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人教版高中数学选择性必修第二册 重难强化训练3(原卷版)
导数的概念及运算
(60分钟　120分)
练易错
易错点1| 混淆直线是曲线“在某点”与“过某点”的切线
[防范要诀]
曲线“在某点”处的切线是以该点为切点的直线，它只有一条；“过某点”的切线，该点一定在直线上，但不一定在曲线上，作出的切线也不止一条．
[对点集训]
1．(5分)曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为(　　)
A．y＝－3x＋3
B．y＝－3x＋1
C．y＝－3
D．x＝2
2．(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(　　)
A．9 B．6
C．－9 D．－6
易错点2| 用错导数公式或运算法则
[防范要诀]
1．幂函数y＝xα与指数函数y＝ax的形式相近，导数公式却有很大区别，解题时易混淆导致计算错误．
2．导数乘法与除法法则形式较特别，使用时一定记清形式与符号，以免出错．
[对点集训]
3．(5分)若f′(x)＝，则函数f(x)可以是(　　)
A． B．
C．x－3 D．ln x
4．(5分)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)
A．2e B．e
C．2 D．1
5.(5分)曲线y＝2x在(0,1)处的切线方程为________．
易错点3| 对复合函数求导时因层次不清致误
[防范要诀]
1．对较复杂函数求导时，先判断该函数是否为复合函数．
2．若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清内层函数和外层函数，合理换元．
[对点集训]
6．(5分)设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于(　　)
A．0 B．60
C．－1 D．－60
7．(5分)函数y＝cos2x＋sin的导数为(　　)
A．－2sin2x＋
B．2sin2x＋
C．－2sin2x＋
D．2sin2x－
练疑难
8．(5分)函数f(x)＝2x2＋3在下列区间上的平均变化率最大的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A．[1,1.5] B．[1,2]
C．[1,3] D．[1,1.05]
9．(5分)运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为(　　)
A．281 B．58
C．85 D．10
10．(5分)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x＋2
11．(5分)若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
12．(5分)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
13．(5分)函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 019)＋f(－2 019)＋f′(2 020)－f′(－2 020)＝(　　)
A．0 B．2 014
C．2 015 D．8
14．(5分)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
15.(5分)若函数f(x)＝－2exsinx，则f′(x)＝________.
16.(5分)已知f(x)＝eπxsinπx，则f′＝________.
17.(5分)曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
18.(10分)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，求a的值．
19.(12分)求过曲线y＝cosx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
20.(13分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
人教版高中数学选择性必修第二册 重难强化训练3(解析版)
导数的概念及运算
(60分钟　120分)
练易错
易错点1| 混淆直线是曲线“在某点”与“过某点”的切线
[防范要诀]
曲线“在某点”处的切线是以该点为切点的直线，它只有一条；“过某点”的切线，该点一定在直线上，但不一定在曲线上，作出的切线也不止一条．
[对点集训]
1．(5分)曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为(　　)
A．y＝－3x＋3
B．y＝－3x＋1
C．y＝－3
D．x＝2
C　解析：因为y′＝f′(x)＝3x2－6x，则曲线y＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y－(－3)＝0×(x－2)，即y＝－3.
2．(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(　　)
A．9 B．6
C．－9 D．－6
D　解析：y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
易错点2| 用错导数公式或运算法则
[防范要诀]
1．幂函数y＝xα与指数函数y＝ax的形式相近，导数公式却有很大区别，解题时易混淆导致计算错误．
2．导数乘法与除法法则形式较特别，使用时一定记清形式与符号，以免出错．
[对点集训]
3．(5分)若f′(x)＝，则函数f(x)可以是(　　)
A． B．
C．x－3 D．ln x
A　解析：′＝＝；
′＝－；′＝－x－4；(ln x)′＝.
4．(5分)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)
A．2e B．e
C．2 D．1
C　解析：由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于y′|x＝1＝e0＋e0＝2，故选C．
5.(5分)曲线y＝2x在(0,1)处的切线方程为________．
y＝xln 2＋1　解析：∵y′＝2xln 2，∴y′|x＝0＝20ln 2＝ln 2＝k，
∴切线方程为y－1＝ln 2(x－0)，即y＝xln 2＋1.
易错点3| 对复合函数求导时因层次不清致误
[防范要诀]
1．对较复杂函数求导时，先判断该函数是否为复合函数．
2．若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清内层函数和外层函数，合理换元．
[对点集训]
6．(5分)设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于(　　)
A．0 B．60
C．－1 D．－60
B　解析：∵f′(x)＝10(1－2x3)9·(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，
∴f′(1)＝－60·12·(1－2×13)9＝60.
7．(5分)函数y＝cos2x＋sin的导数为(　　)
A．－2sin2x＋
B．2sin2x＋
C．－2sin2x＋
D．2sin2x－
A　解析：y′＝(cos2x)′＋(sin)′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′
＝－2sin2x＋cos·.
练疑难
8．(5分)函数f(x)＝2x2＋3在下列区间上的平均变化率最大的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A．[1,1.5] B．[1,2]
C．[1,3] D．[1,1.05]
C　解析：平均变化率为＝，把数据代入可知选C．
9．(5分)运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为(　　)
A．281 B．58
C．85 D．10
B　解析：∵s′＝6t－2，当t＝10时，s′＝6×10－2＝58.
10．(5分)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x＋2
A　解析：∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝1.
∴切线方程为y＝x－1.
11．(5分)若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
A　解析：∵l与直线x＋4y－8＝0垂直，∴k1＝4.
∵y′＝4x3，令4x3＝4得x＝1，∴切点为(1,1)，
∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
12．(5分)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
D　解析：∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，
∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.
令x＝2得f′(2)＝4＋3f′(2)＋，
∴f′(2)＝－.
13．(5分)函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 019)＋f(－2 019)＋f′(2 020)－f′(－2 020)＝(　　)
A．0 B．2 014
C．2 015 D．8
D　解析：∵f′(x)＝acosx＋3bx2，
∴f′(－x)＝acos(－x)＋3b(－x)2＝f′(x)，
∴f′(x)是偶函数，
∴f′(2 020)－f′(－2 020)＝0，f(2 019)＋f(－2 019)＝asin2 019＋b·2 0193＋4＋asin(－2 019)＋b·(－2 019)3＋4＝8.
∴f(2 019)＋f(－2 019)＋f′(2 020)－f′(－2 020)＝8.
14．(5分)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：∵y′＝＝≥－1.
即－1≤tan α<0，∴≤α<π.
15.(5分)若函数f(x)＝－2exsinx，则f′(x)＝________.
－2ex(sinx＋cosx)　解析：f′(x)＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx).
16.(5分)已知f(x)＝eπxsinπx，则f′＝________.
πe　解析：∵f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx＝πeπx(sinπx＋cosπx)，
∴f′＝πe＝πe.
17.(5分)曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
　解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)，f′(x)＝2x－3，令f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝，代入曲线方程得y0＝－，
∴P.
18.(10分)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，求a的值．
解：∵y′＝1＋，y′|x＝1＝2，
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
又∵直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时，曲线变为直线y＝2x＋1，与已知直线平行)，由消去y得ax2＋ax＋2＝0，由Δ＝a2－8a＝0得a＝8.
19.(12分)求过曲线y＝cosx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
解：∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.
曲线在点P处的切线斜率是
y′|x＝＝－sin＝－.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为.
∴所求直线方程为y－＝.
即2x－y－＋＝0.
20.(13分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得
故f(x)＝x－.
(2)证明：设点P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线上点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为··|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

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