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第1讲　机械振动
课 程 标 准
1.通过实验，掌握简谐运动的特征，能用公式和图像描述简谐运动．
2．通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系，知道单摆的周期与摆长、重力加速度的关系．会用单摆测量重力加速度的大小．
3．通过实验，认识受迫振动的特点，了解产生共振的条件及其应用．
素 养 目 标
物理观念：理解简谐运动的概念及描述，认识单摆和弹簧振子．
科学思维：从动力学和能量两个方面认识简谐运动规律，能解释弹簧振子、单摆等生活中的情境，尝试解读其在生活中的应用．
必备知识·自主落实
一、简谐运动
1．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向____________，质点的运动就是简谐运动．
2．平衡位置：物体在振动过程中____________为零的位置．
3．回复力效果力
(1)定义：使物体返回到____________的力．
(2)方向：总是指向____________．
(3)来源：可以是某一个力，也可以是几个力的________或某个力的________．
4．两种模型
(1)弹簧振子理想物理模型
①水平方向：如图甲所示，回复力由弹簧的弹力提供．
②竖直方向：如图乙所示，回复力由________和弹簧________的合力提供．
(2)单摆
〈1〉单摆的受力特征　　　平衡位置处合力不为0，回复力为0
①回复力：摆球重力沿与摆线________方向的分力，F回＝－mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反．
②向心力：细线的拉力和摆球重力沿________分力的合力充当向心力，F向＝FT－mg cos θ.
〈2〉周期公式T＝2π的两点说明
①l为等效摆长，表示从悬点到摆球________的距离．
②g为当地重力加速度．
二、简谐运动的公式和图像
1．简谐运动的表达式
　　　　　　　　叫初相位
x＝A sin (ωt＋φ)，ωt＋φ为________，ω为______．
　　　ω＝
2．简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的________随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
甲：x＝A sin t
乙：x＝A sin .
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
　　　　　　周期性外力
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动．
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于________的频率，与物体的固有频率________．
2．共振
(1)概念：当驱动力的频率等于________时，物体做受迫振动的振幅最大的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于____________．
(3)共振的特征：共振时________最大．
(4)共振曲线：如图所示．
f＝f0时，A＝________，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅________．
走进生活
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟．摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使钟摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示．
(1)摆锤的运动是简谐运动．(　　)
(2)摆锤的运动是匀变速运动．(　　)
(3)摆锤运动的周期与小球的质量成反比．(　　)
(4)摆锤振动是受迫振动．(　　)
(5)摆锤振动的固有频率随摆的增长而变大．(　　)
(6)摆锤通过最低点时回复力为零，动能最大．(　　)
(7)摆锤通过最低点时合力为零，势能为零．(　　)
关键能力·精准突破
考点一　简谐运动的特点
简谐运动的重要特征
受力特征 回复力 F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，则能量越大，在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能，相对平衡位置的位移大小相等，由对称点向平衡位置O运动时用时相等
针 对 训 练
1.[2022·浙江6月]如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x.套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则(　　)
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为时，其运动周期为2T
2.下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图(a)所示．以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示．已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g.下列说法正确的是(　　)
A.x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先减小后增大
B．x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变大
C．x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等，方向相反
D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
考点二　简谐运动的表达式和图像
由图像可获取的五个信息
(1)判定振动的振幅A和周期T.(如图所示)
(2)判定振动物体在某一时刻的位移．
(3)判定某时刻质点的振动方向：
①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；
②下一时刻位移若减小，质点的振动方向是指向平衡位置．
(4)判定某时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向．
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小．质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小．
考向1　简谐运动图像的理解和应用
例1 某质点做简谐运动的振动图像如图所示，则(　　)
A．t＝0.2 s时，质点的速度方向向上
B．0.2～0.4 s内质点的速度一直减小
C．t＝0.2 s时，质点的加速度方向向下
D．0.2～0.4 s内质点的加速度一直增大
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考向2　简谐运动公式的应用
例2 (多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin (10πt＋) cm.下列说法正确的是(　　)
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针 对 训 练
3.(多选)如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹．已知弹簧的劲度系数为k＝10 N/m，振子的质量为0.5 kg，白纸移动的速度为2 m/s，弹簧弹性势能的表达式Ep＝(y为弹簧的形变量)，不计一切摩擦．在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图像，则下列说法中正确的是(　　)
A．该弹簧振子的振幅为1 m
B．该弹簧振子的周期为1 s
C．该弹簧振子的最大加速度为10 m/s2
D．该弹簧振子的最大速度为2 m/s
4．如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系．t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　)
A．x＝R sin (ωt－)
B．x＝R sin (ωt＋)
C．x＝2R cos (ωt－)
D．x＝2R sin (ωt＋)
考点三　单摆及其周期公式
1．单摆受力的两点说明
(1)当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mg cos θ.
(2)当摆球在最低点时，F向＝最大，FT＝.
2.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关．
例3 (多选)小明在实验室做单摆实验时得到如图甲所示的单摆振动情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置．小明通过实验测得当地重力加速度为g＝9.8 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示．若图甲中单摆向右摆动为正方向，g＝π2 m/s2，下列选项正确的是(　　)
A.此单摆的振动频率是0.5 Hz
B．根据图乙可知开始计时时摆球在C点
C．图中P点向正方向振动
D．根据已知数据可以求得此单摆的摆长为1.0 m
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针 对 训 练
5．两个质量相等的弹性小球分别挂在l1＝1 m，l2＝0.25 m的细绳上，两球重心等高，如图所示．现将B球偏一个很小的角度后放开，从B球开始运动时计算，经过4 s两球相碰的次数为(　　)
A．3次　　　 B．4次
C．5次 D．6次
考点四　受迫振动和共振
1．自由振动、受迫振动和共振的比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣
2.受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换．
针 对 训 练
6.(多选)如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长．当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来．图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　)
A．a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝TcB．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大
C．达到稳定时b摆的振幅最大
D．由图乙可知，此时b摆的周期小于t0
7．为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到使车辆减速的目的．一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应．如果某路面上的减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是(　　)
A．当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B．当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害
C．当汽车以3 m/s的速度行驶时最不颠簸
D．汽车速度越大，颠簸得就越厉害
第八章　机械振动与机械波
第1讲　机械振动
必备知识·自主落实
一、
1．平衡位置
2．回复力
3．(1)平衡位置　(2)平衡位置　(3)合力　分力
4．(1)重力　弹力　(2)垂直　细线方向　重心
二、
1．相位　圆频率
2．位移
三、
1．驱动力　无关
2．(1)固有频率　(2)固有频率　(3)振幅　(4)Am　越小
走进生活
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)×
关键能力·精准突破
1．解析：由于刚开始的一段时间内小球做匀速运动，受力大小与位移大小不成正比，小球做的不是简谐运动，A错误．小球从杆中点到第一次回到杆中点的过程，初、末动能相等，则小球动能的变化周期为，分析可知两根弹簧的总弹性势能的变化周期也为，B正确，C错误．小球的初速度为时，在细杆上匀速运动的时间等于初速度为v时的2倍，小球从接触弹簧到速度减到零的时间等于初速度为v时的，故初速度为时的运动周期小于2T，D错误．
答案：B
2．解析：由简谐运动的对称性可知，0.1 m、0.3 m、0.5 m时木棒处于平衡位置；则x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，A错误；x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到平衡位置)，加速度方向竖直向下，大小逐渐变小，B错误；x＝0.35 m和x＝0.45 m时，由图像的对称性知浮力大小相等，说明木棒在同一位置，竖直方向速度大小相等，方向相反，而这两时刻木棒水平方向速度相同，所以合速度大小相等，方向不是相反，C错误；木棒底端处于水面下最大位移时，F1＝ρgSh1，木棒底端处于水面下最小位移时，F2＝ρgSh2，木棒在竖直方向做简谐运动的振幅A＝＝，D正确．
答案：D
例1　解析：在t＝0.2 s时，质点位于最大位置处，故它的速度为0，故A错误；在0.2～0.4 s内质点在由最大位置处向平衡位置移动，故它的速度在增大，故B错误；在t＝0.2 s时，质点在最大位置处，受到指向平衡位置的力，即向下的力，所以它的加速度方向是向下的，故C正确；在0.2～0.4 s内质点的加速度一直减小，故D错误．
答案：C
例2　解析：MN间距离为2A＝10 cm，故A错误；因ω＝10π rad/s，可知振子的运动周期是T＝＝ s＝0.2 s，故B正确；由x＝5 sin (10πt＋) cm可知t＝0时，x＝5 cm，即振子位于N点，故C正确；由x＝5sin (10πt＋) cm可知t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，故D错误．
答案：BC
3．解析：弹簧振子的振幅为振子偏离平衡位置的最大距离，所以该弹簧振子的振幅为A＝0.5 m，选项A错误；由题图所示振子振动曲线可知，白纸移动x＝2 m，振动一个周期，所以弹簧振子的周期为T＝＝1 s，选项B正确；该弹簧振子所受最大回复力F＝kA＝10×0.5 N＝5 N.最大加速度为a＝＝10 m/s2，选项C正确；根据题述弹簧弹性势能的表达式为Ep＝，弹簧振子振动过程中机械能守恒，由＝kA2可得该弹簧振子的最大速度为vm＝ A＝ m/s，选项D错误．
答案：BC
4．解析：由题图可知t＝0时P点的位移为正的最大，即为R；t＝时质点P的位移为负的最大，即为－R.则质点P的振幅为A＝R，C、D错误．将上述两时刻以及相对应的位移代入A、B选项可知，A错误，B正确．
答案：B
例3　解析：由题图乙知周期T＝2.0 s，则频率f＝＝0.5 Hz，A正确；由题图乙可知，t＝0时刻摆球在负方向最大位移处，所以开始时摆球在B点，B错误；根据振动图像可知P点应该向负方向振动，C错误；由T＝2π ，得l＝＝1.0 m，D正确．
答案：AD
5．解析：两质量相等的弹性小球弹性正碰后，由动量守恒和动能相等知碰后两球交换速度，即B碰A后A以等速开始摆动，B静止，后A到最低点时第二次碰撞，碰后A静止，B摆动，如此往复，所以两小球相碰时均在最低点，由于两小球摆角均很小，故两球均做简谐运动，且T1＝2π ＝2 s，T2＝2π ＝1 s，从B开始运动起经，即0.25 s两球第一次相碰，再经即1 s，两球第二次相碰，再经过，即0.5 s第三次相碰，以此类推4 s内能相碰5次，C选项正确．
答案：C
6．解析：由单摆周期公式T＝2 π ，知固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb，故A正确；因为Ta＝Tc，所以c摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大，b摆的振幅最小，故B正确，C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故b摆的周期等于t0，故D错误．
答案：AB
7．解析：当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为f＝＝ Hz＝ Hz，故A错误；由T＝可知，汽车的固有周期为T＝0.5 s，则汽车的速度v＝＝＝3 m/s，即当速度为3 m/s时，汽车达到共振颠簸得最厉害，故C、D错误，B正确．
答案：B课时分层作业(三十)　机械振动
基础强化练?
1．一弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过二分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．下列能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(　　)
2．某质点的振动图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．1s和3s时刻，质点的速度相同
B．1s到2s时间内，质点的速度与加速度方向相同
C．简谐运动的表达式为y＝2sin (0.5πt＋1.5π)cm
D．简谐运动的表达式为y＝2sin (0.5πt＋0.5π)cm
3．[2023·山东冲刺卷]水平弹簧振子，下端装有一根记录笔，记录纸放置于水平桌面上，当振子振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像，y1、－y2、x1、x2为纸上印记的位置坐标．下列说法正确的是(　　)
A．改变拉动记录纸的速率，可以改变弹簧振子的周期
B．增大弹簧振子的振幅，弹簧振子的周期也会增大
C．如图所示，弹簧振子的振幅为
D．如图所示，弹簧振子的周期为
4．[2023·河北沧州模拟](多选)如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示．不计空气阻力，g取10m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是(　　)
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝(8sinπt) cm
B．单摆的摆长约1m
C．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
5．如图甲所示，摆球在竖直面内做简谐运动．通过力传感器得到摆线拉力F的大小随时间t变化的图像如图乙所示，摆球经过最低点时的速度为v＝m/s，忽略空气阻力，g取10m/s2，π2≈g，求：
(1)单摆的摆长l；
(2)摆球的质量m.
能力提升练?
6．(多选)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止．现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T.则(　　)
A．经时间，小球从最低点向上运动的距离大于
B．经时间，小球从最低点向上运动的距离小于
C．在时刻，小球的动能最大
D．在时刻，小球的动能最小
7.
如图所示，A是竖直固定放置圆环的最低点，经过圆心O、倾角为30°的光滑轨道固定放置在圆环上的B、C两点之间，另一个光滑轨道固定放置在圆环上的D、A两点之间，E是圆环上距离A非常近的点．分别从B、D、E三点由静止释放甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)，则甲到达C点的时间、乙到达A的时间和丙到达A点的时间之比为(　　)
A．2∶∶πB．4∶4∶π
C．2∶2∶πD．4∶2∶π
8.
(多选)如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂一质量为M的圆盘，圆盘处于静止状态．现将质量为m的粘性小球自h高处由静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．圆盘将以碰后瞬时位置作为平衡位置做简谐运动
B．圆盘做简谐运动的振幅大于
C．振动过程中圆盘的最大速度为
D．从碰后瞬时位置向下运动过程中，小球、圆盘与弹簧组成的系统势能先减小后增大
课时分层作业（三十）
1．解析：根据简谐运动的特征，a＝－，经过二分之一周期振子具有沿x轴正方向的最大加速度，由此时振子的位移为负向最大，开始计时时，位移为正向最大，故D正确，选项A、B、C错误．
答案：D
2．解析：y t图像上某点的切线的斜率表示速度；1s和3s时刻，质点的速度大小相等，方向相反，故A错误；1s到2s时间内，质点做减速运动，故加速度与速度反向，故B错误；振幅为2cm，周期为4s，ω＝＝rad/s＝0.5πrad/s，t＝0时，y＝2cm，则φ＝0.5π，故简谐运动的表达式为y＝Asin（ωt＋φ）＝2sin（0.5πt＋0.5π）cm，故C错误，D正确．
答案：D
3．解析：弹簧振子的周期取决于自身性质，拉动记录纸的速率改变，相同时间内图线沿x轴方向移动的距离也随之改变，而距离与速率之比不变，周期不变，故A错误；弹簧振子的周期与振幅无关，故B错误；由图可知，弹簧振子的振幅为，故C错误；记录纸在匀速运动，移动（x2－x1）距离的时间内，弹簧振子已振动了2.5个周期，则周期T＝，故D正确．
答案：D
4．解析：由图像可知，单摆周期为T＝2s，则ω＝＝πrad/s，所以单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝（8sinπt）cm，故A正确；由单摆的周期公式T＝2π解得单摆的摆长为l≈1m，故B正确；由图像可知，从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球在衡位置，所以摆球的重力势能减小，故C错误；由于从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球在衡位置，所以摆球的速度在增大．设绳子与竖直方向夹角为θ，则其所受绳子的拉力为FT＝Gcosθ＋m，此时θ在减小，v在增大，所以拉力在增大，故D错误．
答案：AB
5．解析：（1）由乙图可知单摆周期为T＝2s；
由单摆周期公式T＝2π；
解得l＝1m；
（2）当拉力最大时，即F＝1.02N时，摆球处在最低点．
由牛顿第二定律F－mg＝m；
可解得m＝0.1kg.
答案：（1）1m　（2）0.1kg
6．解析：根据简谐振动的位移公式y＝－Acos，则t＝时，有y＝－Acos＝－A，所以小球从最低点向上运动的距离为Δy＝A－A＝A答案：BC
7．解析：设甲、乙、丙的运动时间分别为t甲、t乙、t丙，圆环的半径为R，对甲受力分析由牛顿第二定律可得其加速度为a甲＝gsin30°，由匀变速直线运动的规律有2R＝a甲t，解得t甲＝2，由等时圆模型的运动规律有2R＝gt，解得t乙＝2，丙的运动时间是等效单摆运动周期的，则有t丙＝×2π，综合比较可得t甲∶t乙∶t丙＝4∶4∶π，B正确．
答案：B
8．解析：因为简谐运动的平衡位置是物体能够自由静止的位置，即应该是小球粘在盘子上一起静止的位置，所以应该比开始位置偏下，故A错误；因为振幅为从平衡位置到最大位移处的距离，根据对称性，则小球和盘再次回到都刚开始碰撞的位置时速度不为零，故开始的位置不是最大位移处，因为开始时Mg＝kx0，小球粘在盘子上一起静止的位置满足（m＋M）g＝kx2，所以刚开始碰撞的位置到平衡位置的距离为Δx＝，故振幅应该大于，故B正确；小球自h高处由静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，则mv＝（m＋M）v1，又因为v2＝2gh，所以两者碰后速度为v1＝，而两者碰撞瞬间满足（m＋M）g－kx0＝ma，即碰后两者向下做加速度减小的加速运动，当a＝0时速度最大，之后做减速运动到最低点，故振动过程中圆盘的最大速度应该大于，故C错误；从碰后瞬时位置向下运动过程中，小球的动能先增大后减小，故由能量守恒定律可得，小球、圆盘与弹簧组成的系统势能先减小后增大，故D正确．
答案：BD(共39张PPT)
第1讲　机械振动
课 程 标 准
1.通过实验，掌握简谐运动的特征，能用公式和图像描述简谐运动．
2．通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系，知道单摆的周期与摆长、重力加速度的关系．会用单摆测量重力加速度的大小．
3．通过实验，认识受迫振动的特点，了解产生共振的条件及其应用．

素 养 目 标
物理观念：理解简谐运动的概念及描述，认识单摆和弹簧振子．
科学思维：从动力学和能量两个方面认识简谐运动规律，能解释弹簧振子、单摆等生活中的情境，尝试解读其在生活中的应用．
必备知识·自主落实
关键能力·精准突破
必备知识·自主落实
一、简谐运动
1．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向____________，质点的运动就是简谐运动．
2．平衡位置：物体在振动过程中__________为零的位置．
3．回复力 效果力
(1)定义：使物体返回到__________的力．
(2)方向：总是指向_________．
(3)来源：可以是某一个力，也可以是几个力的________或某个力的________．
平衡位置
回复力
平衡位置
平衡位置
合力
分力
4．两种模型
(1)弹簧振子 理想物理模型
①水平方向：如图甲所示，回复力由弹簧的弹力提供．
②竖直方向：如图乙所示，回复力由________和弹簧________的合力提供．
重力
弹力
(2)单摆
〈1〉单摆的受力特征　　　平衡位置处合力不为0，回复力为0
①回复力：摆球重力沿与摆线________方向的分力，F回＝－mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反．
②向心力：细线的拉力和摆球重力沿________分力的合力充当向心力，F向＝FT－mg cos θ.
〈2〉周期公式T＝2π的两点说明
①l为等效摆长，表示从悬点到摆球________的距离．
②g为当地重力加速度．
垂直
细线方向
重心
二、简谐运动的公式和图像
1．简谐运动的表达式
　　　　　　　　叫初相位
x＝A sin (ωt＋φ)，ωt＋φ为________，ω为______．
　　　ω＝
相位
圆频率
2．简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的________随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
甲：x＝A sin t
乙：x＝A sin .
位移
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
　　　　　　周期性外力
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动．
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于________的频率，与物体的固有频率________．
驱动力
无关
2．共振
(1)概念：当驱动力的频率等于________时，物体做受迫振动的振幅最大的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于____________．
(3)共振的特征：共振时________最大．
(4)共振曲线：如图所示．
f＝f0时，A＝________，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅________．
固有频率
固有频率
振幅
Am
越小
走进生活
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟．摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使钟摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示．
(1)摆锤的运动是简谐运动．(　　)
(2)摆锤的运动是匀变速运动．(　　)
(3)摆锤运动的周期与小球的质量成反比．(　　)
(4)摆锤振动是受迫振动．(　　)
(5)摆锤振动的固有频率随摆的增长而变大．(　　)
(6)摆锤通过最低点时回复力为零，动能最大．(　　)
(7)摆锤通过最低点时合力为零，势能为零．(　　)
√
×
×
√
×
√
×
关键能力·精准突破
考点一　简谐运动的特点
简谐运动的重要特征
受力特征 回复力 F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，则能量越大，在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特征
对称性特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能，相对平衡位置的位移大小相等，由对称点向平衡位置O运动时用时相等
针 对 训 练
1.[2022·浙江6月]如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x.套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则(　　)
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为时，其运动周期为2T
答案：B
解析：由于刚开始的一段时间内小球做匀速运动，受力大小与位移大小不成正比，小球做的不是简谐运动，A错误．小球从杆中点到第一次回到杆中点的过程，初、末动能相等，则小球动能的变化周期为，分析可知两根弹簧的总弹性势能的变化周期也为，B正确，C错误．小球的初速度为时，在细杆上匀速运动的时间等于初速度为v时的2倍，小球从接触弹簧到速度减到零的时间等于初速度为v时的，故初速度为时的运动周期小于2T，D错误．
2.下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图(a)所示．以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示．已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g.
下列说法正确的是(　　)
A.x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先减小后增大
B．x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变大
C．x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等，方向相反
D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
答案：D
解析：由简谐运动的对称性可知，0.1 m、0.3 m、0.5 m时木棒处于平衡位置；则x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，A错误；x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到平衡位置)，加速度方向竖直向下，大小逐渐变小，B错误；x＝0.35 m和x＝0.45 m时，由图像的对称性知浮力大小相等，说明木棒在同一位置，竖直方向速度大小相等，方向相反，而这两时刻木棒水平方向速度相同，所以合速度大小相等，方向不是相反，C错误；木棒底端处于水面下最大位移时，F1＝ρgSh1，木棒底端处于水面下最小位移时，F2＝ρgSh2，木棒在竖直方向做简谐运动的振幅A＝＝，D正确．
考点二　简谐运动的表达式和图像
由图像可获取的五个信息
(1)判定振动的振幅A和周期T.(如图所示)
(2)判定振动物体在某一时刻的位移．
(3)判定某时刻质点的振动方向：
①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；
②下一时刻位移若减小，质点的振动方向是指向平衡位置．
(4)判定某时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向．
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小．质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小．

考向1　简谐运动图像的理解和应用
例1 某质点做简谐运动的振动图像如图所示，则(　　)
A．t＝0.2 s时，质点的速度方向向上
B．0.2～0.4 s内质点的速度一直减小
C．t＝0.2 s时，质点的加速度方向向下
D．0.2～0.4 s内质点的加速度一直增大
答案：C
解析：在t＝0.2 s时，质点位于最大位置处，故它的速度为0，故A错误；在0.2～0.4 s内质点在由最大位置处向平衡位置移动，故它的速度在增大，故B错误；在t＝0.2 s时，质点在最大位置处，受到指向平衡位置的力，即向下的力，所以它的加速度方向是向下的，故C正确；在0.2～0.4 s内质点的加速度一直减小，故D错误．
考向2　简谐运动公式的应用
例2 (多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin (10πt＋) cm.下列说法正确的是(　　)
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
答案：BC
解析：MN间距离为2A＝10 cm，故A错误；因ω＝10π rad/s，可知振子的运动周期是T＝＝ s＝0.2 s，故B正确；由x＝5 sin (10πt＋) cm可知t＝0时，x＝5 cm，即振子位于N点，故C正确；由x＝5sin (10πt＋) cm可知t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，故D错误．
针 对 训 练
3.(多选)如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹．已知弹簧的劲度系数为k＝10 N/m，振子的质量为0.5 kg，白纸移动的速度为2 m/s，弹簧弹性势能的表达式Ep＝(y为弹簧的形变量)，不计一切摩擦．在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图像，则下列说法中正确的是(　　)
A．该弹簧振子的振幅为1 m
B．该弹簧振子的周期为1 s
C．该弹簧振子的最大加速度为10 m/s2
D．该弹簧振子的最大速度为2 m/s
答案：BC
解析：弹簧振子的振幅为振子偏离平衡位置的最大距离，所以该弹簧振子的振幅为A＝0.5 m，选项A错误；由题图所示振子振动曲线可知，白纸移动x＝2 m，振动一个周期，所以弹簧振子的周期为T＝＝1 s，选项B正确；该弹簧振子所受最大回复力F＝kA＝10×0.5 N＝5 N.最大加速度为a＝＝10 m/s2，选项C正确；根据题述弹簧弹性势能的表达式为Ep＝，弹簧振子振动过程中机械能守恒，由＝kA2可得该弹簧振子的最大速度为vm＝ A＝ m/s，选项D错误．
4．如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系．t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　)
A．x＝R sin (ωt－)
B．x＝R sin (ωt＋)
C．x＝2R cos (ωt－)
D．x＝2R sin (ωt＋)
答案：B
解析：由题图可知t＝0时P点的位移为正的最大，即为R；t＝时质点P的位移为负的最大，即为－R.则质点P的振幅为A＝R，C、D错误．将上述两时刻以及相对应的位移代入A、B选项可知，A错误，B正确．
考点三　单摆及其周期公式
1．单摆受力的两点说明
(1)当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mg cos θ.
(2)当摆球在最低点时，F向＝最大，FT＝.
2.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关．
例3 (多选)小明在实验室做单摆实验时得到如图甲所示的单摆振动情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置．小明通过实验测得当地重力加速度为g＝9.8 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示．若图甲中单摆向右摆动为正方向，g＝π2 m/s2，下列选项正确的是(　　)
A.此单摆的振动频率是0.5 Hz
B．根据图乙可知开始计时时摆球在C点
C．图中P点向正方向振动
D．根据已知数据可以求得此单摆的摆长
为1.0 m
答案：AD
解析：由题图乙知周期T＝2.0 s，则频率f＝＝0.5 Hz，A正确；由题图乙可知，t＝0时刻摆球在负方向最大位移处，所以开始时摆球在B点，B错误；根据振动图像可知P点应该向负方向振动，C错误；由T＝2π ，得l＝＝1.0 m，D正确．
针 对 训 练
5．两个质量相等的弹性小球分别挂在l1＝1 m，l2＝0.25 m的细绳上，两球重心等高，如图所示．现将B球偏一个很小的角度后放开，从B球开始运动时计算，经过4 s两球相碰的次数为(　　)
A．3次　　　 B．4次
C．5次 D．6次
答案：C
解析：两质量相等的弹性小球弹性正碰后，由动量守恒和动能相等知碰后两球交换速度，即B碰A后A以等速开始摆动，B静止，后A到最低点时第二次碰撞，碰后A静止，B摆动，如此往复，所以两小球相碰时均在最低点，由于两小球摆角均很小，故两球均做简谐运动，且T1＝2π ＝2 s，T2＝2π ＝1 s，从B开始运动起经，即0.25 s两球第一次相碰，再经即1 s，两球第二次相碰，再经过，即0.5 s第三次相碰，以此类推4 s内能相碰5次，C选项正确．
考点四　受迫振动和共振
1．自由振动、受迫振动和共振的比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣
2.受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换．
针 对 训 练
6.(多选)如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长．当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来．图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　)
A．a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝TcB．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大
C．达到稳定时b摆的振幅最大
D．由图乙可知，此时b摆的周期小于t0
答案：AB
解析：由单摆周期公式T＝2 π ，知固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb，故A正确；因为Ta＝Tc，所以c摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大，b摆的振幅最小，故B正确，C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故b摆的周期等于t0，故D错误．
7．为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到使车辆减速的目的．一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应．如果某路面上的减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是(　　)
A．当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B．当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害
C．当汽车以3 m/s的速度行驶时最不颠簸
D．汽车速度越大，颠簸得就越厉害

答案：B
解析：当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为f＝＝ Hz＝ Hz，故A错误；由T＝可知，汽车的固有周期为T＝0.5 s，则汽车的速度v＝＝＝3 m/s，即当速度为3 m/s时，汽车达到共振颠簸得最厉害，故C、D错误，B正确．

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