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2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳
1.3正方形的性质与判定【过关练习】
学习目标
1、掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算
2、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
学习重点
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系
一．选择题
1．如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
．两组对边分别相等
．一组对边平行且相等
．一组邻边相等
．一个角是直角
顺次添加的条件：
①
②
③，
则正确的添加顺序是　　
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
2．如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，平分，下列结论：①，②平分，③，④，正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　　
A．2 B． C．3 D．4
4．如图所示，按以下操作方式：1．以线段为边作正方形．2．取的中点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点．再以点为圆心为半径画弧，交边于点．则线段的值为　　
A． B． C． D．
5．小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：
①；
②；
③；
④中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形．
现有下列四种选法你认为错误的是　　
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．如图，在正方形，平分，于点，若，则的长为　　
A．2 B． C． D．1
7．依据图所标数据，则四边形一定是　　
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．四个角均不为的平行四边形
8．已知正方形中，，则的长为　　
A． B． C． D．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点为对角线的中点，过点，分别交，于点，，若，，连，则的值为　　
A． B． C． D．
10．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为　　
A． B． C． D．
二．填空题
11．如图，正方形的边长为6，点在对角线上，连接，过点作，交于点，若，则四边形的面积为 　　．
12．已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线相交于点P（2，0），且正方形顶点D的坐标为（3，1），那么正方形顶点B的坐标为 　 　．
13．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有：　　（请填上序号）．
14．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连接．若，，则的长为 　　．
15．如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则　　．
16．如图：正方形中，是对角线上的一点，若，则的度数是　 　．
17．如图正方形的边长是8，点是边的中点，连接，点是线段上不与点、重合的一个动点，连接，点是线段的中点，则线段的最小值为 　　．
18．已知：正方形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，交于点，，则　　．
三．解答题
19．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若正方形边长是5，，求的长．
20．在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，．
（1）当，若正方形在轴右侧，直接写出点，点的坐标；
（2）若点在正方形的内部（不含边界），求的取值范围．
21．（1）对于试题“如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系”，数学王老师给出了如下的思路：
延长到，使得，连接，，利用三角形全等的判定及性质解答，
请根据数学王老师的思路探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
22．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF为等腰三角形；
（2）若CE＝BE时，求线段CF的长．
23．已知：正方形中，点，分别在边，上．
（1）如图1，，垂足为点，求证：；
（2）如图2，点，分别在边，上，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
24．如图，正方形的顶点在直线上，分别过点，作直线的垂线，点，为垂足，连接．
（1）请找出一对全等的三角形，并说明理由；
（2）若，，求的面积．
25．如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，连接与边相交于点，连接、，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求大小；
（3）若，求的面积．
26．如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若恰为的中点，连接，求点到的距离．
2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳
1.3正方形的性质与判定【过关练习】
学习目标
1、掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算
2、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
学习重点
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系
一．选择题
1．如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
．两组对边分别相等
．一组对边平行且相等
．一组邻边相等
．一个角是直角
顺次添加的条件：
①
②
③，
则正确的添加顺序是　　
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
【答案】
【分析】由平行四边形，菱形，正方形的判定，即可判断．
【解答】解：①，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意；
②．只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，不符合题意．
③，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，符合题意．
故选：．
2．如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，平分，下列结论：①，②平分，③，④，正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】由“”可证，可得，，可得，故④正确，由等腰三角形的性质可得，平分，故①②正确，由可得，则，与互相矛盾；故③错误；即可求解．
【解答】解：如图，延长交的延长线于点，
四边形是正方形，
．
．
平分，
．
．
．
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，故④正确，
，，
，平分，故①②正确，
若，则，
，
，，
，
，与互相矛盾；故③错误．
故选：．
3．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　　
A．2 B． C．3 D．4
【答案】
【分析】过点作于点，由正方形的性质结合角平分线的性质可得，，结合可求解．
【解答】解：过点作于点，
四边形为正方形，
平分，
，
，
，，
，
，
，
即点到直线的距离为3，
故选：．
4．如图所示，按以下操作方式：1．以线段为边作正方形．2．取的中点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点．再以点为圆心为半径画弧，交边于点．则线段的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设，根据正方形的性质可得，由勾股定理得，根据圆的半径相等计算的长，从而得结论．
【解答】解：设，
是的中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
5．小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：
①；
②；
③；
④中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形．
现有下列四种选法你认为错误的是　　
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
【解答】解：．四边形是平行四边形，
当①时，平行四边形是菱形，
当②时，菱形是正方形，故此选项正确，不符合题意；
．四边形是平行四边形，
当①时，平行四边形是菱形，
当③时，菱形是正方形，故此选项正确，不符合题意；
．四边形是平行四边形，
当②时，平行四边形是矩形，
当③时，这是矩形的性质，无法得出四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；
．四边形是平行四边形，
当②时，平行四边形是矩形，
当④时，矩形是正方形，故此选项正确，不符合题意．
故选：．
6．如图，在正方形，平分，于点，若，则的长为　　
A．2 B． C． D．1
【答案】
【分析】根据正方形的性质、角平分线的性质及等腰直角三角形的三边比值为来解答即可．
【解答】解：四边形为正方形，
，，．
．
又平分，，
．
，，
为等腰直角三角形．
，
．
．
．
故选：．
7．依据图所标数据，则四边形一定是　　
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．四个角均不为的平行四边形
【答案】
【分析】设、交于点，由，，可证明四边形是平行四边形，由，得四边形是矩形，所以，可判断符合题意，不符合题意，假设四边形是正方形或菱形，则，显然与已知条件不符，可判断不符合题意，不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：设、交于点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，
故符合题意，不符合题意，
若四边形是正方形或菱形，则，显然与已知条件不符，
四边形不一定是正方形，也不一定是菱形，
故不符合题意，不符合题意，
故选：．
8．已知正方形中，，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】画出图形，运用勾股定理可直接求解．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
．
故选：．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点为对角线的中点，过点，分别交，于点，，若，，连，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】如图，连接，过作交于，证明，四边形是平行四边形，可得，，设，，，，，，，，由题意可设，由等面积法可得：，再利用面积公式可得答案．
【解答】解：如图，连接，过作交于，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，互相平分；
正方形，
，，
，，
在和中，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，设，
，，，，
，，
正方形，
，，
，
由题意可设，
由等面积法可得：
，
解得：，（负根舍去），
，
，
故选：．
10．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可．
【解答】解：
图1连接，
菱形中，，
，
是等边三角形，
对角线，
，
，
图3过点作，交的延长线于点，
是等边三角形，
，
，
，
的面积，
故选：．
二．填空题
11．如图，正方形的边长为6，点在对角线上，连接，过点作，交于点，若，则四边形的面积为 　16　．
【答案】16．
【分析】先证明四边形是正方形，由证明可得，四边形正方形’由可求得的长，从而可得正方形的边长．
【解答】解：分别过点作于，于，则
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
四边形的面积为16．
故答案为：16．
12．已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线相交于点P（2，0），且正方形顶点D的坐标为（3，1），那么正方形顶点B的坐标为 　（1，﹣1）　．
【答案】（1，﹣1）．
【分析】利用图形根据正方形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，∵正方形ABCD的对角线相交于点P（2，0），正方形顶点D的坐标为（3，1），
∴正方形顶点B的坐标为（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
13．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有：　①②③④　（请填上序号）．
【答案】①②③④．
【分析】求证即可推出①正确；求证，再根据即可推出②正确；利用和同底等高推出其面积相等，减去面积即可求证③正确；先证，再利用对顶角，即可证明④正确．
【解答】解：点是边的中点，
，
而，，
，
，
故①正确；
，，，
，
，
而，，
，
，
故②正确；
和同底等高，
，
而，
，
故③正确；
，
，
而，，
，
，
，
而，
，
故④正确，
故答案为：①②③④．
14．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连接．若，，则的长为 　　．
【答案】．
【分析】过点作于，过点作于，结合正方形的性质证明可得，，利用矩形的判定与性质可得，即可得关于的方程，计算可求解的值，再利用等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：过点作于，过点作于，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
解得，
，
．
故答案为：．
15．如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则　165　．
【答案】165．
【分析】首先根据正方形，等边三角形，等腰直角三角形的性质得，，，进而得，，，然后再根据三角形的外角和定理得，据此可求出的度数．
【解答】解：四边形为正方形，
，
为等边三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，，，
，，为的三个外角，
，
，
．
故答案为：165．
16．如图：正方形中，是对角线上的一点，若，则的度数是　　．
【分析】由正方形的性质得出，，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
；
故答案为：．
17．如图正方形的边长是8，点是边的中点，连接，点是线段上不与点、重合的一个动点，连接，点是线段的中点，则线段的最小值为 　　．
【答案】．
【分析】取中点和中点，则点的动轨迹是线段，确定出点和点重合时，线段值最小，据此解答即可．
【解答】解：取中点和中点，则点的动轨迹是线段，
当点和点重合时，线段值最小，
，
是直角的中线，
．
故答案为：．
18．已知：正方形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，交于点，，则　　．
【答案】．
【分析】作交于点．首先证明是等腰直角三角形，推出，求出即可解决问题．
【解答】解：如图，作交于点．
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题
19．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若正方形边长是5，，求的长．
【答案】．
【分析】（1）根据证明，可得结论；
（2）根据（1）得：，则，最后利用勾股定理可得的长．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）正方形边长是5，
，
，
，
，
，
．
20．在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，．
（1）当，若正方形在轴右侧，直接写出点，点的坐标；
（2）若点在正方形的内部（不含边界），求的取值范围．
【答案】（1），；
（2）当点，在右侧时，；当点，在左侧时，．
【分析】（1）根据题意可得顶点，的坐标，即可得到正方形的边长，即可解答．
（2）分两种情况：①当点，在右侧时，②当点，在左侧时，分别得到点，的坐标，列方程解答即可．
【解答】（1）当．正方形在轴右侧，
则，，
可知正方形的边长为：，
则，，
（2），因此只需考虑点横坐标的范围
①当点，在右侧时，，，
在正方形的内部（不含边界），
，
解得．
②当点，在左侧时，，，
在正方形的内部（不含边界），
，
解得．
21．（1）对于试题“如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系”，数学王老师给出了如下的思路：
延长到，使得，连接，，利用三角形全等的判定及性质解答，
请根据数学王老师的思路探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；
（2）成立，理由见解析．
【分析】（1）延长到，使得，连接，证明，得到，再证明，推出，即可得到结论；
（2）仍然成立，延长到，使得，连接，证明，得到，再证明，推出，即可得到结论．
【解答】解：（1），
理由：如图①，延长到，使得，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
；
（2）仍然成立，理由如下：如图②，延长到，使得，连接，
，，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
．
22．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF为等腰三角形；
（2）若CE＝BE时，求线段CF的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）CF＝3﹣3．
【分析】（1）根据正方形的性质及角平分线的定义推出AE＝FE，据此即可得解；
（2）根据AB＝6，CE＝BE，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到EA的长，结合（1）可以得到线段CF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵AG平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠F，
∴AE＝FE，
∴△AEF为等腰三角形；
（2）解：在正方形ABCD中，AB＝6，∠B＝90°，CE＝BE，
∴BE＝EC＝3，
∴EA＝＝＝3，
∵EA＝EF，
∴EF＝3，
∴CF＝EF﹣EC＝3﹣3．
23．已知：正方形中，点，分别在边，上．
（1）如图1，，垂足为点，求证：；
（2）如图2，点，分别在边，上，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2），理由见解答过程．
【分析】（1）首先证，然后依据“”判定和全等，进而可得出结论；
（2）过点作交于，过点作交于，先由，得四边形为平行四边形，进而得，同理：，然后利用（1）的结论得，据此可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：和的大小关系是：．
理由如下：
过点作交于，过点作交于，
四边形为正方形，
，即：，
又，
四边形为平行四边形，
，
同理：，
由（1）可知：，
．
24．如图，正方形的顶点在直线上，分别过点，作直线的垂线，点，为垂足，连接．
（1）请找出一对全等的三角形，并说明理由；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1），证明见解答过程；
（2）8．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1），证明如下：
四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）由（1）知，
，
设，则，
在中，，
即，
即，
解得：，（舍去），
．
25．如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，连接与边相交于点，连接、，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求大小；
（3）若，求的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）；
（3）9．
【分析】（1）利用正方形的性质证明，，即可证明结论；
（2）连接，通过证明可证得为等边三角形，进而可求解；
（3）利用等腰直角三角形的性质求得，即可得，利用勾股定理可求得，再根据平行四边形的面积可求解．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
，，
在与中，
，
，
；
又，
，
是等边三角形，
；
（3），，
，
，
，
，
，
，
化简得：，
，
26．如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若恰为的中点，连接，求点到的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题；
（2）只要证明，可得即可解决问题；
（3）求出的长，由正方形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，作于，于．
四边形是正方形，
，
于，于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形．
（2）解：四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，
．
（3）解：连接，
四边形是正方形，
，，
是中点，
，
，
点到的距离．

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