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3.4 力的合成与分解
知识导图
《曹冲称象》是人人皆知的历史故事，请同学们结合下面的图片回忆故事情节，细心体会曹冲是怎样“称出”大象的重量的？采用的是什么方法？
“等效替代”
F
F1
F2
两个力的作用效果＝一个力的作用效果
观察下面的情境图片思考：两位大人对小孩施加的两个力与一位大人对小孩施加的一个力，就“提起小孩”这一作用效果而言，相同吗？它们可以相互替代吗？
G=200N
F1
F2
G=200N
1、合力：若一个力单独作用产生的效果，跟几个力共同作用产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力。
3、合力与分力的关系：
（1）合力与分力是作用效果上的一种等效替代关系
（2）合力是几个分力的共同效果，并不是单独存在的力，因此受力分析中不能同时出现。
一．合力与分力
2、分力：若几个力共同作用产生的效果，跟一个力单独作用产生的效果相同，这几个力就叫那个力的分力。
二、力的合成：
(1)力的合成是惟一的；
(2)只有同一物体所受的力才可合成；
(3)不同性质的力也可以合成；
(4)分力与合力从物理实质上讲是在力的作用效果方面的一种等效替代关系，而不是物体的重复受力．
力的合成应注意以下问题：
（1）定义：求几个力的合力的过程，叫做力的合成．
（2）实质：
就是找一个力去替代作用在物体上的几个已知的力，而不改变其作用效果。
同一直线上二力的合成
同向：
反向：
F1
F2
F1
F2
F合=F1+F2
F合=│F1-F2│
1、最简单的力的合成
方向与F1（大力）的方向相同
结论：
两力同向相加，合力大小F =F1+F2，方向与两力方向相同
两力反向相减，合力大小F =|F1-F2|，方向与较大力的方向相同
F
F1
F2
2、互成角度的二力的怎么合成？
不在一条直线上的二力的合力的大小还等于两分力大小之和或之差吗？
不等于
要研究它们之间的关系，就很有必要将合力与分力的大小和方向一同表示出来，那么用什么形式来表示力的大小和方向？
力的图示
三、平行四边形定则
（1）定义：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么，合力F的大小和方向就可以用这两个邻边之对角线表示出来，这叫做力的平行四边形定则．
标量是简单的加减运算
平行四边形定则是所有的矢量合成都遵循的普遍规律。
F1
F合
F2
θ
（2）应用平行四边形定则时注意四点：
①分力、合力的起点相同
②分力、合力的标度比例一致
③虚、实要分清，力画实线，辅助线画虚线
④求合力时既要得出合力的大小还要得出方向
α
F2
F合
F1
平行四边形定则
拓展
F2
F合
F1
O
三角形定则
共起点
首尾相接
①作图法
根据分力的标度量得对角线的长度就代表了合力的大小，对角线与任一分力的夹角就代表合力的方向
以F1、F2为邻边作平行四边形，从而得到F1、F2之间的对角线
根据两个力的大小和方向，按一定的标度用力的图示从力的作用点起作出两个分力F1、F2
2、互成角度的二力的怎么合成？
15N
F1
F2
F
②计算法
可以根据平行四边形定则作出的示意图，然后根据正、余弦定理，三角函数等几何知识计算合力。
解直角三角形：
F1、F2为分力，F为合力 (三个力F1、F2、F中，有两个力互相垂直)
①已知FI与F2大小，求F大小
F1
F2
F
举一反三
解直角三角形：
F1、F2为分力，F为合力 (三个力F1、F2、F中，有两个力互相垂直)
②已知FI大小、F和F1的夹角α，求F大小
F1
α
F

③已知F2大小、F和F1的夹角α，求F大小
F2
α
F

④已知F1大小、F和F1的夹角α，求F大小
α
F1
F

F1
F合
F2
θ
α
α
F2sinα
F2cosα
F1+F2cosα
合力的大小
合力的方向
解一般三角形
若两个分力大小为F1、F2，它们之间的夹角为α，则：
┍
若两个分力大小为F1=F2=F，它们之间的夹角为α，那么力的合成作出的平行四边形是菱形
合力的大小




F1
F2
F合
α
α/2




解菱形：菱形的对角线垂直平分
F1=F
F5
F3
F4
F2
解多边形：
如图是一个正六边形，F1=F。求五个力的合力F合
F合=6F
方向水平向右
1200
600
解法1：特殊角度先两两合成
F
3F
F5=2F
多力合成
F1=F
F5
F3
F4
F2
解多边形：
如图是一个正六边形，F1=F。求五个力的合力F合
F合=2F+2F+2F=6F
方向水平向右
解法2：平行四边形法两两合成
2F
1200
多力合成
F1
F2
F3
求其合力？
F1
F2
F3
F4
求其合力？
　③．二力平衡法
　　当物体受到多个力而处于平衡状态时，可把其中任意两个力的合力与其余力的合力等效为一对平衡力，这样就可以由其余力的合力求出这对力的合力．
例:如图甲所示，质量为25 kg的物体静止于倾角为θ的斜面上，则斜面对物体的作用力是多少，方向如何？(取g＝10 N/kg)
三、合力与分力的关系
　　1．两分力同向时，合力最大，Fmax=F1+F2.
　　2．两分力反向时，合力最小，Fmin=|F1-F2|，其方向与较大的一个分力方向相同．
　　3．合力的取值范围：|F1-F2|≤F≤F1+F2.
　　4．合力大小随夹角大小变化的规律：夹角θ越大，合力就越小．
　　5．合力可以大于任何一个分力，也可以小于任何一个分力．
例1　两个共点力F1与F2，其合力为F，则(　　)
　　A．合力一定大于任一分力
　　B．合力有可能小于某一分力
　　C．分力F1增大，而F2不变，且它们的夹角不变时，合力F一定增大
　　D．当两个分力大小不变时，增大两分力的夹角，则合力一定减小
　答案　BD
小结
1、合力与分力的关系是“等效替代”。
2、平行四边形定则：不在一条直线的两个力的合成时，以表示这两个力的线段为邻边做平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。
3、合力与分力的大小关系：
（1）合力大小范围︱F1 - F2︱ ≤ F ≤ F1 + F2
合力不一定比分力大
（2）在两个分力F1、F2大小不变的情况下，两个分力的夹角越大，合力越小。
（3）合力不变的情况下，夹角越大，两个等值分力的大小越大。
例3 两个小孩拉一辆车子，一个小孩用的力是45 N，另一个小孩用的力是60 N，这两个力的夹角是90°，求它们的合力．
力的分解
　一、如何分解一个力
　　1．如果没有条件限制，同一个力F可以分解为大小、方向各不相同的无数组分力，但是我们在分解力时，往往要根据实际情况进行力的分解，具体步骤如下：
　　(1)首先是要根据这个力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
　　(2)再根据两个实际分力方向作平行四边形，已知力为对角线，实际分力为邻边．
　　(3)然后根据平行四边形知识和相关的数学知识，求出两分力的大小和方向．
　　2．在进行力的分解时，所谓的实际情况，可理解为实际效果和实际需要．下面举几个典型的例子加以说明：
　　(1)按实际效果分解
力的分解
　
力的分解
力的分解
　(2)按实际需要分解
　　如图所示，在斜面上放一物体，给物体施加一个斜向上的拉力F．此时拉力F的效果既可以看成在竖直方向上提物体，在水平方向上拉物体，也可以看成在垂直斜面方向上提物体，在沿斜面方向上拉物体．应该将该力如何分解，要看题目的要求．
力的分解
　二、力的正交分解
　　1．有时根据处理问题的需要，不按力的作用效果分解，而是把力正交分解(如在求多个力的合力时)，力的正交分解法就是利用数学上的直角坐标系描述力的分解效果，将一个力在直角坐标系中沿相互垂直的两坐标轴分解，如图所示．
　　 力F沿x、y轴分解为两个分力Fx、Fy，其大小分别为Fx=Fcos θ，Fy=Fsin θ.
　　2．正交分解的优点就在于把不在一条直线上的矢量的运算转化成了同一条直线上的运算．
力的分解
　三、力的分解中解的确定
　　力分解时有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)．如果能构成平行四边形(或三角形)，说明该合力能按给定的分力分解，即有解；如果不能构成平行四边形(或三角形)，说明该合力不能按给定的分力分解，即无解．
　　具体情况可分以下几种：
　　1．已知F的大小和方向及两个分力F1和F2的方向，则F1和F2有确定值．
　　2．已知F的大小和方向及F1的大小和方向，则F2有确定值．
3．已知F的大小和方向及F1和F2的大小，则有两种分解方式，如图16-3所示．
　　当|F1-F2|＞F或F＞F1+F2时无解．　　　　　
　　4．已知F的大小和方向及F1的方向，则分解情况有四种，方法是以F的一端A为圆心，以F2的大小为半径画圆．
　　(1)若F2＜Fsin θ，不能分解(即无解)；
　　(2)若F2=Fsin θ，有一解；
　　(3)若Fsin θ＜F2＜F，有两解；
　　(4)若F2≥F，有一解．
经典例题
例【1】：一个力F分解为两个力F1和F2，那么下列说法错误的是(　　)
　　A．F是物体实际受到的力
　　B．F1和F2不是物体实际受到的力
　　C．物体同时受到F1、F2和F三个力作用
　　D．F1和F2共同作用的效果与F相同
C
经典例题
例【2】：三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图16-4甲所示．其中OB是水平的，A端、B端固定．若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳(　　)
　　A．必定是OA　　 B．必定是OB
　　C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC
A
经典例题
例【3】如图甲所示，半圆形支架BAD，两细绳OA和OB结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直位置C的过程中，分析OA绳和OB绳所受力的大小如何变化．
因为绳结点O受重物的拉力F，所以才使OA绳和OB绳受力，因此将拉力F分解为FA、FB(如图16-5乙所示)．OA绳固定，则FA的方向不变，在OB向上靠近OC的过程中,在B1、B2、B3三个位置,两绳受的力分别为FA1和FB1、FA2和FB2、FA3和FB3.从图形上看出，FA是一直逐渐变小的，而FB却是先减小后增大，当OB和OA垂直时，FB最小
C
关于笔记
学习笔记是同学们在学习活动中，通过听讲、观察和思考而记录的内容，是一种重要的学习手段．俗话“说好记性不如烂笔头”，随着时间的推移，所学知识总要有所遗忘，而学习笔记积累了大量的原始资料，稍加整理，就可以使知识系统化，便于日后复习巩固．学习笔记应以注重内容、不拘形式、发展能力为原则，起到拓宽知识、加深理解、训练思维、提高效率的作用．
1．学习笔记应记什么
(1)记重点
①记重要的概念、原理和规律．物理概念、原理、规律的叙述常常是简洁而严谨的，一个关键的字、词往往隐藏着丰富的内涵．因此在物理概念、原理、规律的学习中，必须及时把老师在课堂上分析的这些隐藏着的潜台词整理出来，并做必要的记录．
②记典型习题．典型习题对同学们今后的学习可起到引导、启发和示范作用，能发展分析、综合、归纳和应用知识等多方面的能力，培养思维的逻辑性和推理的严密性．
③记一般规律．通常情况，老师会将类似的或有关联的问题进行分类、概念，整理其分析思路，总结一些规律性的东西．
(2)记疑点、难点
发现问题是认识上的进步，问题得到解决是知识水平的提高．物理学习说到底就是生疑、释疑的过程．每个同学可整理出自己学习情况的“问题集”，以便检查自己学习中遗留的问题，提高学习效率．
(3) 记课外知识
俗话说：“处处留心皆学问．”当今社会处于信息时代，物理学习也应适应时代要求．因此，在物理学习中应广泛地阅读，细心地观察，认真地思考，随时采撷信息，使一些现象与物理知识产生神奇的碰撞，迸发出灵感的火花．
2．记笔记时应注意的问题
(1)处理好“听”、“想”、“记”的关系同学们要逐步养成手脑并用、边听边记的习惯．因高中课堂教学难度、容量都比较大，如果把“听”和“记”绝对分开进行，必然会有一些内容听不到或记不全，这必然影响学习效果．
(2)及时整理笔记由于时间紧迫，笔记可能有各种缺陷，要及时补漏勘误．
(3)要注意笔记的合理布局课堂笔记不要写得过密，行与行、段与段之间要留有适当的空白，以便于修改、补充和整理．
课堂巩固
题【1】：如图甲所示，一倾角为θ的固定斜面上，有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间夹有一重为G的光滑球．试求挡板P由图示的竖直位置缓慢地转到水平位置的过程中，球对挡板压力的最小值是多大？
课堂巩固
题【2】：如图甲所示，位于斜面上的物体A在沿斜面向上的力F作用下处于静止状态，则斜面作用于物体A的静摩擦力(　　)
　　A．方向不可能沿斜面向上
　　B．方向可能沿斜面向下
　　C．大小可能等于零
　　D．大小不可能等于F
课堂巩固
题【3】：一个物体A的重力为G，放在粗糙的水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，如图甲所示，拉力与水平方向的夹角为θ，为拉动此物体做匀速直线运动，则拉力F为多大？

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