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2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳
1.1菱形的性质与判定【过关练习】
学习目标
1.理解菱形的定义，探究归纳菱形的性质
2.掌握菱形的判定方法。
3.能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明
学习重点
理解菱形的定义，探究归纳菱形的性质，掌握菱形的判定方法。
一．选择题
1．两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为　　
A．2 B． C． D．
2．如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，，下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．四边形是菱形
3．如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是　　
A．2 B．3 C． D．
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为　　
A． B． C． D．
5．如图，已知某广场菱形花坛的周长是24米，，则花坛对角线的长等于　　米．
A． B． C． D．
6．如图，线段与分别为的中位线与中线．在下列条件中，不能够判定四边形为菱形的是　　
A． B． C． D．
7．下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是　　
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．有一个角是直角
8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是　　
A． B． C． D．
9．已知菱形的两条对角线长分别是7和8，则菱形的面积是　　
A．56 B．28 C．15 D．20
10．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接、．若，，则的长为　　
A． B． C． D．3
二．填空题
11．如图，四边形是菱形，，， 于点，是中点，连接，则的长为 　　．
12．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 　　．
13．如图，菱形中，，，点是的中点，点在上，若，则线段的长为 　　．
14．如图，在菱形中，，点在上，，则　　．
15．如图，在菱形中，，，点为线段上不与端点重合的一个动点．过点作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值等于 　　．
16．如图，菱形的对角线相交于点，于点，连接，，若，，则的长为 　　．
17．如图，是边长为1的等边三角形，，为线段上两动点，且，过点，分别作，的平行线相交于点，分别交，于点，．现有以下结论：①；②当点与点重合时，；③；④当时，四边形为菱形．则其中正确的结论的序号是 　　．
18．已知菱形的边长为8，其中一条对角线，则另一条对角线的长为 　　．
三．解答题
19．如图，的对角线，相交于点，且，，．
（1）求证：为菱形；
（2）过点作于点．求的长．
20．【问题原型】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．
【甲同学的证法】：
证明：是的垂直平分线，
，（第一步），（第二步）
四边形是平行四边形．（第三步）
（第四步）
平行四边形是菱形（第五步）
【老师评析】甲同学想先利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．
【挑错改错】：
（1）甲同学的证明过程在第 　　步出现了错误．
（2）请你根据甲同学的证题思路写出此题的正确解答过程．
21．如图，在中，是边上一点，，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形．
22．如图，在中，，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）连接，当线段与满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
23．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
24．如图，在中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，点为垂足，连接，．求证：四边形是菱形．
25．如图，在平行四边形中，点，分别为，边上的点，，．求证：平行四边形是菱形．
26．如图，在平行四边形中，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点，延长到点，在的内部作射线，使得，过点作于点．若，，求的度数及的长．
2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳
1.1菱形的性质与判定【过关练习】
学习目标
1.理解菱形的定义，探究归纳菱形的性质
2.掌握菱形的判定方法。
3.能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明
学习重点
理解菱形的定义，探究归纳菱形的性质，掌握菱形的判定方法。
一．选择题
1．两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【分析】设交于点，交于点，先证明，则，由，得，则，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：设交于点，交于点，
矩形与矩形全等，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
，
，且，
，
解得，
，
故选：．
2．如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，，下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．四边形是菱形
【答案】
【分析】由于，，，点不是定点，故可判断；由于，，，点不一定是四边中点，可得出不一定等于，故可判断；，不一定是，边中点，故可得不一定等于，故可判断；连接，先根据证明，再根据可判断．
【解答】解：，，，点不是定点，
不一定等于，故选项说法错误；
，，，点不一定是四边中点，
不一定等于，故选项说法错误；
，不一定是，边中点，故可得不一定等于，故选项说法错误；
连接，则，必过，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
同理，
又，
四边形是菱形，故正确，
故选：．
3．如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是　　
A．2 B．3 C． D．
【答案】
【分析】连接，作于点，可证明和都是等边三角形，则，，，根据勾股定理得，则的最小值是，再证明，得，，可推导出，则是等边三角形，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接，作于点，则，
四边形是菱形，，，
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
的最小值是，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
的最小值为，
故选：．
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】如图1，图2中，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可．
【解答】解：如图1，图2中，连接．
图1中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图2中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故选：．
5．如图，已知某广场菱形花坛的周长是24米，，则花坛对角线的长等于　　米．
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由四边形是菱形，，得于点，，，则，，所以是等边三角形，因为菱形的周长是24米，所以米，则米，米，由勾股定理求得米，则米，于是得到问题的答案．
【解答】解：四边形是菱形，它的两条对角线交于点，，
，于点，，，
，，
是等边三角形，
菱形的周长是24米，
（米，
米，
（米，
（米，
（米，
花坛对角线的长等于米，
故选：．
6．如图，线段与分别为的中位线与中线．在下列条件中，不能够判定四边形为菱形的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，由此即可判断．
【解答】解：与分别为的中位线与中线，
、、分别是、、的中点，
，是的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
、，由、分别是、的中点，得到，因此四边形是菱形，故不符合题意；
、，由是的中位线，得到，推出，因此四边形是菱形，故不符合题意；
、，由，得到，推出，得到，因此四边形是菱形，故不符合题意；
、，得不到四边形是菱形，故符合题意．
故选：．
7．下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是　　
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．有一个角是直角
【答案】
【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法正确，符合题意；
、对角线互相相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法错误，不符合题意；
、有一个角是直角的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
故选：．
8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据菱形的判定和矩形的判定对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
故选：．
9．已知菱形的两条对角线长分别是7和8，则菱形的面积是　　
A．56 B．28 C．15 D．20
【答案】
【分析】由菱形的面积等于两对角线长乘积的一半，即可计算．
【解答】解：菱形的两条对角线长分别是7和8，
菱形的面积．
故选：．
10．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接、．若，，则的长为　　
A． B． C． D．3
【答案】
【分析】根据菱形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出和即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，
点、分别是、的中点，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
故选：．
二．填空题
11．如图，四边形是菱形，，， 于点，是中点，连接，则的长为 　　．
【答案】．
【分析】连接，由菱形的性质及，，得，，，则，所以，而，则，因为是中点，所以，则，由，求得，，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接，
四边形是菱形，，，
，，，
，
，
于点，
，
，
是中点，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 　2　．
【答案】2．
【分析】连接，证四边形是菱形，得，再证是等边三角形，得，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接，
将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，
，四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
即，两点间的距离为2，
故答案为：2．
13．如图，菱形中，，，点是的中点，点在上，若，则线段的长为 　　．
【答案】．
【分析】连接交于点，连接，由菱形的性质得，，，，因为，所以，则是等边三角形，所以，，则，根据三角形的中位线定理得，，则，可求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接交于点，连接，
四边形是菱形，，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，在菱形中，，点在上，，则　　．
【答案】．
【分析】由菱形的性质可得，，，求出，，可得结论．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．如图，在菱形中，，，点为线段上不与端点重合的一个动点．过点作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值等于 　7.8　．
【答案】7.8．
【分析】连接交于点，连接，由菱形的性质和勾股定理得，再由三角形面积求出，即的值为定值4.8，然后得出当时，的最小值，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接交于点，连接，
四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，，，
，
，
解得：，
即的值为定值4.8，
当最小时，有最小值，
当时，的最小值，
的最小值，
故答案为：7.8．
16．如图，菱形的对角线相交于点，于点，连接，，若，，则的长为 　　．
【答案】．
【分析】依据菱形的性质以及勾股定理，即可得到和的长；再根据菱形的面积，即可得到的长；再根据勾股定理进行计算，即可得到的长．
【解答】解：菱形的对角线相交于点，
是的中点，，
又于点，
中，，
，
中，，
，
，
，
中，，
故答案为：．
17．如图，是边长为1的等边三角形，，为线段上两动点，且，过点，分别作，的平行线相交于点，分别交，于点，．现有以下结论：①；②当点与点重合时，；③；④当时，四边形为菱形．则其中正确的结论的序号是 　①②④　．
【答案】①②④．
【分析】①利用三角形的面积公式计算即可；
②依题意画出图形，利用等边三角形和平行线的性质求出即可；
③将绕点逆时针旋转，得到，由“”可证，可得，在中，利用勾股定理可得，，的关系，可判断③；
④先证，都是等边三角形，可得，利用菱形的判定定理判定即可．
【解答】解：①过点作于点，如图
是边长为1的等边三角形，，
，
，
．故①正确；
②当点与点重合时，，，三点重合，如图
，，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
即．故②正确；
③如图3，将绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于，
，，，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，，
，
，
，故③错误；
是等边三角形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，都是等边三角形，
，，
，
，
，
是菱形，故④正确，
故答案为：①②④．
18．已知菱形的边长为8，其中一条对角线，则另一条对角线的长为 　　．
【答案】．
【分析】由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，即可得到．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题
19．如图，的对角线，相交于点，且，，．
（1）求证：为菱形；
（2）过点作于点．求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，则，再由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，再由菱形面积求出，然后由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，，
，
为菱形；
（2）解：由（1）可知，为菱形，
，，，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：．
20．【问题原型】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．
【甲同学的证法】：
证明：是的垂直平分线，
，（第一步），（第二步）
四边形是平行四边形．（第三步）
（第四步）
平行四边形是菱形（第五步）
【老师评析】甲同学想先利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．
【挑错改错】：
（1）甲同学的证明过程在第 　二　步出现了错误．
（2）请你根据甲同学的证题思路写出此题的正确解答过程．
【答案】（1）二；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由是对角线的垂直平分线得，，即可得出结论；
（2）证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）解：甲同学的证明过程在第二步出现了错误，
故答案为：二；
（2）证明：四边形是平行四边形，
．
，
是的垂直平分线，
，，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
．
平行四边形是菱形．
21．如图，在中，是边上一点，，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析．
【分析】先证四边形是平行四边形，再证，则，即可得出结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
22．如图，在中，，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）连接，当线段与满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（3）当时，四边形是菱形，理由见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接，交于，根据线段中点的定义得到，，根据平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：在中，
，，，
又，分别是，的中点，
，
在与中，
，
；
（2）解：当时，四边形是菱形，
理由：连接，交于，
，分别是，的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
．，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形．
23．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
24．如图，在中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，点为垂足，连接，．求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析．
【分析】由线段垂直平分线的性质得，，再证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
．，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
25．如图，在平行四边形中，点，分别为，边上的点，，．求证：平行四边形是菱形．
【答案】证明见解析．
【分析】证，得，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：在和中，
，
，
，
平行四边形是菱形．
26．如图，在平行四边形中，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点，延长到点，在的内部作射线，使得，过点作于点．若，，求的度数及的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得，则，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，，再证，然后由角平分线的性质得，即可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
，，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
．

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