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课时分层作业(十五)　曲线运动　运动的合成与分解
?基础强化练?
1.在光滑水平桌面上，滑块以速度v0向右做匀速直线运动，从某时刻开始，在水平面内受到一个与速度v0方向垂直的恒力F作用，如图所示．此后滑块的运动轨迹可能是(　　)
A．直线OPB．曲线OQ
C．直线OMD．曲线ON
2.如图所示，一架执行救援任务的直升机用缆绳将被救人员竖直向上匀速拉起，同时直升机沿水平方向匀速飞行．若仅增大直升机水平匀速飞行的速度，以地面为参考系，则被救人员(　　)
A．上升时间变短B．上升时间变长
C．运动速度不变D．运动速度变大
3．[2023·山东潍坊检测]质点从P点到Q点做匀变速曲线运动，轨迹如图所示，运动到N点时速度方向与加速度方向互相垂直．下列说法正确的是(　　)
A．M点的速率比N点小
B．M点的加速度比N点小
C．P点的加速度方向与速度方向平行
D．从P到Q的过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小
4.
(多选)如图所示为中国无人机“翼龙”起飞时的照片，假设无人机即将起飞时水平分速度为40m/s，竖直分速度为0，无人机起飞后在竖直方向上做匀加速直线运动，在水平方向上做匀速直线运动，起飞后，当无人机运动的水平位移为160m时，其竖直位移也为160m，下列说法正确的是(　　)
A．无人机的运动轨迹为倾斜的直线
B．此过程无人机运动的时间为4s
C．无人机的加速度大小为20m/s2
D．此时无人机的竖直分速度大小为120m/s
5．端午赛龙舟是中华民族的传统．若某龙舟在比赛前划向比赛点的途中要渡过宽72m且两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为4m/s，河水的流速为3m/s，下列说法正确的是(　　)
A．该龙舟以最短时间渡河通过的位移为96m
B．该龙舟在河中的最大速率约为8m/s
C．该龙舟渡河的最短时间为18s
D．该龙舟不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸
6.
[2023·重庆调研]在光滑的水平面上，一质量为m＝2kg的滑块在水平方向恒力F＝4N的作用下运动．如图所示给出了滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5m/s，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角α＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角
B．滑块从P点运动到Q点的时间为3s
C．滑块从P点运动到Q点的过程中速度最小值为3m/s
D．P、Q两点连线的距离为10m
7.
(多选)在消防抢险的行动中，消防队员常常借助云梯进行救人或灭火作业．如图所示，在训练中，为了节省时间，在消防车以0.2m/s2的加速度水平向左做初速度为零的匀加速直线运动的同时，一质量为60kg的消防队员相对竖直固定在车上长为20m的梯子以1m/s的速度匀速上爬．若以地面为参考系，取g＝10m/s2，则消防队员(　　)
A．做匀速运动
B．运动轨迹为抛物线
C．从开始到爬到梯顶的过程中平均速度大小为m/s
D．从开始到爬到梯顶的过程中受到的合外力冲量大小为1.2×104N·s
?能力提升练?
8．(多选)如图为玻璃自动切割生产线示意图．玻璃以恒定的速度向右运动，两侧的滑轨与玻璃的运动方向平行，滑杆与滑轨垂直，且可沿滑轨左右移动．割刀通过沿滑杆滑动和随滑杆左右移动实现对移动玻璃的切割．要使切割后的玻璃是矩形，以下做法正确的是(　　)
A．保持滑杆不动，仅使割刀沿滑杆运动
B．滑杆向左移动的同时，割刀沿滑杆滑动
C．滑杆向右移动的同时，割刀沿滑杆滑动
D．滑杆向右移动的速度必须与玻璃运动的速度相同
9.
如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q.跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P.设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小．现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是(　　)
A.当θ＝60°时，P、Q的速度之比是∶2
B．当θ＝90°时，Q的速度最大
C．当θ＝90°时，Q的速度为零
D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大
10
(多选)如图所示，某河宽d＝150m，水流的速度大小为v1＝1.5m/s，一小船以静水中的速度v2渡河，且船头方向与河岸成θ角，小船恰好从河岸的A点沿直线匀速到达河对岸的B点；若船头方向保持不变，小船以v2的速度航行，则小船从河岸的A点沿与河岸成60°角的直线匀速到达河对岸的C点．下列判断正确的是(　　)
A．v2＝1.5m/s
B．θ＝30°
C．小船从A点运动到B点的时间为100s
D．小船从A点运动到C点的时间为s
11.
(多选)为了研究空气动力学问题，如图所示，某人将质量为m的小球从距地面高h处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，上管口距地面的高度为.小球在水平方向上受恒定风力作用，且小球恰能无碰撞地通过管口，则下列说法正确的是(　　)
A．小球的初速度大小为L
B．风力的大小为
C．小球落地时的速度大小为2
D．小球落地时的速度大小为
课时分层作业（十五）
1．解析：滑块受到一个与速度v0方向垂直的恒力F作用，则滑块将做曲线运动，轨迹向F方向弯曲，即滑块可能沿着曲线ON运动，故选D.
答案：D
2．解析：若仅增大直升机水平匀速飞行的速度，竖直方向上的运动不变，上升时间不变，故A、B错误；被救人员速度v＝，水平速度增大，则运动速度增大，故C错误，D正确．
答案：D
3．解析：由题意知质点做匀变速曲线运动，N点的速度方向与加速度方向垂直，则M点的速度方向与加速度方向的夹角大于90°，故从M到N的过程中，外力对质点做负功，质点的动能减小，速率减小，A错误；整个过程中质点的加速度不变，B错误；P点的加速度方向与速度方向不在一条直线上，C错误；由曲线运动的轨迹可知，质点从P到Q的过程中，加速度方向与速度方向的夹角一直减小，D正确．
答案：D
4．解析：无人机起飞后在竖直方向上做初速度为0的匀加速直线运动，在水平方向上做匀速直线运动，加速度方向与速度方向不共线，所以无人机做曲线运动，选项A错误；无人机运动的时间t＝＝s＝4s，选项B正确；竖直方向上，根据h＝at2得无人机的加速度大小a＝＝2×m/s2＝20m/s2，选项C正确；无人机的竖直分速度大小vy＝at＝20×4m/s＝80m/s，选项D错误．
答案：BC
5．解析：当该龙舟垂直河岸航行时渡河时间最短，可得tmin＝＝s＝18s，沿河岸方向的位移x＝v水tmin＝54m，则该龙舟以最短时间渡河通过的位移s＝＝m＝90m，A错误，C正确；当该龙舟在静水中的速度与水流速度方向相同时合速度最大，则最大速度为4m/s＋3m/s＝7m/s<8m/s，B错误；由于该龙舟在静水中的速度大于河水的流速，因此该龙舟的合速度方向可以垂直河岸，该龙舟能够沿垂直河岸的航线抵达对岸，D错误．
答案：C
6．解析：滑块在水平恒力作用下由P点到Q点，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5m/s，即水平恒力不做功，所以力应该和位移的方向垂直，A错误；把滑块在P点的速度分解到垂直于PQ方向上有v2＝vsinα＝3m/s，由题意知在这个方向上滑块先减速后反向加速，由牛顿第二运动定律得，运动的加速度a＝＝2m/s2，由于运动具有对称性，得滑块从P到Q的时间t＝2×＝3s，B正确；把速度分解到PQ方向上有v1＝vcosα＝4m/s，滑块在PQ方向上做匀速运动，所以当滑块在垂直于PQ方向上的速度等于零时，速度最小，为4m/s，C错误；P、Q两点之间的距离为PQ＝v1t＝12m，D错误．
答案：B
7．解析：以地面为参考系，消防队员做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，选项B正确，A错误；由题意可知，该过程中消防队员在竖直方向上的位移大小为y＝20m，该过程中所用时间为t＝＝20s，消防队员在水平方向上的位移大小为x＝at2＝40m，则消防队员的实际位移大小为s＝＝20m，故消防队员从开始到爬到梯顶的过程中平均速度大小为＝＝m/s，选项C正确；消防队员从开始到爬到梯顶的过程中受到的合外力冲量大小为I＝ma·t＝240N·s，选项D错误．
答案：BC
8．解析：割刀实际参与两个分运动，即沿玻璃运动方向的运动和垂直玻璃运动方向的运动．为了割下的玻璃是矩形，割刀相对玻璃的运动速度应垂直玻璃，所以滑杆向右移动的速度必须与玻璃运动的速度相同，故C、D两项正确；若滑杆不动，割刀相对玻璃向左运动的同时，沿滑杆运动，玻璃割下来不是矩形，故A项错误；滑杆向左移动，割刀相对玻璃的水平分速度也向左，玻璃也不会是矩形，故B项错误．
答案：CD
9．解析：
P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，分解vQ如图所示．当θ＝60°时，Q的速度vQcos60°＝vP，解得＝，故A错误；P的机械能最小时，即Q到达O点正下方时，此时Q的速度最大，即当θ＝90°时，Q的速度最大，故B正确，C错误；当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，故D错误．
答案：B
10．解析：
小船速度合成情况如图所示，则小船从A点运动到B点的过程，有v2cosθ＝v1，小船从A点运动到C点的过程，根据正弦定理，有＝，解得θ＝30°，v2＝m/s，A错误，B正确；小船从A点运动到B点的时间t1＝＝100s，从A点运动到C点的时间t2＝＝s，C错误，D正确．
答案：BD
11．解析：小球在竖直方向上做自由落体运动，故从抛出点到上管口的运动过程中，有＝，小球在水平方向上做匀减速运动，因恰能无碰撞地通过管口，故小球到管口时水平速度刚好减为零，设小球的初速度为v0，有L＝t，联立以上两式解得v0＝2L，故A错误；设风力大小为F，根据牛顿第二定律，得小球在水平方向上的加速度大小a＝，依题设条件，有0－v＝－2aL，即0－v＝－2L，将初速度v0＝2L代入得F＝，选项B正确；小球到达上管口时，水平速度减为零．进入管中后其不再受风力作用，只有竖直方向的运动，从抛出到落地的全程，小球在竖直方向上做自由落体运动，所以有v2＝2gh，则小球落地时的速度大小为v＝，故选项D正确，C错误．
答案：BD第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
课 程 标 准
通过观察实验，了解曲线运动，知道物体做曲线运动的条件．
素 养 目 标
物理观念：掌握曲线运动的概念．
科学思维：会运用运动的合成和分解研究实际物体的运动．
科学探究：通过实验探究，体会运动合成与分解的方法．
必备知识·自主落实
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的____________．
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是____________运动．
可能是匀变速曲线运动，也可能是变加速曲线运动
3．做曲线运动的条件
(1)运动学角度：当物体的________方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：当物体所受合力方向跟速度方向不在同一条直线上．
无力不转弯
二、运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知________求合运动．
(2)运动的分解：已知________求分运动．
2．遵循的法则
合速度可能比分速度小
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________．
3．运动分解的原则
根据运动的____________分解，也可采用正交分解法．
走进生活
　右图为建筑工地塔吊示意图，在驾驶工人的操作下，小车A可在起重臂上左右移动，同时又可使重物上下移动，若起重臂不转动，则
(1)小车A向左匀速运动，同时拉重物的绳子匀速缩短，则重物相对地面为直线运动．(　　)
(2)小车A向左匀加速运动，同时拉重物的绳子匀速缩短，则重物相对地面为曲线运动．(　　)
(3)小车A向左运动的速度v1，重物B向上运动的速度v2，则重物B对地速度为v＝.(　　)
(4)做曲线运动的物体，其速度时刻变化，所以物体所受合力一定不为零．(　　)
(5)两个互成角度的初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动．(　　)
关键能力·精准突破
考点一　物体做曲线运动的条件及轨迹分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力．曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．
2．合力方向与速率变化的关系
针 对 训 练
1.[人教版必修二P4演示改编]如图所示，在演示“物体做曲线运动的条件”的实验中，一个小钢球从斜面顶端下滑至水平桌面上．第一次，桌面上没有放置磁铁，小钢球在水平桌面上做直线运动；第二次，在其运动路线的一侧放一块磁铁，小钢球做曲线运动．虚线①、②分别表示小钢球两次的运动轨迹．观察实验现象，以下叙述正确的是(　　)
A.小钢球沿虚线②运动时做匀变速曲线运动
B．该实验说明做曲线运动的物体速度方向沿轨迹的切线方向
C．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体所受的合外力方向与速度方向必须垂直
2．2022年北京冬奥会，某花样滑冰运动员正在滑行，由A到C时其运动轨迹如图所示，则关于他通过B点时速度v、加速度a及所受合力F的方向可能正确的是(　　)
3．[2023·湖北武汉调研]2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京开幕，至此，北京成为全世界唯一一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．某次训练中，短道速滑运动员在水平冰面上做匀速圆周运动，则运动员(　　)
A．受到冰面的作用力大小恒定，做匀加速运动
B．受到冰面的作用力大小恒定，做变加速运动
C．受到冰面的作用力大小变化，做匀加速运动
D．受到冰面的作用力大小变化，做变加速运动
考点二　运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性 各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
2.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)
(2)加速度(或合外力)与速度方向
针 对 训 练
4.骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图所示，在某次比赛中，选手骑马沿直线O1O2向右匀速前进，分别经过E、F、G和H四点(GP连线与O1O2连线垂直)，并在每处射出一支箭，则可能射中靶心P点的是(　　)
A．在E点沿垂直O1O2方向射出
B．在F点沿FP连线方向射出
C．在G点沿垂直O1O2方向射出
D．在H点沿HP连线方向射出
5．如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮．在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动．红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L.下列说法中正确的是(　　)
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大
6．[2023·北京朝阳区期末]在一次杂技表演中，表演者顶着一竖直杆沿水平地面运动，其位移—时间图像(x － t图像)如图甲所示．与此同时猴子沿竖直杆向上运动，如图乙所示，其沿竖直方向的速度—时间图像(v － t图像)如图丙所示，若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　)
A．猴子的运动轨迹为直线
B．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
C．猴子在前2 s内的加速度大小为4 m/s2
D．猴子在前2 s内运动的位移大小为16 m
考点三　小船渡河模型
两类问题、三种情景
渡河时 间最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位 移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
考向1　最短时间渡河问题
例1 (多选)某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度4 m/s渡河，且船渡河的时间最短，下列说法正确的是(　　)
A．船在河水中航行的轨迹是一条直线
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船离开河岸400 m时的速度大小为2 m/s
D．渡河最短时间为240 s
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考向2　最短位移渡河问题
例2 如图所示，
一船夫摇船往返于河的两岸．若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点．第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点，船轨迹恰好与第一次船轨迹重合．假设河水速度保持不变，该船两次过河所用时间之比是(　　)
A．v1:v2 B．v2:v1
C. D.
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针 对 训 练
7.[2023·江苏常州一中期末]甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水的流速为v0，两船在静水中的速率均为v.甲、乙两船船头与河岸夹角均为θ，如图所示，已知甲船恰好能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为l.则下列判断正确的是(　　)
A．甲、乙两船不可能同时到达对岸
B．若仅是河水的流速v0增大，则两船的渡河时间都不变
C．不论河水的流速v0如何改变，只要适当改变θ，甲船总能到达河正对岸的A点
D．若仅是河水的流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离也增大
素养提升 绳(杆)端速度分解模型
1.模型分析
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．
(1)合速度：绳(杆)拉物体的实际运动速度v.
(3)方法：v∥与v⊥的合成遵循平行四边形定则．
2．四种常见分解示例
典例1　新冠疫情居家期间，某人为锻炼身体设计了如图所示的装置，在水平地面上竖直固定直杆A和B.将重物套在杆A上，在杆B的顶端固定一轻滑轮，绳子的一端连接重物，跨过定滑轮后另一端系在腰上．开始时，重物在水平地面上，人以恒定的速度v0向左运动，当绳子与杆A的夹角θ＝60°时，重物的速度为v，加速度为a，规定向上为重物速度、加速度正方向．下列说法正确的是(　　)
A.v＝v0 B．v＝v0
C.a>0 D．a<0
典例2　光滑半球A放在竖直面光滑的墙角，并用手推着保持静止．现在A与墙壁之间放入光滑球B，放手让A和B由静止开始运动，当A、B运动到图示位置时，二者球心的连线与水平面成θ角，速度大小分别为vA和vB，则以下关系正确的是(　　)
A.vA＝vB B．vA＝vB sin θ
C.vA＝vB cos θ D．vA＝vB tan θ
第四章　曲线运动
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
必备知识·自主落实
一、
1．切线方向
2．变速
3．(1)加速度　
二、
1．(1)分运动　(2)合运动
2．平行四边形定则
3．实际效果
走进生活
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
关键能力·精准突破
1．解析：小钢球沿虚线②运动时，磁铁对小钢球的引力是变力，小钢球做的不是匀变速曲线运动，选项A错误；做曲线运动的物体速度方向沿轨迹的切线方向，此结论是正确的，但通过本实验无法得出此结论，选项B错误；小钢球所受磁铁的引力方向并没有始终和速度方向垂直，所以本实验只能说明物体做曲线运动的条件是物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上，选项C正确，D错误．
答案：C
2．解析：由于花样滑冰运动员做曲线运动，速度方向沿轨迹切线方向，加速度方向即合力方向，则v与a(或F)不可能在同一条直线上，故A项错误；B项中速度方向沿轨迹的切线方向，加速度指向轨迹的凹侧，符合实际，故B项可能正确；C、D项中速度方向是正确的，而加速度、所受合力的方向指向轨迹凸侧，是错误的，故C、D项均错误．
答案：B
3．解析：运动员在冰面上做匀速圆周运动的过程中受到重力mg、冰面的作用力FN，这两个力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据矢量三角形法有FN＝＝＝m，由于运动员做匀速圆周运动，故角速度ω、半径r是不变的，因此冰面对运动员的作用力FN的大小是不变的，由于圆周运动的线速度方向不断变化、向心加速度方向不断变化，因此匀速圆周运动是变加速运动，故选项A、C、D错误，选项B正确．
答案：B
4．解析：只有箭的实际速度指向P点，即射箭的速度与人运动速度的合速度指向P点，才能射中靶心P点，所以只有在E点沿垂直O1O2方向射出的箭可能射中靶心P点，其他三种射箭方式都不能射中，故A正确，B、C、D错误．
答案：A
5．解析：由合运动与分运动的等时性知，因红蜡块沿管上升的高度和速度不变，所以运动时间不变，而管向右匀速运动的速度越大，则红蜡块的合速度越大，合位移越大，选项B正确．
答案：B
6．解析：由题图甲、丙知，猴子在水平方向上做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，竖直方向上做初速度大小为8 m/s、加速度大小为4 m/s2的匀减速直线运动，分析知合初速度与合加速度方向不在同一直线上，其合运动为曲线运动，A错误；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝m/s＝4 m/s，B错误；猴子在前2 s内的加速度大小为4 m/s2，C正确；0～2 s内猴子沿水平方向的位移大小为x0＝8 m，沿竖直方向的位移大小为y0＝ m＝8 m，所以猴子在0～2 s内的位移大小为s＝＝ m＝8 m，D错误．
答案：C
例1　解析：因为船在静水中速度不变，水流速度在变化，可知船在沿河岸方向上有加速度，合速度的方向与加速度的方向不在同一条直线上，所以轨迹是曲线，故A错误；当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，则最短时间t＝150 s，故B正确，D错误；船离开河岸400 m时，离较近河岸的距离为200 m，此时水流速度为2 m/s，根据平行四边形定则可得v＝2 m/s，故C正确．
答案：BC
例2　解析：由题意可知，船夫两次驾船的轨迹重合，知合速度方向相同，第一次船的静水速度垂直于河岸，第二次船的静水速度与合速度垂直，如图所示．
船两次过河的合位移相等，则渡河时间之比等于船两次过河的合速度之反比．
则＝＝＝cos θ，而cos θ＝，可得＝，D正确．
答案：D
7．解析：将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为t＝(d为河宽)，即同时到达对岸，A错误；根据渡河时间t＝可知，渡河时间与河水的流速无关，因此若仅是河水的流速v0增大，两船的渡河时间都不变，B正确；当甲船速度大于河水流速时，不论河水的流速v0如何改变，适当改变θ，甲船都有可能到达河正对岸的A点的说法才成立，C错误；若仅是河水的流速v0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解规律可知，两船在平行于河岸方向的分速度的差值不变，则两船到达对岸时它们之间的距离仍然为l，D错误．
答案：B
素养提升
典例1　解析：重物沿杆A向上运动，沿绳子方向的分速度等于v0，即v cos θ＝v0，所以v＝.当θ＝60°时，v＝2v0，故A、B错误；重物沿杆A向上运动，绳子与杆A的夹角θ增大，由v＝可知重物运动的速度增大，所以重物做加速运动，a>0，故C正确，D错误．
答案：C
典例2　解析：将A、B两球的速度沿两球心的连线方向和垂直两球心连线方向分解，如图所示，由关联速度的关系可得vA cos θ＝vB sin θ，解得vA＝vB tan θ，选项D正确．
答案：D(共36张PPT)
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
课 程 标 准
通过观察实验，了解曲线运动，知道物体做曲线运动的条件．

素 养 目 标
物理观念：掌握曲线运动的概念．
科学思维：会运用运动的合成和分解研究实际物体的运动．
科学探究：通过实验探究，体会运动合成与分解的方法．
必备知识·自主落实
关键能力·精准突破
必备知识·自主落实
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的____________．
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是____________运动．
可能是匀变速曲线运动，也可能是变加速曲线运动
3．做曲线运动的条件
(1)运动学角度：当物体的________方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：当物体所受合力方向跟速度方向不在同一条直线上．
无力不转弯
切线方向
变速
加速度
二、运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知________求合运动．
(2)运动的分解：已知________求分运动．
2．遵循的法则
合速度可能比分速度小
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循______________．
3．运动分解的原则
根据运动的_________分解，也可采用正交分解法．
分运动
合运动
平行四边形定则
实际效果
走进生活
　右图为建筑工地塔吊示意图，在驾驶工人的操作下，小车A可在起重臂上左右移动，同时又可使重物上下移动，若起重臂不转动，则
(1)小车A向左匀速运动，同时拉重物的绳子匀速缩短，则重物相对地面为直线运动．(　　)
(2)小车A向左匀加速运动，同时拉重物的绳子匀速缩短，则重物相对地面为曲线运动．(　　)
(3)小车A向左运动的速度v1，重物B向上运动的速度v2，则重物B对地速度为v＝.(　　)
(4)做曲线运动的物体，其速度时刻变化，所以物体所受合力一定不为零．(　　)
(5)两个互成角度的初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动．(　　)
√
√
√
√
√
关键能力·精准突破
考点一　物体做曲线运动的条件及轨迹分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力．曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．
2．合力方向与速率变化的关系
针 对 训 练
1.[人教版必修二P4演示改编]如图所示，在演示“物体做曲线运动的条件”的实验中，一个小钢球从斜面顶端下滑至水平桌面上．第一次，桌面上没有放置磁铁，小钢球在水平桌面上做直线运动；第二次，在其运动路线的一侧放一块磁铁，小钢球做曲线运动．虚线①、②分别表示小钢球两次的运动轨迹．观察实验现象，以下叙述正确的是(　　)
A.小钢球沿虚线②运动时做匀变速曲线运动
B．该实验说明做曲线运动的物体速度方向沿轨迹的
切线方向
C．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到
的合外力的方向与速度方向不在同一直线上
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体所受的
合外力方向与速度方向必须垂直
答案：C
解析：小钢球沿虚线②运动时，磁铁对小钢球的引力是变力，小钢球做的不是匀变速曲线运动，选项A错误；做曲线运动的物体速度方向沿轨迹的切线方向，此结论是正确的，但通过本实验无法得出此结论，选项B错误；小钢球所受磁铁的引力方向并没有始终和速度方向垂直，所以本实验只能说明物体做曲线运动的条件是物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上，选项C正确，D错误．
2．2022年北京冬奥会，某花样滑冰运动员正在滑行，由A到C时其运动轨迹如图所示，则关于他通过B点时速度v、加速度a及所受合力F的方向可能正确的是(　　)
答案：B
解析：由于花样滑冰运动员做曲线运动，速度方向沿轨迹切线方向，加速度方向即合力方向，则v与a(或F)不可能在同一条直线上，故A项错误；B项中速度方向沿轨迹的切线方向，加速度指向轨迹的凹侧，符合实际，故B项可能正确；C、D项中速度方向是正确的，而加速度、所受合力的方向指向轨迹凸侧，是错误的，故C、D项均错误．
3．[2023·湖北武汉调研]2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京开幕，至此，北京成为全世界唯一一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．某次训练中，短道速滑运动员在水平冰面上做匀速圆周运动，则运动员(　　)
A．受到冰面的作用力大小恒定，做匀加速运动
B．受到冰面的作用力大小恒定，做变加速运动
C．受到冰面的作用力大小变化，做匀加速运动
D．受到冰面的作用力大小变化，做变加速运动
答案：B
解析：运动员在冰面上做匀速圆周运动的过程中受到重力mg、冰面的作用力FN，这两个力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据矢量三角形法有FN＝＝＝m，由于运动员做匀速圆周运动，故角速度ω、半径r是不变的，因此冰面对运动员的作用力FN的大小是不变的，由于圆周运动的线速度方向不断变化、向心加速度方向不断变化，因此匀速圆周运动是变加速运动，故选项A、C、D错误，选项B正确．
考点二　运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
2.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)
(2)加速度(或合外力)与速度方向
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性 各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
针 对 训 练
4.骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图所示，在某次比赛中，选手骑马沿直线O1O2向右匀速前进，分别经过E、F、G和H四点(GP连线与O1O2连线垂直)，并在每处射出一支箭，则可能射中靶心P点的是(　　)
A．在E点沿垂直O1O2方向射出
B．在F点沿FP连线方向射出
C．在G点沿垂直O1O2方向射出
D．在H点沿HP连线方向射出
答案：A
解析：只有箭的实际速度指向P点，即射箭的速度与人运动速度的合速度指向P点，才能射中靶心P点，所以只有在E点沿垂直O1O2方向射出的箭可能射中靶心P点，其他三种射箭方式都不能射中，故A正确，B、C、D错误．
5．如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮．在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动．红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L.下列说法中正确的是(　　)
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大
答案：B
解析：由合运动与分运动的等时性知，因红蜡块沿管上升的高度和速度不变，所以运动时间不变，而管向右匀速运动的速度越大，则红蜡块的合速度越大，合位移越大，选项B正确．
6．[2023·北京朝阳区期末]在一次杂技表演中，表演者顶着一竖直杆沿水平地面运动，其位移—时间图像(x － t图像)如图甲所示．与此同时猴子沿竖直杆向上运动，如图乙所示，其沿竖直方向的速度—时间图像(v － t图像)如图丙所示，若以地面为参考系，
下列说法正确的是(　　)
A．猴子的运动轨迹为直线
B．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
C．猴子在前2 s内的加速度大小为4 m/s2
D．猴子在前2 s内运动的位移大小为16 m
答案：C
解析：由题图甲、丙知，猴子在水平方向上做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，竖直方向上做初速度大小为8 m/s、加速度大小为4 m/s2的匀减速直线运动，分析知合初速度与合加速度方向不在同一直线上，其合运动为曲线运动，A错误；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝m/s＝4 m/s，B错误；猴子在前2 s内的加速度大小为4 m/s2，C正确；0～2 s内猴子沿水平方向的位移大小为x0＝8 m，沿竖直方向的位移大小为y0＝ m＝8 m，所以猴子在0～2 s内的位移大小为s＝＝ m＝8 m，D错误．
考点三　小船渡河模型
两类问题、三种情景
渡河时 间最短
渡河位 移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
考向1　最短时间渡河问题
例1 (多选)某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度4 m/s渡河，且船渡河的时间最短，下列说法正确的是(　　)
A．船在河水中航行的轨迹是一条直线
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船离开河岸400 m时的速度大小为2 m/s
D．渡河最短时间为240 s
答案：BC
解析：因为船在静水中速度不变，水流速度在变化，可知船在沿河岸方向上有加速度，合速度的方向与加速度的方向不在同一条直线上，所以轨迹是曲线，故A错误；当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，则最短时间t＝150 s，故B正确，D错误；船离开河岸400 m时，离较近河岸的距离为200 m，此时水流速度为2 m/s，根据平行四边形定则可得v＝2 m/s，故C正确．
考向2　最短位移渡河问题
例2 如图所示，一船夫摇船往返于河的两岸．若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点．第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点，船轨迹恰好与第一次船轨迹重合．假设河水速度保持不变，该船两次过河所用时间之比是(　　)
A．v1:v2 B．v2:v1
C. D.
答案：D
解析：由题意可知，船夫两次驾船的轨迹重合，知合速度方向相同，第一次船的静水速度垂直于河岸，第二次船的静水速度与合速度垂直，如图所示．
船两次过河的合位移相等，则渡河时间之比等于船两次过河的合速度之反比．
则＝＝＝cos θ，而cos θ＝，可得＝，D正确．
针 对 训 练
7.[2023·江苏常州一中期末]甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水的流速为v0，两船在静水中的速率均为v.甲、乙两船船头与河岸夹角均为θ，如图所示，已知甲船恰好能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为l.则下列判断正确的是(　　)
A．甲、乙两船不可能同时到达对岸
B．若仅是河水的流速v0增大，则两船的渡河时间都不变
C．不论河水的流速v0如何改变，只要适当改变θ，
甲船总能到达河正对岸的A点
D．若仅是河水的流速v0增大，则两船到达对岸
时，两船之间的距离也增大
答案：B
解析：将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为t＝(d为河宽)，即同时到达对岸，A错误；根据渡河时间t＝可知，渡河时间与河水的流速无关，因此若仅是河水的流速v0增大，两船的渡河时间都不变，B正确；当甲船速度大于河水流速时，不论河水的流速v0如何改变，适当改变θ，甲船都有可能到达河正对岸的A点的说法才成立，C错误；若仅是河水的流速v0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解规律可知，两船在平行于河岸方向的分速度的差值不变，则两船到达对岸时它们之间的距离仍然为l，D错误．
素养提升 绳(杆)端速度分解模型
1.模型分析
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．
(1)合速度：绳(杆)拉物体的实际运动速度v.
(3)方法：v∥与v⊥的合成遵循平行四边形定则．
2．四种常见分解示例
典例1　新冠疫情居家期间，某人为锻炼身体设计了如图所示的装置，在水平地面上竖直固定直杆A和B.将重物套在杆A上，在杆B的顶端固定一轻滑轮，绳子的一端连接重物，跨过定滑轮后另一端系在腰上．开始时，重物在水平地面上，人以恒定的速度v0向左运动，当绳子与杆A的夹角θ＝60°时，重物的速度为v，加速度为a，规定向上为重物速度、加速度正方向．下列说法正确的是(　　)
A.v＝v0 B．v＝v0
C.a>0 D．a<0
答案：C
解析：重物沿杆A向上运动，沿绳子方向的分速度等于v0，即v cos θ＝v0，所以v＝.当θ＝60°时，v＝2v0，故A、B错误；重物沿杆A向上运动，绳子与杆A的夹角θ增大，由v＝可知重物运动的速度增大，所以重物做加速运动，a>0，故C正确，D错误．
典例2　光滑半球A放在竖直面光滑的墙角，并用手推着保持静止．现在A与墙壁之间放入光滑球B，放手让A和B由静止开始运动，当A、B运动到图示位置时，二者球心的连线与水平面成θ角，速度大小分别为vA和vB，则以下关系正确的是(　　)
A.vA＝vB B．vA＝vB sin θ
C.vA＝vB cos θ D．vA＝vB tan θ
答案：D
解析：将A、B两球的速度沿两球心的连线方向和垂直两球心连线方向分解，如图所示，由关联速度的关系可得vA cos θ＝vB sin θ，解得vA＝vB tan θ，选项D正确．

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