资源简介

专题强化九　带电粒子在磁场中运动的临界、极值及多解问题
【素养目标】　
1.会分析带电粒子在匀强磁场中的临界问题和多解问题.
2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应临界状态或极值的轨迹．
题型一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界、极值问题
1．处理临界问题的两个方法
数理结合法 利用“矢量图”“边界条件”等求临界值利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值
抓关键词法 “恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等临界状态词
2.几何法确定粒子的临界轨迹
求解带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，难点是确定粒子的临界轨迹．一般步骤如下：
例1 利用磁场可以屏蔽带电粒子．如图所示，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为r和3r的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，磁感应强度大小为B，其横截面如图所示．一带电粒子从P点正对着圆心O沿半径方向射入磁场．已知该粒子的比荷为k，重力不计．为使该带电粒子不能进入图中实线圆围成的区域内，粒子的最大速度为(　　)
A．kBrB．2kBr
C．3kBr D．4kBr
针 对 训 练
1.[2023·湖南明德中学模拟](多选)如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　)
A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为3∶2
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为d2
2．[2023·滨州模拟]如图所示，太极图由“阴鱼”和“阳鱼”构成，其边界是以O点为圆心、R为半径的圆，内部由以O1点和O2点为圆心、等半径的两个半圆分割成上下两部分，其中上部分为“阳鱼”，下部分为“阴鱼”．O1、O2、O三点共线，A、C两点分别在半圆O1与O2的圆周上且θ＝60°，CO2⊥O1O2.“阳鱼”内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，“阳鱼”与“阴鱼”的边界上无磁场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子P(不计粒子所受重力)从O点以大小为v0的速度沿OO2方向射入“阳鱼”，并从A点沿AO1方向进入“阴鱼”．
(1)求“阳鱼”内磁场的磁感应强度大小B；
(2)若同种粒子Q从C点沿CO2方向射入“阳鱼”，要使粒子Q不会进入“阴鱼”，求粒子Q从C点射入“阳鱼”时的速度v大小应满足的条件．
题型二　带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
例2[2022·湖北卷](多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
针 对 训 练
3.[2023·湖北华中师大一附中模拟](多选)如图，空间中有一个圆心角为90°的扇形区域MON，扇形区域内(含边界)分布方向垂直纸面向外的匀强磁场，扇形区域外分布方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B.一电荷量为e、质量为m的电子以某一速度沿MO方向射入扇形区域，最终能够经过N点．则粒子从M点运动到N点的时间可能为(　　)
A. B．C． D．
“数学圆”方法在电磁学中的应用
1.“放缩圆”模型法的应用
“放缩 圆”法 粒子射入方向确定，但速率v或磁感应强度B变化时，以入射点为定点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件．
典例1　(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是(　　)
A.若该粒子的入射速度为v＝，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B.若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
C.若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
D.当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
2．“旋转圆”模型法的应用
“旋转圆” 法 粒子速率v一定，但射入的方向变化时，以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件．
典例2　如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为(　　)
A.1∶1 B．2∶3
C.∶2 D．∶3
3．“平移圆”模型法的应用
“平移 圆”法 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如左图所示(粒子带负电)．
典例3　(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　)
A.粒子在磁场中的运动半径为
B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C.粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
专题强化九　带电粒子在磁场中运动的临界、极值及多解问题
题型一
例1　解析：当速度最大时，粒子轨迹圆会和实线圆相切，如图
设轨迹圆的半径为R，在△AOO′中，根据勾股定理有R2＋(3r)2＝(R＋r)2，解得R＝4r，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，又知＝k，联立解得最大速度为v＝4kBr，故选D.
答案：D
1.
解析：如图所示，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r＝d，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得粒子运动的速度大小为v＝，选项B正确；由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，选项C错误；由图甲可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA区域的面积，即为d2＋πd2＝d2，选项D正确；由图可知，当速度垂直OB时，粒子刚好从D点射出，
如图所示，由几何关系可知，当速度方向与OC的夹角为30°时，恰好从C点射出，则从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为：90°∶60°＝3∶2，选项A正确．
答案：ABD
2．解析：(1)粒子P在“阳鱼”内做圆周运动的轨迹如图甲所示，根据几何关系，轨迹圆的半径r0＝tan ，由qv0B＝，解得B＝.
(2)设粒子Q以大小为v1的速度从C点沿CO2方向射入“阳鱼”时，其轨迹恰好与圆O1相切，如图乙所示．根据几何关系，轨迹圆的半径为R，由qv1B＝，解得v1＝2v0，粒子Q从C点射入“阳鱼”时的速度大小应满足的条件为v≥2v0．
答案：(1)　(2)v≥2v0
题型二
例2　解析：若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图
根据几何关系则有R＝L，qvB＝m
可得v＝＝kBL
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
可得v＝＝kBL
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
v＝＝kBL(n＝1，2，3…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1，2，3…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.故可知B、C正确，A、D错误．
答案：BC
3．解析：把扇形n等分，当n取奇数时，由图甲可知，t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，即t＝T＋()T＝(n＝1，3，5，…)；当n为偶数时，由图乙结合对称性可得t′＝T＝(n＝2，4，6，…)．当n＝1时，可得t1＝，选项A正确．当n＝2时，可得t2＝，选项B错误，C正确．当n＝3时，可得t3＝，选项D正确．
答案：ACD
典例1　
解析：若粒子射入磁场时速度为v＝，则由qvB＝m可得r＝l，由几何关系可知，粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，选项A正确；因为r＝，所以v＝，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(＋1)l，故其最大速度为v＝，选项B正确，C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t＝，选项D正确．
答案：ABD
典例2　
解析：粒子在磁场中运动时，qvB＝，粒子运动轨迹半径R＝＝d；由左手定则可得，粒子沿逆时针方向偏转，做圆周运动；粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端，距A点的竖直距离L1＝＝d；运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，距A点的竖直距离L2＝＝d，所以粒子在PQ边界射出的区域长度为L＝L1＋L2＝d.因为R答案：C
典例3　解析：带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，轨迹圆弧对应的弦长越短，粒子在Ⅱ区域的运动时间越短(劣弧)，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确．
答案：CD课时分层作业(四十二)　带电粒子在磁场中运动的临界、极值及多解问题
?基础强化练?
1.如图所示，半径R＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁感强度B＝0.33T，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可沿纸面向各方向射出速率均为v＝3.2×106m/s的α粒子，已知α粒子的质量m＝6.6×10－27kg，电荷量q＝3.2×10－19C，则该α粒子通过磁场空间的最大偏转角为(　　)
A．30°B．45°
C．60°D．90°
2.(多选)如图所示，在某空间的一个区域内有一直线PQ与水平面成45°角，在PQ两侧存在垂直于纸面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B.位于直线上的a点有一粒子源，能不断地水平向右发射速率不等的相同粒子，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，所有粒子运动过程中都经过直线PQ上的b点，已知ab＝d，不计粒子重力及粒子相互间的作用力，则粒子的速率可能为(　　)
A．B．
C．D．
3.
[2023·安徽淮北模拟](多选)如图所示，直角三角形abc区域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场(边界无磁场)，∠b＝30°，ac＝L，磁场的磁感应强度大小为B.一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子从ab边中点O沿平行于ac方向以不同的速率射入磁场，能从ac边射出磁场的粒子的速度大小可能是(　　)
A．0.4B．0.46
C．0.49D．0.6
4.
[2023·广东潮州]如图所示，在竖直面内半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，在圆形磁场区域内水平直径上有一点P，P到圆心O的距离为，在P点处有一个发射正离子的装置，能连续不断地向竖直平面内的各方面均匀地发射出速率不同的正离子．已知离子的质量均为m，电荷量均为q，不计离子重力及离子间相互作用力．
(1)若所有离子均不能射出圆形磁场区域，求离子的速率取值范围．
(2)若离子速率大小v0＝，则离子可以经过的磁场的区域的最高点与最低点的高度差是多少？
?能力提升练?
5．[2023·湖北娄底模拟]磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留等运动．利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用，如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小都是B.有一质量为m、所带正电荷电荷量为q的带电粒子从P点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R
B．粒子从P点射入磁场的速度大小为
C．粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为
D．如果圆形区域外的磁场在一个以O为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少为(6＋4)πR2
6.[2023·广东韶关市二模]扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆．其简化模型如图Ⅰ、Ⅱ两处的条形均强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面．一质量为m、电量为－q、重力不计的粒子，从行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角θ＝30°.
(1)当Ⅰ区宽度L1＝L、磁感应强度大小B1＝B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0；
(2)若L2＝L1＝L、B1＝B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件；
(3)若B1≠B2，L1≠L2，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出．为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求B1、B2、L1、L2之间应满足的关系式．
7.如图，在xOy坐标系的第一象限内，直线y＝l－kx(k＞0)的上方有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B.在P(0，l)点有一粒子源，能以不同速率沿与y轴正方向成60°角发射质量为m、电荷量为q(q＞0)的相同粒子．这些粒子经磁场后都沿－y方向通过x轴，且速度最大的粒子通过x轴上的M点，速度最小的粒子通过x轴上的N点．已知速度最大的粒子通过x轴前一直在磁场内运动，NM＝l，不计粒子的重力，求：
(1)粒子最大速度的值与k的值；
(2)粒子从P点到穿过x轴经历的最长时间；
(3)有界磁场的最小面积．
课时分层作业（四十二）
1．解析：放射源发射的α粒子的速率一定，则它在匀强磁场中的轨道半径为定值，即r＝＝m＝0.2m＝20cm.
α粒子在圆形磁场区的圆弧长度越大，其偏转角度也越大，而最长圆弧是两端点在圆形磁场区的直径上，又r＝2R，则此圆弧所对的圆心角为60°，也就是α粒子在此圆形磁场区的最大偏转角为60°.轨迹如图所示．选项C正确．
答案：C
2.
解析：由题意可知粒子可能的运动轨迹如图所示
所有圆弧的圆心角均为90°，所以粒子运动的半径r＝·（n＝1，2，3，…），由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，则v＝＝·（n＝1，2，3…），故A、B、C正确，D错误．
答案：ABC
3．解析：
能从ac边射出磁场的粒子的临界条件是，轨迹分别与ac、bc相切，如图中1、2两条实线所示，粒子的轨迹刚好与ac边相切时，由几何关系可知r1＝＝L；粒子的轨迹刚好与bc边相切时，由几何关系可知r2＝＝，则粒子的轨迹半径范围为L＜r≤.粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝，联立可得答案：BC
4．解析：（1）如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得qvB＝m，
若所有离子均不能射出圆形磁场区域，则所有离子运动的最大半径r≤，解得v≤.
（2）当离子速率大小v0＝时，由qv0B＝可知此时离子圆周运动的轨迹半径r0＝，
离子经过最高点和最低点的运动轨迹如图，
由几何关系知h＋＝R2，解得h1＝R，
由几何关系知h2＝＋sin60°＝R，
故最高点与最低点的高度差h＝h1＋h2＝R.
答案：（1）v≤　（2）R
5.
解析：因为粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，画出粒子轨迹示意图如图所示，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，则有tan30°＝，可得r＝R，选项A错误；则qvB＝m可得v＝，选项B错误；粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为T＝＝，粒子从P点射出到第一次回到P点所需要的时间为t＝＋＋＝，选项C错误；则几何关系可知，圆环的大圆半径为（2＋）R，小圆半径为R，所以其面积为S＝π[（2＋）R]2－πR2＝（6＋4）πR2，选项D正确．
答案：D
6．解析：（1）由题意可得粒子运动轨迹大致如下图所示
设粒子射入磁场的速度为v，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为R1，由动能定理和牛顿第二定律可得qU＝mv2，B0qv＝m
由几何知识得L＝2R1sinθ
联立解得B0＝
粒子在Ⅰ区运动的时间为t0＝＝.
（2）由题意可得粒子运动轨迹大致如下图所示
设粒子在磁场Ⅱ区中做圆周运动的半径为R2，由牛顿第二定律得qvB2＝m
为使粒子能返回Ⅰ区，应满足R2＋R2Lsinθ≤L
代入数据解得B2≥.
（3）由题意可得粒子运动轨迹大致可能如下图所示两种情况
设粒子射出磁场Ⅰ区时速度与水平方向的夹角为α，由几何知识可得
L1＝R1sinθ＋R1sinα（或L1＝R1sinθ－R1sinα）
L2＝R2sinθ＋R2sinα（或L2＝R2sinθ－R2sinα）
又根据洛伦兹力提供向心力有qvB1＝m，
qvB2＝m
联立解得B2L2＝B1L1.
答案：（1）　　（2）B2≥　
（3）B2L2＝B1L1
7．解析：（1）设粒子的最大速度为v1，由于速度最大的粒子一直在磁场内运动，过P点作速度的垂线交x轴于O1点，就是速度为v1的粒子做圆周运动的圆心，PO1即为半径R1，由几何关系可知R1sin60°＝yP，由牛顿运动定律有qv1B＝m，解得R1＝l1，v1＝，由于所有粒子离开磁场时方向均沿y轴负方向，所以它们在磁场中偏转的角度均相同．即从磁场射出的粒子，射出点一定在PM连线上，PM连线即为y＝l－kx直线，k＝＝，解得k＝.
（2）所有粒子在磁场中运动的时间均相等，速度小的粒子离开磁场后再做匀速直线运动，速度最小的粒子在磁场外运动的位移最大，时间最长．设粒子在磁场中运动的时间为t1，T＝，t1＝，设速度最小的粒子在磁场中的半径为R2，速度为v2，则ON＝OM－NM＝l，R2sin30°＋R2＝ON，由牛顿运动定律有qv2B＝m，解得R2＝，v2＝，最小速度的粒子离开磁场后运动的时间为t2，t2＝，速度最小的粒子从离开P点到打在x轴上经历的时间t＝t1＋t2＝.
（3）磁场的最小面积为图中PCM阴影部分的面积
S＝（πR－Rsin60°）－（πR－Rsin60°），解得S＝l2.
答案：（1）　　（2）
（3）l2(共30张PPT)
专题强化九　带电粒子在磁场中运动
的临界、极值及多解问题
【素养目标】　
1.会分析带电粒子在匀强磁场中的临界问题和多解问题.
2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应临界状态或极值的轨迹．
题型一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界、极值问题
1．处理临界问题的两个方法
数理结合法 利用“矢量图”“边界条件”等求临界值利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值
抓关键词法 “恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等临界状态词
2.几何法确定粒子的临界轨迹
求解带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，难点是确定粒子的临界轨迹．一般步骤如下：
例1 利用磁场可以屏蔽带电粒子．如图所示，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为r和3r的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，磁感应强度大小为B，其横截面如图所示．一带电粒子从P点正对着圆心O沿半径方向射入磁场．已知该粒子的比荷为k，重力不计．为使该带电粒子不能进入图中实线圆围成的区域内，粒子的最大速度为(　　)
A．kBr B．2kBr
C．3kBr D．4kBr
答案：D
解析：当速度最大时，粒子轨迹圆会和实线圆相切，如图设轨迹圆的半径为R，在△AOO′中，根据勾股定理有R2＋(3r)2＝(R＋r)2，解得R＝4r，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，又知＝k，联立解得最大速度为v＝4kBr，故选D.
针 对 训 练
1.[2023·湖南明德中学模拟](多选)如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　)
A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为3∶2
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为d2
答案：ABD
解析：如图所示，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r＝d，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得粒子运动的速度大小为v＝，选项B正确；由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，选项C错误；
由图甲可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA区域的面积，即为d2＋πd2＝d2，选项D正确；由图可知，当速度垂直OB时，粒子刚好从D点射出，
如图所示，由几何关系可知，当速度方向与OC的夹角为30°时，恰好从C点射出，则从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为：90°∶60°＝3∶2，选项A正确．
2．[2023·滨州模拟]如图所示，太极图由“阴鱼”和“阳鱼”构成，其边界是以O点为圆心、R为半径的圆，内部由以O1点和O2点为圆心、等半径的两个半圆分割成上下两部分，其中上部分为“阳鱼”，下部分为“阴鱼”．O1、O2、O三点共线，A、C两点分别在半圆O1与O2的圆周上且θ＝60°，CO2⊥O1O2.“阳鱼”内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，“阳鱼”与“阴鱼”的边界上无磁场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子P(不计粒子所受重力)从O点以大
小为v0的速度沿OO2方向射入“阳鱼”，并从A点
沿AO1方向进入“阴鱼”．
(1)求“阳鱼”内磁场的磁感应强度大小B；
(2)若同种粒子Q从C点沿CO2方向射入“阳鱼”，
要使粒子Q不会进入“阴鱼”，求粒子Q从C点射
入“阳鱼”时的速度v大小应满足的条件．
解析：(1)粒子P在“阳鱼”内做圆周运动的轨迹如图甲所示，根据几何关系，轨迹圆的半径r0＝tan ，由qv0B＝，解得B＝.
(2)设粒子Q以大小为v1的速度从C点沿CO2方向射入“阳鱼”时，其轨迹恰好与圆O1相切，如图乙所示．根据几何关系，轨迹圆的半径为R，由qv1B＝，解得v1＝2v0，粒子Q从C点射入“阳鱼”时的速度大小应满足的条件为v≥2v0．
题型二　带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
例2 [2022·湖北卷](多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
答案：BC
解析：若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图
根据几何关系则有R＝L，qvB＝m可得v＝＝kBL
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
可得v＝＝kBL
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
v＝＝kBL(n＝1，2，3…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1，2，3…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.故可知B、C正确，A、D错误．
针 对 训 练
3.[2023·湖北华中师大一附中模拟](多选)如图，空间中有一个圆心角为90°的扇形区域MON，扇形区域内(含边界)分布方向垂直纸面向外的匀强磁场，扇形区域外分布方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B.一电荷量为e、质量为m的电子以某一速度沿MO方向射入扇形区域，最终能够经过N点．则粒子从M点运动到N点的时间可能为(　　)
A. B． C． D．
答案：ACD
解析：把扇形n等分，当n取奇数时，由图甲可知，t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，即t＝T＋()T＝(n＝1，3，5，…)；当n为偶数时，由图乙结合对称性可得t′＝T＝(n＝2，4，6，…)．当n＝1时，可得t1＝，选项A正确．当n＝2时，可得t2＝，选项B错误，C正确．当n＝3时，可得t3＝，选项D正确．
“数学圆”方法在电磁学中的应用
1.“放缩圆”模型法的应用
“放缩 圆”法 粒子射入方向确定，但速率v或磁感应强度B变化时，以入射点为定点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件．
典例1　(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l.
则下列关于粒子运动的说法中正确的是(　　)
A.若该粒子的入射速度为v＝，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B.若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
C.若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
D.当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
答案：ABD
解析：若粒子射入磁场时速度为v＝，则由qvB＝m可得r＝l，由几何关系可知，粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，选项A正确；因为r＝，所以v＝，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(＋1)l，故其最大速度为v＝，选项B正确，C错误；
粒子在磁场中的运动周期为T＝，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t＝，选项D正确．
2．“旋转圆”模型法的应用
“旋转圆”法 粒子速率v一定，但射入的方向变化时，以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件．
典例2　如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为(　　)
A.1∶1 B．2∶3
C.∶2 D．∶3
答案：C
解析：粒子在磁场中运动时，qvB＝，粒子运动轨迹半径R＝＝d；由左手定则可得，粒子沿逆时针方向偏转，做圆周运动；粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端，距A点的竖直距离L1＝＝d；运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，距A点的竖直距离L2＝＝d，所以粒子在PQ边界射出的区域长度为L＝L1＋L2＝d.因为R3．“平移圆”模型法的应用
“平移 圆”法
典例3　(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力.
则(　　)
A.粒子在磁场中的运动半径为
B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C.粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案：CD
解析：带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，轨迹圆弧对应的弦长越短，粒子在Ⅱ区域的运动时间越短(劣弧)，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确．

展开更多......

收起↑