3）请你估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是多少？
（4）若该校共有2000名学生，请你估计全校达不到A等级的有多少人？
山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（10套）-03解答题（提升题）①
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2023 黄岛区一模）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；
（2）﹣2＜x＜．
【解答】解：（1）原式＝÷[﹣+]
＝÷
＝
＝；
（2）由3（1﹣x）＜﹣2x+5，得：x＞﹣2，
由1﹣＞，得：x＜，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜．
2．（2023 青岛一模）（1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）x≥﹣1．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2），
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＞﹣7，
故原不等式组的解集是x≥﹣1．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023 青岛一模）化简：M＝，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．
【答案】x﹣2，x≠1且x≠0，0．
【解答】解：M＝
＝÷
＝÷
＝
＝x﹣2，
要使分式有意义，必须x﹣1≠0，x≠0，
即x≠1和0，
所以x的取值范围是x≠1且x≠0，
解不等式组得：﹣＜x＜4，
所以不等式组的整数解是0，1，2，3，
取x＝2，
当x＝2时，原式＝2﹣2＝0．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2023 青岛一模）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，连接BP，若△ABP的面积为△CBO面积的 ，求a的值．
【答案】（1）k的值为，m的值为6．
（2）a＝2或a＝﹣10．
【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，
得﹣4k+2＝0，
∴k＝，
∴一次函数解析式为y＝+2，
把A（2，n）代入y＝+2，得n＝3．
∴A（2，3）．
把A（2，3）代入y＝，得m＝2×3＝6．
∴k的值为，m的值为6．
（2）当x＝0时，y＝+2＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∵C（﹣4，0），
∴OC＝4，
∴S△CBO＝＝4，
∵△ABP的面积为△CBO面积的 ，
∴S△ABP＝3，
∵P（a，0）为x轴上的一动点，
∴PC＝|a+4|．
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴，
∴a+4＝6或a+4＝﹣6，
∴a＝2或a＝﹣10．
5．（2023 青岛一模）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
（1）求k2的值及直线AB的解析式；
（2）根据函数图象，直接写出不等式y2＞y1的解集；
（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积最大时，请求出此时P点的坐标．
【答案】（1）k2＝2，AB的解析式为y＝﹣x+3；
（2）0＜x＜1或x＞2；
（3）点P的坐标为（，）．
【解答】解：（1）∵点B（2，1）在双曲线上，
∴k2＝2×1＝2，
∴双曲线的解析式为y2＝，
∵A（1，m）在双曲线y2＝，
∴m＝2，
∴A（1，2）．
∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，则，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；
（2）根据函数图象得，不等式y2＞y1的解集为0＜x＜1或x＞2；
（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，
△PED的面积＝PD OD＝x（﹣x+3）＝﹣（x﹣）2+≥，
当x＝时，△PED的面积取得最大值，
此时点P的坐标为（，）．
四．二次函数的应用（共3小题）
6．（2023 青岛一模）恩施州是祖国的后花园之一，旅游资源丰富．为适应市场需求，某星级大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
淡季 旺季
未入住房间数 10 0
日总收入（元） 12000 20000
【答案】（1）该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为400元；
（2）该酒店将豪华间的价格上涨425元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入为27225元．
【解答】解：（1）设该酒店豪华间有a间，淡季每间价格为b元，则旺季每间价格为（1+）b元，
由题意可得：，
解得：，
∴（1+）b＝400，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为400元；
（2）设该酒店将豪华间的价格上涨到x元时，豪华间的日总收入为y元，
由题意可得y＝x（50﹣×1）＝﹣x2+66x＝﹣（x﹣825）2+27225，
∵﹣＜0，
当x＝825时，y最大为27225，
∴该酒店豪华间上涨的价格为825﹣400＝425（元）．
答：该酒店将豪华间的价格上涨425元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入为27225元．
7．（2023 青岛一模）某工厂计划投资生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润y1（万元）与投资量x（万元）成正比例关系，如图①所示：产品B的利润y2（万元）与投资量x（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．
（1）请直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式y1＝　2x　，y2＝　x2　；
（2）如果工厂以9万元资金投入生产A、B两种产品，要求A产品的投资金额不超过B的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）在（2）问的情况下，工厂要获得不低于18万的利润，工厂要如何投资？
【答案】（1）2x；x2；（2）投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元；（3）当投资A产品不少于3万元且不超过6万元时，工厂获得的利润不低于18万元．
【解答】解：（1）由题意设y1＝kx，
∵点P（2，4）在该函数的图象上，
∴4＝2k，
∴k＝2，
∴y1＝2x；
设y2＝ax2，
∵点Q（2，3），
∴3＝4a，
∴a＝，
∴y2＝x2．
故答案为：2x；x2；
（2）设投资A产品x万元，则投资B产品（9﹣x）万元，由题意得：
，
∴3≤x≤6，
∴该工厂能获得的利润为：
y1+y2＝2x+（9﹣x）2
＝x2﹣x+
＝+，
∴当x＝3时，y1+y2取得最大值，最大值是+＝33（万元）．
∴投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元；
（3）由（2）知，3≤x≤6，
y1+y2＝+≥18，
∴≥18﹣＝（）2，
∴≥，
∴x﹣≥或x﹣≤﹣，
∴x≥9或x≤，
∵3≤x≤6，
∴当投资A产品不少于3万元且不超过6万元时，工厂获得的利润不低于18万元．
8．（2023 市南区一模）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．
（总利润＝总销售额﹣总进价）
（1）直接写出t、p、q的值；
（2）分别求出y1，y2与x的关系式；
（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）t＝10，p＝2000，q＝3000；
（2）y1与x的关系式为y1＝﹣100x+3500；y2与x的关系式为y2＝﹣10x2+350x；
（3）当售价定为22.5元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是1562.5．
【解答】解：（1）∵当售价为15元时，销售量为200kg，
∴q＝200×15＝3000，
此时进价为10×200＝2000（元），
∴p＝2000；
当总进价为2500元时，y1＝y2，即利润为0，
此时进价＝售价，
∴t＝10；
（2）设y1＝kx+b，把（10，2500）和（15，2000）代入解析式：
，
解得，
∴y1＝﹣100x+3500；
设y2＝mx2+nx，把（10，2500）和（15，3000）代入解析式得：
，
解得，
∴y2＝﹣10x2+350x，
∴y1与x的关系式为y1＝﹣100x+3500；y2与x的关系式为y2＝﹣10x2+350x；
（3）该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，
w＝y2﹣y1＝﹣10x2+350x﹣（﹣100x+3500）＝﹣10x2+450x﹣3500＝﹣10（x﹣22.5）2+1562.5，
∵﹣10＜0，
∴当x＝22.5时，w有最大值，最大值1562.5，
∴当售价定为22.5元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是1562.5．
五．正方形的判定（共1小题）
9．（2023 青岛一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）若AD＝CD，当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为正方形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解答过程
（2）当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为正方形，理由见解答过程．
【解答】（1）证明：∵CF∥BD，
∴∠CFE＝∠OBE，
∵E是OC的中点，
∴CE＝OE，
在△FCE和△BOE中，
，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）解：当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为正方形，理由如下：
∵△FCE≌△BOE，
∴CF＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴CF＝OD，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD为平行四边形，
∵AD＝CD，OA＝OC，
∴OD⊥AC，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形OCFD为矩形．
∵∠ADC＝90°，
∴OC＝CD，
∴四边形OCFD为平行正方形．
六．四边形综合题（共2小题）
10．（2023 市南区一模）在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．
探究一：如图1，在矩形ABCD中，AC2＝AB2+BC2，BD2＝AC2＝CD2+AD2，则AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？
证明：如图2，在 ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．
请你接着完成上面的证明过程．
结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，求该平行四边形的四条边长．
【答案】探究二：证明见解析；
结论应用：4，6，4，6．
【解答】（1）探究二：证明：如图2，在 ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．
设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．
在Rt△ACM中，由勾股定理可得AC2＝AM2+CM2，
∴AC2＝y2+（b﹣x）2…①，
在Rt△BDN中，由勾股定理可得BD2＝DN2+BN2，
∴BD2＝y2+（b+x）2②，
①+②可得，
AC2+BD2＝y2+（b﹣x）2+y2+（b+x）2
＝2（y2+x2）+2b2
＝2a2+2b2，
∴AC2+BD2＝2AB2+2BC2；
结论应用：
解：设平行四边形ABCD的两边长为m，n，
∵平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，
∴，
解得或，
∴平行四边形的四条边长为4，6，4，6．
11．（2023 市南区一模）如图，在△ABC中，O是AB的中点，过A作BC的平行线，交CO延长线于D，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE和BF．
（1）求证：△OBC≌△OAD；
（2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答，（若多选，按第一个解答计分）
①当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是菱形？请加以证明；
②当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是矩形？请加以证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①当∠BAC＝90°，四边形AEBF是菱形．证明见解析；
②当AB＝AC时，四边形AEBF是矩形．
【解答】（1）证明：∵点O是AB的中点，
∴AO＝OB，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠OCB，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴△OBC≌△OAD（AAS）；
（2）解：①当∠BAC＝90°，四边形AEBF是菱形．
证明：∵△OBC≌△OAD，
∴BC＝AD，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴BE＝BC，AF＝AD，
∴BE＝AF，
∵BE∥AF，
∴四边形AEBF为平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E为BC的中点，
∴AE＝BE＝BC，
∴四边形AEBF是菱形；
②当AB＝AC时，四边形AEBF是矩形．
证明：∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵四边形AEBF为平行四边形，
∴四边形AEBF是矩形．
七．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2023 市南区一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．
（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若，则∠DBC的度数为 　30　°．
【答案】（1）EB是⊙O的切线，理由见解析；（2）30．
【解答】解：（1）EB是⊙O的切线，理由如下，
连接OB，
∵AC是圆的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠C+∠OBA＝90°，
∵∠EBA＝∠C，
∴∠EBA+∠OBA＝90°，
∴半径OB⊥BE，
∴EB是⊙O的切线；
（2）连接OD，
∵BD＝AC，
∴BD＝OD＝OB，
∴△OBD等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵D为的中点，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠DBC＝∠COD＝30°．
故答案为：30．
八．作图—复杂作图（共2小题）
13．（2023 黄岛区一模）已知：如图，在△ABC中，∠A为钝角．
求作：⊙P，使圆心P在△ABC的边AC上，且⊙P与AB、BC所在的直线都相切．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】作图见解析部分．
【解答】解：如图，⊙P即为所求．
14．（2023 青岛一模）如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．
【答案】作图见解析部分．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．
九．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2023 市南区一模）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD为18°，小林在书桌上方的身长AB为52cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．
（参考数据：sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈）
【答案】25cm．
【解答】解：过点D作DM⊥BG，垂足为M，延长MD交AF的延长线于点H．
∵AB⊥BG，DM⊥BG，AF∥BG，
∴四边形BMHA是矩形．
∴AB＝HM＝52cm，AH＝BM．
∵∠FAD+∠HDA＝90°，∠HDA+∠MDC＝90°，
∴∠FAD＝∠MDC＝18°．
在Rt△AHD中，
∵sin∠FAD＝，cos∠FAD＝，
∴HD＝sin∠FAD×AD＝sin18°×40≈×40＝12（cm），
AH＝cos∠FAD×AD＝cos18°×40≈×40＝38（cm）．
∴MD＝MH﹣DH＝52﹣12＝40（cm）．
在Rt△DMC中，
∵tan∠MDC＝，
∴CM＝tan∠MDC×DM＝tan18°×40≈×40＝13（cm）．
∴BC＝BM﹣CM＝AH﹣CM＝38﹣13＝25（cm）．
答：小林与书籍底端的水平距离BC为25cm．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2023 青岛一模）某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4．求建筑物CD的高度．
（参考数据：，

【答案】建筑物CD的高度为18m．
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，
设BE＝5xm，AE＝12xm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝＝13x（m），
∴13x＝26，
解得：x＝2（m），
∴AE＝12x＝24（m），
过点B作BF⊥CD于点F，
∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE＝10m，BF＝DE，
∵tan∠CBF＝，
∴BF＝≈＝CF＝DE，
∵tan∠CAD＝，
∴，
即 ＝，
解得：CF＝8，
∴CD＝DF+CF＝10+8＝18（m），
答：建筑物CD的高度为18m．
一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
17．（2023 青岛一模）为认真做好新冠疫情防控，增强学生新冠疫情防控与传染病预防意识，培养学生的健康意识与公共卫生意识，青岛市某校数学兴趣小组的同学设计了“新冠疫情防控知识”问卷，并在本校随机抽取着千名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下统计图表：
“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表
组别 分数/分 频数
A 60＜x≤70 36
B 70＜x≤80 74
C 80＜x≤90 60
D 90＜x≤100 30
其中被抽取的学生的问卷测试成绩中，将B组分数按小到大整理后，B组后15个分数为：75，76，76，76，78，78，78，78，78，78，78，79，79，79，80，80．
依据以上统计信息解答下列问题：
（1）被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是：　77　．
（2）若将“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表设计成扇形统计图，则“D”组频数所占扇形圆心角为 　54　°．
（3）若全青岛市改年级共有50000名初中生，请你估计成绩超过80分的人数．
（4）为了增强大家对新冠疫情防控知识的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间的学习后，再次对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现A组的同学平均成绩提高15分，B组的同学平均成绩提高10分，C组的同学平均成绩提高5分，D组的同学平均成绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成绩提高的分数．
【答案】（1）77；
（2）54；
（3）22500人；
（4）7.9分．
【解答】解：（1）∵抽取学生的总数为36+74+60+30＝200，
A组频数为36，将B组分数按小到大整理后，B组后15个分数为：75，76，76，76，76，78，78，78，78，78，79，79，79，80，80．
∴被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是＝77，
故答案为：77；
（2）“D”组频数所占扇形圆心角为：360°×＝54°；
故答案为：54；
（3）50000×＝22500（人），
答：估计成绩超过80分的人数为22500人；
（4）依题意得：＝7.9（分）．
答：估计学习后这些同学的平均成绩提高的分数为7.9分．
一十二．中位数（共1小题）
18．（2023 青岛一模）促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容，为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，据统计，所有学生一分钟的跳绳数不少于10次，现随机抽取了部分学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据成绩分布情况，将抽取的全部成绩分成A、B、C、D四组，并绘制了如图统计图表：
等级 次数 频数 平均数
A 100x＜120 4 110
B 120x＜140 12 130
C 140x＜160 14 150
D x＞160 m 190
请结合上述信息完成下列问题：
（1）m＝　10　，n＝　30%　；
（2）上述样本数据的中位数落在 　C　组；
（3）请你估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是多少？
（4）若该校共有2000名学生，请你估计全校达不到A等级的有多少人？
【答案】（1）10；30%；
（2）C；
（3）150次；
（4）1800人．
【解答】解：（1）调查总人数为：4÷10%＝40（人），
∴m＝40﹣4﹣12﹣14＝10（人），n＝1﹣10%﹣25%﹣35%＝30%，
故答案为：10；30%；
（2）由题意可知，样本数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）×（4×110+12×130+14×150+10×190）＝150（次），
答：估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是150次；
（4）2000×＝1800（人），
答：估计全校达不到A等级的大约有1800人．
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