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2022-2023学年辽宁省抚顺市新抚区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 下列命题中，是假命题的是( )
A. 邻补角一定互补 B. 平移不改变图形的形状和大小
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 相等的角不一定是对顶角
3. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是( )
A. 了解一批圆珠笔的使用寿命
B. 了解全国九年级学生身高的现状
C. 考查人们保护海洋的意识
D. 检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
4. 若，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
5. 如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值是( )
A. B. C. D.
6. 若不等式组有解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为( )
A. 、 B. 、 C. 、 D. 、
8. 如图，，，平分，则的大小为( )
A. B. C. D.
9. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 的平方根是______ ．
12. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是______．
13. 第一象限内有两点，，将线段平移使点，分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______ ．
14. 如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形左侧是一个长方形的一角，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成与若，则 ______ ．
15. 若方程组的解是，则方程组的解是______．
16. 若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解方程组：．
18. 本小题分
解不等式组：；
已知一个正数的两个平方根是和，求这个正数．
19. 本小题分
如图，直线与相交于点，，，，求证：．
证明：已知，
______
又______ ，
______ ______
已知，
______
即，
______ ______
______
20. 本小题分
书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元．
求毛笔和宣纸的单价；
计划用不多于元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计，则学校最多可以购买多少支毛笔？
21. 本小题分
为了解某校学生在五一假期阅读的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得他们的阅读时间单位：，并对数据时间进行整理、描述给出了部分信息：
如图是阅读时间频数分布直方图数据分成组：，，，，，如图是阅读时间扇形统计图，根据以上信息，回答下列问题：
本次调查的样本容量是______ ；
补全图；
图中，所在的扇形的圆心角的度数是______ ；
已知该校共有名学生，估计该校学生在五一假期阅读时间不少于的人数．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、，将向右平移个单位，再向下平移个单位得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点．
请画出平移后的；
若为边上的一个点，平移后点的对应点的坐标为______ ；
平移过程中，边扫过的面积为______ ．
23. 本小题分
如图，，点在直线，之间，连接，．
写出，，之间的数量关系，并说明理由；
若，，求的度数；
24. 本小题分
某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价元，领带每条的定价为元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案：
方案一：购买一套服装赠送一条领带；
方案二：服装和领带均按定价的九折出售．
某商店老板现要到服装厂采购服装套，领带条，请根据的不同情况，帮助商店老板选择最省钱的方案．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，顶点，，的坐标分别为，，，且．
顶点，，的坐标；
求的面积；
为坐标轴上的动点，当与面积相等时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
是有理数，
，是有理数，是无理数，
选项A，，不符合题意，选项D符合题意，
故选：．
运用有理数和无理数的概念进行求解．
此题考查了有理数和无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
2.【答案】
【解析】解：邻补角一定互补，故A是真命题，不符合题意；
平移不改变图形的形状和大小，故B是真命题，不符合题意；
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故C是假命题，符合题意；
相等的角不一定是对顶角，故D是真命题，不符合题意；
故选：．
根据邻补角概念，平移的性质，平行线性质，对顶角性质逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
3.【答案】
【解析】解：了解一批圆珠笔的使用寿命，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
B.了解全国九年级学生身高的现状，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
C.考查人们保护海洋的意识，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
D.检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合进行普查，故本选项符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】
【解析】解：，
，，，
而不一定大于，例如，．
故选：．
利用不等式的基本性质判断即可．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：把代入方程得：
，
解得：，
故选：．
把代入方程得出，再求出即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到，
解得：．
故选：．
不等式组整理后，利用有解的条件确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解二元一次方程组，利用方程组的解满足每个方程即可．
根据方程组的解满足方程组中的每个方程，代入求值可求出被遮盖的前后两个数．
【解答】
解：将代入第二个方程可得，
将，代入第一个方程可得
被遮盖的前后两个数分别为：，，
故选C．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，
平分，
，
，
故选：．
由平角可得，利用平行线的性质及角平分线可得：，，再利用平行线的性质即可得出结果．
本题主要考查平行线的性质及利用角平分线进行计算，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：由平移性质得≌，，，，
，，，
，
故选：．
根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，然后利用梯形面积公式求解即可．
本题考查平移性质、全等三角形的性质、梯形面积公式，熟练掌握平移性质，得到是解答的关键．
10.【答案】
【解析】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列，
依此类推，则第一列有个点，第二列有个点，，
第列有个点，则列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，
，
第个点一定在第列，由下到上是第个点，
因而第个点的坐标是，
故选：．
应先判断出第个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．
本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
11.【答案】
【解析】解：，，
的平方根是．
故答案为：．
由平方根的定义可得答案．
本题主要考查了平方根的定义．本题的易错点是忽略这个答案．
12.【答案】
【解析】解：的解集为，
，
．
本题是关于的不等式，应先只把看成未知数，求得的解集，再根据数轴上的解集，来求得的值．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13.【答案】或
【解析】解：设平移后点、的对应点分别是、．
分两种情况：
在轴上，在轴上，
则横坐标为，纵坐标为，
，，即，．
点平移后的对应点的坐标是；
在轴上，在轴上，
则纵坐标为，横坐标为，
，，即：，．
点平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点平移后的对应点的坐标是或．
故答案为：或．
设平移后点、的对应点分别是、分两种情况进行讨论：在轴上，在轴上；在轴上，在轴上．
此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
14.【答案】
【解析】解：如图，由平行知，，
，，
，
．
故答案为：．
由平行知内错角相等，得，由外角性质得，得出结果．
本题考查平行的性质，三角形外角的性质定理，掌握相关定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：方程组可变形为，
的解是，
，，
，，
方程组的解是，
故答案为：．
根据题意得，，分别求出方程的解即可得到方程组的解．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
由得：，
由得：，
原不等式组恰有个整数解，
，解得：，
故答案为：．
分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数所满足的条件，求解即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于的不等式组是解答此题的关键．
17.【答案】解：
；
，
由得：，
将代入并化简得：，
解得：，
将代入得，
故方程组的解为．
【解析】首先计算有理数的乘方，算术平方根和立方根，然后计算加减；
利用代入消元法求解即可．
此题考查了有理数的乘方，算术平方根和立方根，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
18.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为．
和是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：，
解得．
则这个正数是．
【解析】分别求解两个不等式，再取其解集的公共部分即可得解；
根据正数的两个平方根互为相反数列出方程求出，再求出，然后平方即为这个数．
本题主要考查了解不等式组以及平方根，熟练求解一元一次不等式组以及掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
19.【答案】两直线平行，同位角相等 已知 等量代换 等式的性质 等量代换 内错角相等，两直线平行
【解析】解：已知，
两直线平行，同位角相等，
已知，
等量代换，
已知，
等式的性质，
即，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换；等式的性质；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
由，得到，再推出，得到，根据平行线的判定即可证明．
此题主要考查了平行线的性质与判定，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
20.【答案】解：设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：毛笔的单价为元，宣纸的单价为元；
设可以购买支毛笔，则购买宣纸的数量为张，
根据题意可得：，
解得：，
答：学校最多可以购买支毛笔．
【解析】设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，根据“购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设可以购买支毛笔，则购买宣纸的数量为张，根据中所求，结合计划用不多于元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计得出不等式求出答案．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】
【解析】解：人，
这次参与调查的学生人数为人，即样本容量为；
由题意得，这一组的人数为人，
补全统计图如下所示：
，
所在的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；
人，
答：估计该校学生在五一假期阅读时间不少于的人数大约有人．
用的人数除以其人数占比求出参与调查的人数即可求出样本容量；
先求出的人数，再补全统计图即可；
用乘以的人数占比即可得到答案；
用乘以样本中阅读时间不少于的人数占比即可得到答案．
本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计整体，正确读懂统计图是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图所示，即为所求；
先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
又，
平移后点的对应点的坐标为．
故答案为：；
解：平移过程中，边扫过的面积为：
．
故答案为：．
根据平移的规律，确定对应点，连接即可；
根据平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”，即可求得；
利用一个矩形的面积减去个三角形的面积计算即可．
本题主要考查作图平移变换，平移的坐标，解题的关键是掌握平移变换的性质，并据此得出变换后的对应点．
23.【答案】解：，
理由如下：过点作，如图，
，
，
，
，
，
，
；
由得，
又，，
，
，
解得．
【解析】过点作，利用平行线的判定及性质即可得解；
由得，将代入即可得解．
本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】解：按优惠方案购买，应付款：元，
按优惠方案购买，应付款：元，
设元，
当时，即且为整数时．选方案比方案更省钱，
当时，即时．选两个方案一样省钱，
当时，即且为整数时．选方案比方案更省钱，
如果同时选择方案和方案，那么为了获得厂方赠送领带的数量最多．同时享有折优惠，
可考虑设计别的方案，就是：
先按方案购买套西服并获赠条领带，然后余下的条领带按优惠方案购买，
应付款：元方案与方案比较，显然方案更省钱，
方案与方案比较，当时．解得，即当时．方案比方案更省钱．
综上所述，当时，按方案最省钱．
【解析】由于题目结论中没有明确规定客户只能按厂方提供的两种方案中的某一种一次性购买，故在选择时可以不局限于上述两种方案，还可以采用分批购买的方案，即存在着“第三种”隐含方案，用方案表示：先按方案购买套西装，再按方案购买多于条的那部分领带，设需付款元，则即显然当时，令，则，令，则，令，则，因为已知条件中，故应选择方案，即先按方案购买套西装，再按方案购买多于条的那部分领带的这种方案省．
本题的关键是要避免直接比较两种方案就得出哪种方案更省钱，而忽略了隐藏的第三种方案．
25.【答案】解：，
，
解得：，
，，的坐标是，，，
如图，过作轴于点，过作轴于点，
由得：，，，
，，，，
，
，
，
，
当在轴上时，设，如图，过作轴于点
，
，，
，
，
解得：或，
点，
当在轴上时，设，如图，
，
，
，
解得：或，
点或，
综上可知：点．
【解析】利用非负数的性质列出方程组，求出，，的值即可；
添加辅助线，进行图形面积组合计算即可；
分点在轴，轴两种情况讨论即可．
此题考查三角形面积，坐标与图形的性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
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