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课时分层作业(二十三)　机械能守恒定律
?基础强化练?
1．如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量)(　　)
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空，则机械能守恒，若加速升空，则机械能不守恒
B．乙图中，物块在外力F的作用下匀速上滑，物块的机械能守恒
C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒
D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒
　
2．水上乐园有一末端水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中．如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m．取重力加速度g＝10m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力．则人的落水点到滑梯末端的水平距离为(　　)
A．4.0mB．4.5m
C．5.0mD．5.5m
3．[2022·全国乙卷]
固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环．小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于(　　)
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
4．(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有质量分别为1kg和2kg的小球A和B，且两球之间用一根长L＝0.3m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.3m．现让两球从静止开始自由下滑，最后都进入到上方开有细槽的光滑圆管中，不计球与圆管内壁碰撞时的机械能损失，g取10m/s2.下列说法中正确的是(　　)
A.从开始下滑到A进入圆管的整个过程，小球A、B与地球三者组成的系统机械能守恒
B．在B球未进入水平圆管前，小球A与地球组成的系统机械能守恒
C．两球最后在光滑圆管中运动的速度大小为m/s
D．从开始下滑到A进入圆管的整个过程，轻杆对B球做的功为－1J
5．[2023·湖南株洲一模](多选)
如图所示，在篮球比赛的某次快攻中，球员甲将球斜向上传给前方队友丙，球传出时离地面高1m，速度大小为10m/s；对方球员乙原地竖直起跳拦截，跃起后手离地面的最大高度为2.8m，球越过乙时速度沿水平方向，且恰好未被拦截．球可视为质点，质量为0.6kg，重力加速度g取10m/s2，以地面为零势能面，忽略空气阻力，甲、乙和队友丙三人在同一直线上，则(　　)
A．篮球在空中上升过程中处于失重状态
B．甲传球时，球与乙的水平距离为4.8m
C．队友接球前瞬间，球的机械能为36J
D．队友接球前瞬间，球的动能一定为30J
6.
[2023·广东珠海质检](多选)如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，O是圆心，OC竖直，OA水平，B是最低点，A点紧靠一足够长的水平平台MN，D点位于A点正上方，D、A距离为h.现从D点无初速度释放一个大小可以忽略的小球，小球从A点进入圆弧轨道，并从C点飞出后做平抛运动，落在平台MN上，P点是小球落在MN之前轨迹上紧邻MN的一点，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　)
A．小球由D点经A、B、C到P点的过程中，机械能守恒
B．小球从A点运动到B点的过程中，重力的功率一直增大
C．只要D点的高度合适，小球通过C点后可以落在平台MN上任意一点
D．如果D、A距离h一定，圆弧轨道半径可自由调节，则当R＝时，O、P距离最大且为h
7．(多选)如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平地面上，处于原长状态．现有一小球以初速度v0落在弹簧上端，某同学以初始时弹簧上端的位置为坐标原点，向下为坐标轴的正方向，作出了小球下落过程中所受合力F与下落位移x的关系图像如图乙所示，其中小球下落至最低点时x＝12cm，重力加速度g取10m/s2，弹簧的弹性势能Ep＝kl2(l为形变量).根据图像可知(　　)
A．小球的质量m＝2kg
B．小球的初速度v0＝m/s
C．小球下落过程中的最大速度vm＝m/s
D．在最低点时，弹簧的弹性势能Ep＝0.36J
8.[2023·山东泰安统考]如图所示，劲度系数k＝20N/m的轻弹簧下端与静止在水平地面上的重物A相连，弹簧上端与不可伸长的轻绳相连，轻绳绕过轻质光滑定滑轮，另一端连一轻质挂钩．开始时定滑轮两侧的轻绳均处于伸直状态，A上方的弹簧和轻绳均沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量m＝0.1kg的物块B并由静止释放，它恰好能使A与地面接触但无压力．已知弹簧的弹性势能Ep＝kx2.(其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量)，弹簧始终在弹性限度内且弹簧上端一直未接触定滑轮，取g＝10m/s2，空气阻力不计．
(1)求当A恰好与地面接触但无压力时弹簧的形变量x0以及A的质量M；
(2)若将B换成另一个质量为4m的物块C，并将C挂在挂钩上后由静止释放，求A恰好与地面接触但无压力时C的速度大小v(结果可保留根号).
能力提升练?
9．[2023·湖南长郡中学模拟](多选)如图所示，一长为L的轻杆下端固定一质量为m的小球(可视为质点)，上端连在光滑水平轴O上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内转动．当小球在最低点时给它一个水平初速度，小球刚好能做完整的圆周运动．不计空气阻力，重力加速度为g.则下列判断正确的是(　　)
A．除最高点外，小球做完整圆周运动的过程中仅有一处所受的合力指向圆心
B．小球的初速度大小为
C．杆的力为0时，小球的速度大小为
D．杆的力为0时，小球的速度大小为
10．(多选)如图，一顶角为直角的“”形光滑细杆竖直放置，质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长l0.两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内．弹簧的长度为l时弹性势能Ep＝k(l－l0)2，重力加速度为g.对其中一个金属环，下列说法正确的是(　　)
A．金属环的最大加速度为g
B．金属环的最大速度为g
C．金属环与细杆之间最大压力为mg
D．金属环达到最大速度时，重力的功率为mg2
11.滑板运动是青少年喜爱的一项活动．如图甲所示，滑板运动员以某一初速度从A点水平离开h＝0.8m高的平台，运动员(连同滑板)恰好能无碰撞地从B点沿切线进入竖直光滑圆弧轨道，然后由C点滑上涂有特殊材料的水平面，水平面与滑板间的动摩擦因数μ从C点起按图乙规律变化，图乙中x表示滑板在水平面上距C点的距离．圆弧轨道与水平面相切于C点，O为圆弧轨道的圆心，B、C为圆弧轨道的两端点，O、C两点在同一竖直线上，圆弧轨道的半径R＝1m，圆弧轨道对应的圆心角θ＝53°重力加速度g＝10m/s2，cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，不计空气阻力，运动员(连同滑板)可视为质点，质量m＝50kg.求：
(1)运动员(连同滑板)离开平台时的初速度大小v0；
(2)运动员(连同滑板)通过圆弧轨道最低点对轨道的压力大小；
(3)运动员(连同滑板)在水平面上滑行的最大距离．
课时分层作业（二十三）
1．解析：题图甲中，无论是匀速升空还是加速升空，推力均对火箭做正功，火箭的机械能增加，A错误；题图乙中，物块匀速上滑的过程中，动能不变，重力势能增加，则机械能增加，B错误；题图丙中，在物块A压缩弹簧的过程中，由于弹簧的弹力对物块A做负功，所以物块A的机械能减少，C错误；题图丁中，对物块A、B组成的系统，由于不计空气阻力，所以只有重力做功，则A、B组成的系统机械能守恒，D正确．
答案：D
2．解析：人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH＝mv2，解得v＝4m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2，可知t＝＝s＝s，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为x＝vt＝4×m＝4.0m，故选A.
答案：A
3.
解析：如图所示，设大圆环半径为R，P、A距离为L，由机械能守恒定律可知，小环沿圆弧滑到A点的速率与沿斜线PA滑到A点的速率相等，分析小环的运动可知小环沿斜线PA下滑加速度a＝gcosθ＝，v＝at＝t，由等时圆模型可知小环沿斜线PA从P到A的时间与沿直线PB从P到B的时间相同，即2R＝gt2，代入上式可得：
v＝L，故C正确．
答案：C
4．解析：从开始下滑到A进入圆管整个过程，除重力做功外，杆对系统做功为零，小球A与B、地球三者组成的系统机械能守恒，A说法正确；在B球未进入水平圆管前，只有重力对A做功，小球A与地球组成的系统机械能守恒，B说法正确；以A、B组成的系统为研究对象，系统机械能守恒，由机械能守恒定律得mBgh＋mAg（h＋Lsinθ）＝（mA＋mB）v2，代入数据解得v＝m/s，C说法正确；以A球为研究对象，由动能定理得mAg（h＋Lsinθ）＋W＝mAv2－0，代入数据解得W＝－1J，则轻杆对B做的功WB＝－W＝1J，D说法错误．
答案：ABC
5．解析：篮球在空中上升过程中只受重力作用，则篮球处于失重状态，选项A正确；球越过乙时速度沿水平方向，且恰好未被拦截，则在竖直方向球上升的高度h＝2.8m－1m＝1.8m，用时为t＝＝0.6s，球刚抛出时的竖直速度大小为v0y＝gt＝6m/s，则水平速度大小为v0x＝＝8m/s，则甲传球时，球与乙的水平距离为x＝v0xt＝4.8m，选项B正确；球刚抛出时的机械能为E＝mgh0＋mv＝36J，球在运动过程中机械能守恒，则队友丙接球前瞬间，球的机械能为36J，选项C正确；球刚抛出时的动能为Ek0＝mv＝30J，队友丙接球前瞬间，球离地面的高度不一定是1m，则此时球的动能不一定为30J，选项D错误．
答案：ABC
6．解析：小球由D点经A、B、C到P点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，故A正确；小球从A点运动到B点的过程中，在A点时速度向下，重力的功率不为零，在B点时速度水平向左，重力的功率为零，所以小球从A点运动到B点的过程中，重力的功率不是一直增大，故B错误；若小球恰能通过C点，则有mg＝m，从C点飞出后做平抛运动并落在平台MN上，则有R＝gt2，x＝vt，解得x＝R，即小球落点至少离M点（－1）R，所以C错误；如果D、A距离为h，小球从D到C过程，由动能定理得mg（h－R）＝mv，小球离开C点后做平抛运动，有R＝gt2，OP＝vCt，所以OP＝2，当h－R＝R，即R＝时，OP最大且为h，故D正确．
答案：AD
7．解析：小球落在弹簧上，合力F＝mg－kx，则图像的纵截距mg＝2N，斜率的绝对值为50N/m，故质量m＝0.2kg，劲度系数k＝50N/m，选项A错误；小球在最低点时弹簧的弹性势能Ep＝kx＝0.36J，从出发至到达最低点，由机械能守恒定律得mgxm＋mv＝kx，解得初速度v0＝m/s，选项B、D正确；小球所受合力为0时，速度最大，此时弹簧的形变量x＝0.04m，小球从出发到速度最大处的过程中，由机械能守恒定律得mgx＋mv＝mv＋kx2，解得最大速度vm＝m/s，选项C错误．
答案：BD
8．解析：（1）B下落过程，对B与弹簧组成的系统，根据能量守恒定律有：
kx＝mgx0
解得：x0＝0.1m
接触但无压力时，对A，由物体的平衡条件有：
kx0＝Mg
解得：M＝0.2kg
（2）从C下落至A恰好与地面接触但无压力的过程，对C与弹簧组成的系统，根据能量守恒定律有：
4mgx0－kx＝×4mv2
解得：v＝m/s
答案：（1）0.1m　0.2kg　（2）m/s
9．解析：小球做变速圆周运动，除最高点外，仅在最低点所受的合力指向圆心，A正确；小球恰能做完整的圆周运动，最高点时小球速度为0，对小球从最低点运动到最高点的过程，由机械能守恒定律有mv2＝2mgL，解得小球在最低点时速度大小为v＝2，B错误；设杆的力为0时，杆与竖直方向的夹角为θ，此时小球的速度大小为v1，将小球所受重力沿杆和垂直杆方向进行分解，如图所示，重力沿轻杆方向的分力提供小球做圆周运动的向心力，则有mgcosθ＝m，对小球从最高点运动到轻杆与竖直方向夹角为θ的过程，由动能定能有mgL（1－cosθ）＝mv，联立解得v1＝，C正确，D错误．
答案：AC
10．解析：开始释放瞬间，金属环受到重力和弹力，沿杆方向，根据牛顿第二定律有mgsin45°＝ma，解得a＝g，A正确；当金属环的加速度为0时，速度最大，受力分析如图所示，金属环受到重力、杆的弹力和弹簧的弹力，沿杆方向加速度为0，所以合力为0，即mgsin45°＝Fcos45°，F＝kΔx，解得形变量Δx＝，根据几何知识，两个小球下降的高度为h＝，对系统只有重力、弹力做功，对两个金属环和弹簧，根据机械能守恒定律有2mgh＝k（Δx）2＋×2mv2，解得v＝g，B错误；金属环下降h′达到最低时，速度减小为0，形变量为2h′，弹簧的弹性势能最大，根据机械能守恒定律有2mgh′＝k（2h′）2，解得h′＝，当金属环下降到最低点时，金属环和细杆的弹力最大，垂直于杆方向上，有FN＝mgcos45°＋Fsin45°，F＝k×2h′，解得FN＝mg，C正确；金属环达到最大速度时，重力的功率为P＝mgvcos45°＝mg×g×＝mg2，D错误．
答案：AC
11．解析：（1）运动员从A平抛至B的过程中，在竖直方向有v＝2gh
在B点有vy＝v0tanθ
代入数据联立解得v0＝3m/s
（2）运动员运动到C处时，由牛顿第二定律可得FN－mg＝
运动员从A到C的过程，由机械能守恒定律得mg（h＋R－Rcosθ）＝mv－mv
代入数据联立解得在C点轨道对运动员的支持力大小FN＝2150N
由牛顿第三定律得运动员在C点对轨道的压力大小F′N＝FN＝2150N.
（3）运动员经过C点以后，由图乙可知x＝x1＝0.5m时μ＝0.5，由于mv>μmgx1，则运动员在水平面上运动的最大距离xmax一定大于x1
由动能定理可得mv＝μmgx1＋μmg（xmax－x1）
代入数据联立解得xmax＝3.55m.
答案：（1）3m/s　（2）2150N　（3）3.55m第3讲　机械能守恒定律
课 程 标 准
1.理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系．定性了解弹性势能．
2.通过实验验证机械能守恒定律．理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性．
3.能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题．
素 养 目 标
物理观念：理解重力势能和弹力势能的概念，知道机械能守恒定律的内容．
科学思维：会分析机械能守恒的条件，能从机械能守恒的角度分析动力学问题．
必备知识·自主落实
一、重力做功与重力势能的关系
1．重力做功的特点
(1)重力做功与________无关，只与始末位置的________有关．
　　　　　只有重力做功机械能守恒
(2)重力做功不引起物体的变化．
2．重力势能 是标量，但有正、负
(1)表达式：Ep＝________.
　正负表示大小
(2)重力势能的特点
重力势能是物体和________所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取________，但重力势能的变化与参考平面的选取________.
3．重力做功与重力势能变化的关系
重力对物体做正功，重力势能________；重力对物体做负功，重力势能________，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
二、弹性势能是标量
1．定义：发生________的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：
弹力做正功，弹性势能________；弹力做负功，弹性势能________.即W＝________.
三、机械能守恒定律
　　　　　　　　　系统内弹力
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，________与________可以互相转化，而总的机械能________.
2.表达式：＝________.
3．机械能守恒的条件
　　　 系统内弹力
只有重力或弹力做功
走进生活
如图所示，某同学斜向上掷出一质量为m的铅球，最后落至地面，初速度为v0，抛点离地面的高度为h，以地面为零势能面，若空气阻力不计，则
(1)铅球在运动过程中动能越来越大．(　　)
(2)铅球在运动过程中重力势能越来越大．(　　)
(3)在整个运动过程中重力对铅球做的功为mgh.(　　)
(4)铅球在地面上的重力势能为mgh.(　　)
(5)铅球落在地平面上瞬间的动能为＋mgh.(　　)
(6)铅球落在地平面上瞬间的机械能为.(　　)
(7)铅球在轨迹最高处的机械能为＋mgh.(　　)
(8)在运动过程中，铅球的机械能守恒．(　　)
关键能力·精准突破
考点一　机械能守恒的判断
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．
针 对 训 练
1.[2023·栆庄模拟]关于下列对配图的说法正确的是(　　)
A．图甲中“蛟龙号”被吊车吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图乙中火车在匀速转弯时动能不变，故所受合外力为零
C．图丙中握力器在手的压力下弹性势能增加了
D．图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
2．(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　)
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
3. [2023·山东潍坊模拟](多选)如图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上．分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则(　　)
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大
D．两球到达各自悬点的正下方时，A球受到向上的拉力较大
考点二　机械能守恒定律的应用
1．表达式
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
考向1　单物体机械能守恒
例1[2022·全国甲卷]北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h.要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　)
A．　　B． C．　　D．
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考向2　多体的机械能守恒问题
多体的机械能守恒问题一般指有两个或两个以上物体的动能和势能相互转化的问题，解答此类问题的方法是：把两个或两个以上物体看作系统，分析系统中所有物体在运动过程中是否只有重力或弹簧弹力做功，若满足只有物体的动能与势能相互转化，则可以利用E1＝E2，或ΔEk＝列方程求解．
例2[2023·河南漯河模拟](多选)如图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球甲，B处固定质量为m的小球乙，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面垂直的固定轴转动，两小球均可视为质点，重力加速度为g.开始时OB与地面垂直，放手后支架和小球开始运动．在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是(　　)
A．摆动过程中甲球机械能守恒
B．乙球向左摆动所能达到的最大高度应高于甲球开始运动的高度
C．甲球到达最低点时速度大小为
D．从开始运动到甲球到达最低点，杆对甲球做的功为－
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考向3　含弹簧的系统机械能守恒问题
1.通过其他能量求弹性势能
根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
2．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
3．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
例3[2022·湖北卷]如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上．P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止．弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g.若剪断轻绳，P在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为(　　)
A． B．
C． D．
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针 对 训 练
4.[2023·上海杨浦区模拟](多选)所图甲所示，不可伸长的轻绳跨过光滑轻质定滑轮连接可视为质点的物体A、B，A、B在外力的作用下保持静止，两物体距离水平地面高度相同且轻绳处于绷紧状态．T＝0时刻撤去外力后，0～t1时间内物体A的动能Ek、重力势能Ep(取地面为重力势能零点)随时间t的变化关系如图乙所示．已知物体B的质量mB＝3 kg且始终没有与定滑轮相碰，忽略空气阻力，绳始终未断，重力加速度g取，则(　　)
A．物体A的质量为5 kg
B．0～t1时间内，物体B的机械能增加了21 J
C．当物体A的重力势能与动能相等时，物体A距地面的高度约为0.57 m
D．物体B离地面的最大高度为2.8 m
5．如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上，用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为2m，C的质量为5m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后它沿斜面下滑(斜面足够长)，A刚离开地面时，B获得最大速度．求：
(1)斜面倾角α的正弦值；
(2)B的最大速度v.
素养提升 绳索与链条非质点类机械能守恒问题
绳索，链条，液柱等物体在运动过程中往往会发生形变，其重心相对物体的位置也发生变化，因此这类物体不能再视为质点，只有重力做功时，物体整体的机械能守恒. 一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的各个规则部分的重心位置，根据初、末状态物体整体的机械能列式求解．
典例1　[2023·山东名校联盟模拟]如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝ m的光滑半球体上方．给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时铁链速度大小为3 m/s.已知∠AOB＝60°，以OC所在水平面为参考平面，取g＝10 m/s2.则下列说法中正确的是(　　)
A.铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒
B.铁链在初始位置时其重心高度为 m
C.铁链的端点A滑至C点时铁链的重心下降2.8 m
D.铁链的端点A滑至C处时铁链的速度大小为6 m/s
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
典例2　[2023·福建厦门模拟](多选)固定在竖直面内的光滑圆管POQ，PO段长度为L，与水平面的夹角为30°，在O处有一插销，OQ段水平且足够长．管内PO段装满了质量均为m的小球，小球的半径远小于L，其编号如图所示．拔掉插销，1号球在下滑过程中(重力加速度为g)(　　)
A.机械能不守恒
B.做匀加速运动
C.对2号球做的功为mgL
D.经过O点时速度v＝
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第3讲　机械能守恒定律
必备知识·自主落实
一、
1．(1)路经　高度差　(2)机械能
2．(1)mgh　(2)地球　有关　无关
3．减小　增大
二、
1．弹性形变
2．减小　增加　－ΔEp
三、
1．动能　势能　保持不变
2.
走进生活
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×　(7)√　(8)√
关键能力·精准突破
1．解析：甲图中，“蛟龙号”受到吊车的拉力和浮力做功，机械能不守恒，A错误；乙图中，火车做曲线运动，合外力不为零，B错误；丁图中，撑竿对运动员做正功，运动员在上升过程中机械能不守恒，D错误；图丙中握力器在手的压力下弹簧被压缩，弹性势能增加了，C正确．
答案：C
2．解析：当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力和系统内的弹力做功，机械能守恒，C正确．
答案：BC
3．解析：两个球都是从同一个水平面下降的，到达最低点时还是在同一个水平面上，根据重力做功的特点可知在整个过程中，AB两球重力做的功相同，但是，B球在下落的过程中弹簧要对球做负功，根据动能定理得，B球在最低点的速度要比A的速度小，动能也要比A的小，故A、C错误，B正确；由于在最低点时B的速度小，根据向心力的公式可知，B球需要的向心力小，所以绳对B的拉力也要比A的小，故D正确．
答案：BD
例1　解析：运动员从a处滑至c处，mgh＝，联立得N＝mg，由题意，结合牛顿第三定律可知，N＝F压≤kmg，得R≥，故D项正确．
答案：D
例2　解析：甲、乙和轻杆组成的系统机械能守恒，摆动过程中轻杆对甲球做功，因此甲球的机械能不守恒，A错误；由几何关系及两球沿杆方向的速度相等可知，摆动过程中甲、乙两球的速度大小相等，甲球到达最低点时，设甲、乙两球的速度大小均为v，对甲、乙两球从开始运动到甲球到达最低点，根据机械能守恒定律有2mgL sin 30°－mgL sin 30°＝，解得v＝ ，C错误；甲球到达最低点时，乙球向左摆动到甲球开始运动的高度，此时甲、乙两球的速度大小不为零，因此系统将继续摆动，最终乙球向左摆动所能达到的最大高度高于甲球开始运动的高度，B正确；从甲球开始运动到甲球到达最低点的过程，设杆对甲球做的功为W，根据动能定理得2mgL sin 30°＋W＝×2mv2，解得W＝－，D正确．
答案：BD
例3　解析：Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足kx＝2μmg，若剪断轻绳后，物块P与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为x，因此P相对于其初始位置的最大位移大小为s＝2x＝，C正确．
答案：C
4．解析：因A、B组成的系统机械能守恒，由图乙可知0～t1时间内A的机械能减小量为ΔEA＝140 J－105 J－14 J＝21 J，则B的机械能增加了ΔEB＝21 J，设此过程中A下降的高度为h，则B上升的高度为h，有mBgh＋mBv2＝21 J，mAgh＝35 J，mAv2＝14 J，联立解得mA＝7 kg，h＝0.5 m，v＝2 m/s，选项B正确，A错误；开始时A、B距离地面的高度为h1＝＝ m＝2 m，设物体A的重力势能与动能相等时A下降的高度为h2，对A、B，由机械能守恒定律有(mA＋mB)gh1＝mBg(h1＋h2)＋mAg(h1－h2)＋(mA＋mB)v′2，又mAg(h1－h2)＝mAv′2，解得h2＝ m，此时物体A距地面的高度为hA＝h1－h2＝ m≈0.57 m，选项C正确；当物体A落地时，由机械能守恒定律有(mA＋mB)gh1＝mBg·2h1＋(mA＋mB)v″2，解得v″＝4 m/s，则B还能上升的高度为h3＝＝0.8 m，故物体B离地面的最大高度为hB＝2 m＋2 m＋0.8 m＝4.8 m，选项D错误．
答案：BC
5．解析：(1)A刚离开地面时，设弹簧伸长量为x1，对A根据平衡条件可得kx1＝2mg.
此时B有最大速度，由于B、C速度大小始终相等，则此时C也有最大速度，则aB＝aC＝0，设此时线上拉力为FT，则对B受力分析，根据平衡条件可得2mg＋kx1＝FT，解得FT＝4mg，对C受力分析，根据平衡条件可得5mg sin α＝FT，解得sin α＝0.8.
(2)初始系统静止，且线上无拉力，设此时弹簧的压缩量为x2，对B根据平衡条件可得kx2＝2mg，结合(1)问可知x1＝x2，则从释放至A刚离开地面过程中，弹性势能变化量为零；
此过程中A、B、C组成的系统机械能守恒，系统重力势能的减少量等于动能的增加量，即5mg(x1＋x2)sin α－2mg(x1＋x2)＝(5m＋2m)v2，解得v＝4g.
答案：(1)0.8　(2)4g
典例1　解析：铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边铁链的拉力，该拉力做负功，所以这一小段铁链的机械能不守恒，故A错误；根据几何关系可知，铁链长度为L＝＝2 m，铁链全部在球体上时，铁链质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心，即铁链重心在∠AOB的角平分线上，故铁链在初始位置时铁链重心与球心O连线长度等于端点B滑至C处时铁链重心与球心O连线长度，均设为h0，对铁链从开始到端点B滑至C处，根据机械能守恒定律有mgh0－mgh0sin 30°＝，代入数据解得h0＝1.8 m，故B错误；铁链的端点A滑至C点时，铁链重心在C点正下方处，则铁链的端点A滑至C点时铁链重心下降Δh＝h0＋＝2.8 m，故C正确；铁链的端点A滑至C处的过程，对铁链根据机械能守恒定律有mgΔh＝，解得v2＝2 m/s，故D错误．
答案：C
典例2　解析：设一共有n个小球，运动过程中，有k(k≤n)个小球在光滑圆管PO内，对n个小球整体分析，根据牛顿第二定律有kmg sin 30°＝nma，解得a＝，对1号球分析，假设2号球对1号球有向上的支持力F，根据牛顿第二定律有mg sin 30°－F＝ma，解得F＝mg sin 30°，则随着k的减小，F逐渐增大，F对1号球做负功，1号球的机械能不守恒，1号球的加速度在减小，故1号球做加速度减小的加速运动，A正确，B错误；所有小球都在管PO中时，它们的重心在管PO的中心，对所有小球，从开始运动到全都滑到OQ段，根据机械能守恒定律有nmg·L sin 30°＝nmv2，解得v＝，故D错误；对1号球分析，从开始到1号球到达O点的过程中，设2号球对1号球做的功为W，根据动能定理可得mgL sin 30°＋W＝mv2，解得W＝－mgL，1号球对2号球做功的绝对值等于2号球对1号球做功的绝对值，所以1号球对2号球做的功为mgL，故C正确．
答案：AC(共36张PPT)
第3讲　机械能守恒定律
课 程 标 准
1.理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系．定性了解弹性势能．
2.通过实验验证机械能守恒定律．理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性．
3.能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题．

素 养 目 标
物理观念：理解重力势能和弹力势能的概念，知道机械能守恒定律的内容．
科学思维：会分析机械能守恒的条件，能从机械能守恒的角度分析动力学问题．
必备知识·自主落实
关键能力·精准突破
必备知识·自主落实
一、重力做功与重力势能的关系
1．重力做功的特点
(1)重力做功与________无关，只与始末位置的________有关．
　　　　　只有重力做功机械能守恒
(2)重力做功不引起物体的变化．

路经
高度差
2．重力势能 是标量，但有正、负
(1)表达式：Ep＝________.
　正负表示大小
(2)重力势能的特点
重力势能是物体和________所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取________，但重力势能的变化与参考平面的选取________.
3．重力做功与重力势能变化的关系
重力对物体做正功，重力势能________；重力对物体做负功，重力势能________，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
mgh　
地球
有关
无关
减小
增大
二、弹性势能 是标量
1．定义：发生________的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：
弹力做正功，弹性势能________；弹力做负功，弹性势能________.即W＝________.
弹性形变
减小
增加
－ΔEp
三、机械能守恒定律
　　　　　　　　　系统内弹力
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，________与________可以互相转化，而总的机械能________.
2.表达式：＝___________.
3．机械能守恒的条件
　　　 系统内弹力
只有重力或弹力做功
动能
势能
保持不变
走进生活
如图所示，某同学斜向上掷出一质量为m的铅球，最后落至地面，初速度为v0，抛点离地面的高度为h，以地面为零势能面，若空气阻力不计，则
(1)铅球在运动过程中动能越来越大．(　　)
(2)铅球在运动过程中重力势能越来越大．(　　)
(3)在整个运动过程中重力对铅球做的功为mgh.(　　)
(4)铅球在地面上的重力势能为mgh.(　　)
(5)铅球落在地平面上瞬间的动能为＋mgh.(　　)
(6)铅球落在地平面上瞬间的机械能为.(　　)
(7)铅球在轨迹最高处的机械能为＋mgh.(　　)
(8)在运动过程中，铅球的机械能守恒．(　　)
×
×
√
×
√
×
√
√
关键能力·精准突破
考点一　机械能守恒的判断
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．

针 对 训 练
1.[2023·栆庄模拟]关于下列对配图的说法正确的是(　　)
A．图甲中“蛟龙号”被吊车吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图乙中火车在匀速转弯时动能不变，故所受合外力为零
C．图丙中握力器在手的压力下弹性势能增加了
D．图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
答案：C
解析：甲图中，“蛟龙号”受到吊车的拉力和浮力做功，机械能不守恒，A错误；乙图中，火车做曲线运动，合外力不为零，B错误；丁图中，撑竿对运动员做正功，运动员在上升过程中机械能不守恒，D错误；图丙中握力器在手的压力下弹簧被压缩，弹性势能增加了，C正确．
2．(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形
槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙
壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正上方
由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，
则下列说法正确的是(　　)
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
答案：BC
解析：当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力和系统内的弹力做功，机械能守恒，C正确．
3. [2023·山东潍坊模拟](多选)如图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上．分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则(　　)
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大
D．两球到达各自悬点的正下方时，A球受到向上的拉力较大
答案：BD
解析：两个球都是从同一个水平面下降的，到达最低点时还是在同一个水平面上，根据重力做功的特点可知在整个过程中，AB两球重力做的功相同，但是，B球在下落的过程中弹簧要对球做负功，根据动能定理得，B球在最低点的速度要比A的速度小，动能也要比A的小，故A、C错误，B正确；由于在最低点时B的速度小，根据向心力的公式可知，B球需要的向心力小，所以绳对B的拉力也要比A的小，故D正确．
考点二　机械能守恒定律的应用
1．表达式
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
考向1　单物体机械能守恒
例1 [2022·全国甲卷]北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h.要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　)
A．　　B． C．　　D．
答案：D
解析：运动员从a处滑至c处，mgh＝，联立得N＝mg，由题意，结合牛顿第三定律可知，N＝F压≤kmg，得R≥，故D项正确．
考向2　多体的机械能守恒问题
多体的机械能守恒问题一般指有两个或两个以上物体的动能和势能相互转化的问题，解答此类问题的方法是：把两个或两个以上物体看作系统，分析系统中所有物体在运动过程中是否只有重力或弹簧弹力做功，若满足只有物体的动能与势能相互转化，则可以利用E1＝E2，或ΔEk＝列方程求解．
例2 [2023·河南漯河模拟](多选)如图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球甲，B处固定质量为m的小球乙，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面垂直的固定轴转动，两小球均可视为质点，重力加速度为g.开始时OB与地面垂直，放手后支架和小球开始运动．在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是(　　)
A．摆动过程中甲球机械能守恒
B．乙球向左摆动所能达到的最大高度应高于
甲球开始运动的高度
C．甲球到达最低点时速度大小为
D．从开始运动到甲球到达最低点，杆对甲球做的功为－
答案：BD
解析：甲、乙和轻杆组成的系统机械能守恒，摆动过程中轻杆对甲球做功，因此甲球的机械能不守恒，A错误；由几何关系及两球沿杆方向的速度相等可知，摆动过程中甲、乙两球的速度大小相等，甲球到达最低点时，设甲、乙两球的速度大小均为v，对甲、乙两球从开始运动到甲球到达最低点，根据机械能守恒定律有2mgL sin 30°－mgL sin 30°＝，解得v＝ ，C错误；甲球到达最低点时，乙球向左摆动到甲球开始运动的高度，此时甲、乙两球的速度大小不为零，因此系统将继续摆动，最终乙球向左摆动所能达到的最大高度高于甲球开始运动的高度，B正确；从甲球开始运动到甲球到达最低点的过程，设杆对甲球做的功为W，根据动能定理得2mgL sin 30°＋W＝×2mv2，解得W＝－，D正确．
考向3　含弹簧的系统机械能守恒问题
1.通过其他能量求弹性势能
根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
2．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
3．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
例3 [2022·湖北卷]如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上．P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止．弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g.若剪断轻绳，P在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足kx＝2μmg，若剪断轻绳后，物块P与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为x，因此P相对于其初始位置的最大位移大小为s＝2x＝，C正确．
针 对 训 练
4.[2023·上海杨浦区模拟](多选)所图甲所示，不可伸长的轻绳跨过光滑轻质定滑轮连接可视为质点的物体A、B，A、B在外力的作用下保持静止，两物体距离水平地面高度相同且轻绳处于绷紧状态．T＝0时刻撤去外力后，0～t1时间内物体A的动能Ek、重力势能Ep(取地面为重力势能零点)随时间t的变化关系如图乙所示．已知物体B的质量mB＝3 kg且始终没有与定滑轮相碰，忽略空气阻力，绳始终未断，重力加速度g取，则(　　)
A．物体A的质量为5 kg
B．0～t1时间内，物体B的机械能增加了21 J
C．当物体A的重力势能与动能相等时，物体
A距地面的高度约为0.57 m
D．物体B离地面的最大高度为2.8 m
答案：BC
解析：因A、B组成的系统机械能守恒，由图乙可知0～t1时间内A的机械能减小量为ΔEA＝140 J－105 J－14 J＝21 J，则B的机械能增加了ΔEB＝21 J，设此过程中A下降的高度为h，则B上升的高度为h，有mBgh＋mBv2＝21 J，mAgh＝35 J，mAv2＝14 J，联立解得mA＝7 kg，h＝0.5 m，v＝2 m/s，选项B正确，A错误；开始时A、B距离地面的高度为h1＝＝ m＝2 m，设物体A的重力势能与动能相等时A下降的高度为h2，对A、B，由机械能守恒定律有(mA＋mB)gh1＝mBg(h1＋h2)＋mAg(h1－h2)＋(mA＋mB)v′2，又mAg(h1－h2)＝mAv′2，解得h2＝ m，此时物体A距地面的高度为hA＝h1－h2＝ m≈0.57 m，选项C正确；当物体A落地时，由机械能守恒定律有(mA＋mB)gh1＝mBg·2h1＋(mA＋mB)v″2，解得v″＝4 m/s，则B还能上升的高度为h3＝＝0.8 m，故物体B离地面的最大高度为hB＝2 m＋2 m＋0.8 m＝4.8 m，选项D错误．
5．如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上，用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为2m，C的质量为5m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后它沿斜面下滑(斜面足够长)，A刚离开地面时，B获得最大速度．求：
(1)斜面倾角α的正弦值；
(2)B的最大速度v.
解析：(1)A刚离开地面时，设弹簧伸长量为x1，对A根据平衡条件可得kx1＝2mg.
此时B有最大速度，由于B、C速度大小始终相等，则此时C也有最大速度，则aB＝aC＝0，设此时线上拉力为FT，则对B受力分析，根据平衡条件可得2mg＋kx1＝FT，解得FT＝4mg，对C受力分析，根据平衡条件可得5mg sin α＝FT，解得sin α＝0.8.
(2)初始系统静止，且线上无拉力，设此时弹簧的压缩量为x2，对B根据平衡条件可得kx2＝2mg，结合(1)问可知x1＝x2，则从释放至A刚离开地面过程中，弹性势能变化量为零；
此过程中A、B、C组成的系统机械能守恒，系统重力势能的减少量等于动能的增加量，即5mg(x1＋x2)sin α－2mg(x1＋x2)＝(5m＋2m)v2，解得v＝4g .
答案：(1)0.8　(2)4g
素养提升
绳索与链条非质点类机械能守恒问题
绳索，链条，液柱等物体在运动过程中往往会发生形变，其重心相对物体的位置也发生变化，因此这类物体不能再视为质点，只有重力做功时，物体整体的机械能守恒. 一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的各个规则部分的重心位置，根据初、末状态物体整体的机械能列式求解．
典例1　[2023·山东名校联盟模拟]如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝ m的光滑半球体上方．给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时铁链速度大小为3 m/s.已知∠AOB＝60°，以OC所在水平面为参考平面，取g＝10 m/s2.则下列说法中正确的是(　　)
A.铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒
B.铁链在初始位置时其重心高度为 m
C.铁链的端点A滑至C点时铁链的重心下降2.8 m
D.铁链的端点A滑至C处时铁链的速度大小为6 m/s
答案：C
解析：铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边铁链的拉力，该拉力做负功，所以这一小段铁链的机械能不守恒，故A错误；根据几何关系可知，铁链长度为L＝＝2 m，铁链全部在球体上时，铁链质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心，即铁链重心在∠AOB的角平分线上，故铁链在初始位置时铁链重心与球心O连线长度等于端点B滑至C处时铁链重心与球心O连线长度，均设为h0，对铁链从开始到端点B滑至C处，根据机械能守恒定律有mgh0－mgh0sin 30°＝，代入数据解得h0＝1.8 m，故B错误；铁链的端点A滑至C点时，铁链重心在C点正下方处，则铁链的端点A滑至C点时铁链重心下降Δh＝h0＋＝2.8 m，故C正确；铁链的端点A滑至C处的过程，对铁链根据机械能守恒定律有mgΔh＝，解得v2＝2 m/s，故D错误．
典例2　[2023·福建厦门模拟](多选)固定在竖直面内的光滑圆管POQ，PO段长度为L，与水平面的夹角为30°，在O处有一插销，OQ段水平且足够长．管内PO段装满了质量均为m的小球，小球的半径远小于L，其编号如图所示．拔掉插销，1号球在下滑过程中(重力加速度为g)(　　)
A.机械能不守恒
B.做匀加速运动
C.对2号球做的功为mgL
D.经过O点时速度v＝
答案：AC
解析：设一共有n个小球，运动过程中，有k(k≤n)个小球在光滑圆管PO内，对n个小球整体分析，根据牛顿第二定律有kmg sin 30°＝nma，解得a＝，对1号球分析，假设2号球对1号球有向上的支持力F，根据牛顿第二定律有mg sin 30°－F＝ma，解得F＝mg sin 30°，则随着k的减小，F逐渐增大，F对1号球做负功，1号球的机械能不守恒，1号球的加速度在减小，故1号球做加速度减小的加速运动，A正确，B错误；所有小球都在管PO中时，它们的重心在管PO的中心，对所有小球，从开始运动到全都滑到OQ段，根据机械能守恒定律有nmg·L sin 30°＝nmv2，解得v＝，故D错误；对1号球分析，从开始到1号球到达O点的过程中，设2号球对1号球做的功为W，根据动能定理可得mgL sin 30°＋W＝mv2，解得W＝－mgL，1号球对2号球做功的绝对值等于2号球对1号球做功的绝对值，所以1号球对2号球做的功为mgL，故C正确．

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