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《空间向量与立体几何》全章复习与巩固
1.空间向量的基本运算：
运算类型 几何方法 运算性质
向 量 的 加 法 1平行四边形法则： 加法交换率： 加法结合率：
2三角形法则：
向 量 的 减 法 三角形法则：
向 量 的 乘 法 是一个向量，满足： >0时，与同向； <0时，与异向； =0时， =0 ∥
向 量 的 数 量 积 1．是一个数：； 2．，或 =0．
2.用向量方法讨论垂直与平行
图示 向量证明方法
线线平行 （//） // （分别为直线的方向向量）
线线垂直 （） （分别为直线的方向向量）
线面平行 （//） ，即 （是直线的方向向量，是平面的法向量）．
线面垂直 （） // （是直线的方向向量，是平面的法向量）
面面平行 （//） （分别是平面，的法向量）
面面垂直 （） ，即 （，分别是平面，的法向量）
2.用向量方法求角
图示 向量证明方法
异面直线所成的角 （，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）
直线和平面的夹角 （其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）
二面角 （平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）
要点诠释：
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。
②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。
3.用向量方法求距离
图示 向量证明方法
点到平面的距离 （为平面的法向量）
与平面平行的直线到平面的距离 （是平面的公共法向量）
两平行平面间的距离 （是平面，的一个公共法向量）
【典型例题】
类型一：空间向量的概念及运算
例1． 如图，在平行六面体中，为与的交点． 若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】在四边形中，＝，且·＝0，则四边形是（ ）
A． 矩形 B． 菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
类型二：空间向量的直角坐标运算
例2．已知空间三点，，．设，．
（1）求；
（2）求和的夹角的余弦值；
（2）若向量+与－互相垂直，求的值．
举一反三：
【变式1】已知三点坐标分别为，求点坐标使得=
【变式2】已知向量，，若，⊥，则的值是（　　）
A．或 B．或 C． D．
【变式3】设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
类型三：共线和共面向量定理的应用
例3．已知平行四边形，从平面外一点引向量，，，． 求证：
（1）四点共面；
（2）平面//平面．
举一反三：
【变式1】已知，，且不共面． 若，求的值．
【变式2】下列各组向量共面的是（　　）
A． =(1，0，-1)，=(1，1，0)，=(0，1，1)
B． =(1，0，0)，=(0，1，-1)，=(0，0，1)
C． =(1，1，1)，=(1，-1，0)，=(1，0，1)
D． =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
类型四：空间向量在立体几何中的应用
例4． 正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图②所示)．在图②中求平面ABD与平面EFD的夹角的余弦值．
举一反三：
【变式1】四棱锥中，底面是矩形，平面，，．
以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
【变式2】正方形的边长为1，⊥平面，且，分别是的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)求直线到平面的距离．
例5．如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。
（Ⅰ）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；
（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论．
举一反三：
【变式】如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)
(Ⅰ)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【巩固练习】
一、选择题
1．平行六面体中，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( )
A．与共线 B．与同向 C．与反向 D．与共面
3．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，
在平面内的是（ ）
A．（1，-1，1） B．（1，3，） C．（1，－3，） D．（－1，3，）
4．已知点，则面的法向量可以是（ ）
A．（1，1，1） B． C． D．（-1，0，1）
5．已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝(0≤≤1)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
8．已知＝(x，2，-4)，＝(-1，y，3)，＝(1，-2，z)，且，，两两垂直，则(x，y，z)＝______．
9．已知向量，的夹角为 。
10．设，则的中点到点的距离＝________．
三、解答题
13. 如图，四面体中，，，，，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
14.如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
(1)求证：AB∥FG；
(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
15.四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若平面，求平面与平面的夹角大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得∥平面．若存在，求∶的值；若不存在，试说明理由．

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