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实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
必备知识·自主落实
一、实验思路与操作
装置图 实验说明
1．手柄　　　　　　　2.变速塔轮 3．变速塔轮 4.长槽 5．短槽 6.小球 7．小球 8.横臂 9．弹簧测力套筒 10.标尺 11．传动皮带 ①原理：利用控制变量法探究向心力与半径、角速度、质量的定量关系． ②探究：a.保持两小球质量m和角速度ω相同，使运动半径r不同，比较向心力Fn与运动半径r之间的关系． b.保持两小球质量m和运动半径r相同，使角速度ω不同，比较向心力Fn与角速度ω之间的关系． c.保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同、大小相同的钢球和铝球，比较向心力Fn与质量m的关系．
二、数据处理与分析
1．分别作出Fn － ω2、Fn － r、Fn － m的图像．
2．实验结论：
(1)在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比．
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比．
(3)在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比．
关键能力·精准突破
考点一　教材原型实验
例1[2023·湖北黄冈模拟]在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图(a)所示．图(b)是演示器部分原理示意图：皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.5倍，轮③的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的1.5倍，轮④的半径是轮⑥的2倍；两转臂上黑白格的长度相等；A、B、C为三根在横臂上的挡杆，可与横臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力．图(a)中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系．可供选择的实验球有：质量均为2m的球1和球2，质量为m的球3.
(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，我们主要用到了物理学中的________．
A．等效替代法 B．控制变量法
C．理想实验法 D．转化法
(2)实验时将球1、球2分别放在挡板B、C位置，将皮带与轮①和轮④连接，转动手柄观察左右两个标尺，此过程是验证向心力的大小与________的关系．
(3)实验时将皮带与轮②和轮⑤相连，将球1、3分别放在挡板B、C位置，转动手柄，则标尺1和标尺2显示的向心力之比为________．
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针 对 训 练
1.一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系．
(1)首先，他们让一砝码做半径r为0.08 m的圆周运动，数字实验系统通过测量和计算得到若干组向心力Fn和对应的角速度ω，如下表．请你根据表中的数据在图上绘出Fn－ω的关系图像．
实验序号 1 2 3 4 5 6 7 8
Fn/N 2.42 1.90 1.43 0.97 0.76 0.50 0.23 0.06
ω/(rad·s－1) 28.8 25.7 22.0 18.0 15.9 13.0 8.5 4.0
(2)通过对图像的观察，兴趣小组的同学猜测Fn与ω2成正比．你认为，可以通过进一步的转换，通过绘出________关系图像来确定他们的猜测是否正确．
(3)在证实了Fn∝ω2之后，他们将砝码做圆周运动的半径r再分别调整为0.04 m、0.12 m，又得到了两条Fn－ω图像，他们将三次实验得到的图像放在一个坐标系中，如图所示．通过对三条图线的比较、分析、讨论，他们得出Fn∝r的结论，你认为他们的依据是____________________________．
(4)通过上述实验，他们得出：做圆周运动的物体受到的向心力大小Fn与角速度ω、半径r的数学关系式是Fn＝kω2r，其中比例系数k的大小为________，单位是________．
考点二　探索创新实验
考向1　实验器材的创新
例1 某同学利用图甲中所示的DIS向心力实验器来探究圆周运动向心力的影响因素．实验时，砝码随旋臂一起做圆周运动，其受到的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋臂另一端的挡光杆每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力Fn和挡光时间Δt，换算生成ω.保持砝码的质量和转动半径不变，改变其转速得到多组Fn、ω的数据后，作出了Fn－ω2图线如图乙所示．牵引杆的质量和一切摩擦可忽略．
(1)该同学采用的主要实验方法为________．
A．等效替代法
B．控制变量法
C．理想化模型法
(2)实验中，某次挡光杆经过光电门时的挡光时间为Δt.已知挡光杆到转轴的距离为d，挡光杆的挡光宽度为Δs，则可得挡光杆转动角速度ω的表达式为________．
(3)根据图乙，得到的实验结论是：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考向2　实验原理的创新
例3 某同
学做验证向心力与线速度关系的实验，装置如图所示，一轻质细线上端固定在力传感器上，下端悬挂一小钢球．钢球静止时刚好位于光电门中央．主要实验步骤如下：
①用游标卡尺测出钢球直径d；
②将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F1，用米尺量出线长L；
③将钢球拉到适当的高度处由静止释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示数的最大值为F2；
已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
(1)钢球经过光电门时的线速度表达式v＝________，向心力表达式Fn＝m________；
(2)钢球经过光电门时所受合力的表达式F合＝________；
(3)若在实验误差允许的范围内Fn＝F合，则验证了向心力与线速度的关系．该实验可能的误差有：__________________________．(写出一条即可)
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考向3　实验目的的创新
例4 如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置．已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速．在电脑上记录如图乙所示图像，换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系．回答下列问题：
(1)物块没有看作质点对实验是否有影响？________(选填“是”或“否”)．
(2)物块a、b、c的密度之比为________．
(3)物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为________．
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针 对 训 练
2.在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，悬点刚好与一个竖直的刻度尺零刻度线对齐．将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心．用手带动钢球，设法使它刚好沿纸上某个半径r做圆周运动，钢球的质量为m，重力加速度为g.
(1)用秒表记录运动n圈的总时间为t，那么小球做圆周运动中需要的向心力表达式为Fn＝________．
(2)通过刻度尺测得小球轨道平面距悬点的高度为h，那么小球做圆周运动中外力提供的向心力表达式为Fn＝________.
(3)改变小球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示 － h的关系图像，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率表达式为________．
实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
关键能力·精准突破
例1　解析：(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，因涉及的变量较多，所以要先保持其中的两个物理量不变，探究向心力的大小Fn与第三个变量的关系，用的是控制变量法，选项A、C、D错误，B正确．
(2)实验时将球1、球2分别放在挡板B、C位置，说明球1、球2的转动半径不同，球1、球2质量相等，即控制质量m不变；将皮带与轮①和轮④连接，因轮①和轮④的半径相同，即控制角速度ω相等，可知此过程是验证向心力的大小与半径r之间的关系．
(3)实验时将皮带与轮②和轮⑤相连，因是皮带传动，则两轮边缘的线速度v大小相等，设轮1的半径为R，则轮2的半径为1.5R，轮5的半径为R，则球1的角速度ω1＝＝，球3的角速度为ω3＝＝，设每个黑白格的长度为l，由牛顿第二定律可知，球1的向心力为Fn1＝×4l＝8m()2l＝m，球3的向心力为Fn3＝×2l＝m()2×2l＝m，则标尺1和标尺2显示的向心力之比为＝＝.
答案：(1)B　(2)r　(3)64：81
1．解析：
(1)描点绘图时尽量让所描的点落到同一条曲线上，不能落到曲线上的点应均匀分布在曲线两侧，如图所示．
(2)通过对图像的观察，兴趣小组的同学猜测Fn与ω2成正比．可以通过进一步的转换，通过绘出Fn与ω2关系图像来确定他们的猜测是否正确，如果猜测正确，作出的Fn与ω2的关系图像应当为一条倾斜直线．
(3)他们的依据是：作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图线的交点中，力的数值之比是否为1：2：3，如果比例成立则说明向心力与物体做圆周运动的半径成正比．
(4)做圆周运动的物体受到的向心力大小Fn与角速度ω、半径r的数学关系式是Fn＝kω2r，代入(1)题中Fn－ω的关系图像中任意一点的坐标数值，比如：(20，1.2)，此时半径为0.08 m，可得：1.2 N＝k×202(rad/s)2×0.08 m，解得：k＝0.037 5 kg.
答案：(1)见解析图　(2)Fn－ω2　(3)作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图像的交点中，力的数值之比是否为1：2：3
(4)0.037 5　kg
例2　解析：(1)实验中保持砝码的质量和转动半径不变，改变其转速，所以采用的是控制变量法，故本题答案为选项B.
(2)挡光杆处的线速度为v＝，角速度为ω＝＝.
(3)在质量和转动半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比．
答案：(1)B　(2)ω＝　(3)在质量和转动半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比
例3　解析：(1)钢球的直径为d，遮光时间为t，所以钢球通过光电门的速度：v＝，根据题意知，钢球做圆周运动的半径为：R＝L＋，钢球质量：m＝，则向心力表达式：
Fn＝m＝.
(2)钢球经过光电门时只受重力和细线的拉力，由分析可知，钢球通过光电门时，细线的拉力最大，大小为F2，故所受合力为F合＝F2－F1.
(3)根据向心力表达式知，可能在测量摆线长度时存在误差．
答案：(1)　(2)F2－F1　(3)摆线的长度测量有误差
例4　解析：(1)物块的形状和大小相同，做圆周运动的半径相同，所以物块没有看作质点对实验没有影响．
(2)当物块随转盘缓慢加速过程中，物块所需的向心力先由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后则由绳子的拉力和最大静摩擦力提供，即：Fn＝F＋μmg＝mrω2，所以有F＝mrω2－μmg，图像的斜率为mr，与纵轴的截距为－μmg，根据图像知a的斜率ka＝mar＝1，b的斜率kb＝mbr＝1，c的斜率kc＝mcr＝，所以a、b、c的质量之比为2：2：1，因为体积相同，所以物块a、b、c的密度之比为2：2：1.
(3)由图像知a的纵截距－μamag＝－1，b的纵截距－μbmbg＝－2，c的纵截距－μcmcg＝－1，结合质量之比得到物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1：2：2.
答案：(1)否　(2)2：2：1　(3)1：2：2
2．解析：(1)根据向心力公式：
Fn＝m，而v＝，T＝
得：Fn＝mr.
(2)如图由几何关系可得：
Fn＝mg tan θ＝mg.
(3)由上面分析得：mg＝mr，
整理得：＝·h
故斜率表达式为：k＝.
答案：(1)mr　(2)mg　(3)k＝(共28张PPT)
实验六　探究向心力大小与半径、
角速度、质量的关系
必备知识·自主落实
关键能力·精准突破
必备知识·自主落实
必备知识·自主落实
一、实验思路与操作
装置图
1．手柄　　　　　 2.变速塔轮
3．变速塔轮 4.长槽
5．短槽 6.小球
7．小球 8.横臂
9．弹簧测力套筒 10.标尺
11．传动皮带
实验说明
①原理：利用控制变量法探究向心力与半径、角速度、质量的定量关系．
②探究：a.保持两小球质量m和角速度ω相同，使运动半径r不同，比较向心力Fn与运动半径r之间的关系．
b.保持两小球质量m和运动半径r相同，使角速度ω不同，比较向心力Fn与角速度ω之间的关系．
c.保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同、大小相同的钢球和铝球，比较向心力Fn与质量m的关系．
二、数据处理与分析
1．分别作出Fn － ω2、Fn － r、Fn － m的图像．
2．实验结论：
(1)在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比．
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比．
(3)在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比．
关键能力·精准突破
考点一　教材原型实验
例1 [2023·湖北黄冈模拟]在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图(a)所示．图(b)是演示器部分原理示意图：皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.5倍，轮③的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的1.5倍，轮④的半径是轮⑥的2倍；两转臂上黑白格的长度相等；A、B、C为三根在横臂上的挡杆，可与横臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力．图(a)中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系．可供选择的实验球有：质量均为2m的球1和球2，质量为m的球3.
(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，我们主要用到了物理学中的________．
A．等效替代法 B．控制变量法
C．理想实验法 D．转化法
(2)实验时将球1、球2分别放在挡板B、C位置，将皮带与轮①和轮④连接，转动手柄观察左右两个标尺，此过程是验证向心力的大小与________的关系．
(3)实验时将皮带与轮②和轮⑤相连，将球1、3分别放在挡板B、C位置，转动手柄，则标尺1和标尺2显示的向心力之比为________．
B
r
64：81
解析：(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，因涉及的变量较多，所以要先保持其中的两个物理量不变，探究向心力的大小Fn与第三个变量的关系，用的是控制变量法，选项A、C、D错误，B正确．
(2)实验时将球1、球2分别放在挡板B、C位置，说明球1、球2的转动半径不同，球1、球2质量相等，即控制质量m不变；将皮带与轮①和轮④连接，因轮①和轮④的半径相同，即控制角速度ω相等，可知此过程是验证向心力的大小与半径r之间的关系．
(3)实验时将皮带与轮②和轮⑤相连，因是皮带传动，则两轮边缘的线速度v大小相等，设轮1的半径为R，则轮2的半径为1.5R，轮5的半径为R，则球1的角速度ω1＝＝，球3的角速度为ω3＝＝，设每个黑白格的长度为l，由牛顿第二定律可知，球1的向心力为Fn1＝×4l＝8m()2l＝m，球3的向心力为Fn3＝×2l＝m()2×2l＝m，则标尺1和标尺2显示的向心力之比为＝＝.
针 对 训 练
1.一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系．
(1)首先，他们让一砝码做半径r为0.08 m的圆周运动，数字实验系统通过测量和计算得到若干组向心力Fn和对应的角速度ω，如下表．请你根据表中的数据在图上绘出Fn－ω的关系图像．
实验序号 1 2 3 4 5 6 7 8
Fn/N 2.42 1.90 1.43 0.97 0.76 0.50 0.23 0.06
ω/(rad·s－1) 28.8 25.7 22.0 18.0 15.9 13.0 8.5 4.0
解析：描点绘图时尽量让所描的点落到同一条曲线上，不能落到曲线上的点应均匀分布在曲线两侧，如图所示．
(2)通过对图像的观察，兴趣小组的同学猜测Fn与ω2成正比．你认为，可以通过进一步的转换，通过绘出________关系图像来确定他们的猜测是否正确．
Fn－ω2
解析：通过对图像的观察，兴趣小组的同学猜测Fn与ω2成正比．可以通过进一步的转换，通过绘出Fn与ω2关系图像来确定他们的猜测是否正确，如果猜测正确，作出的Fn与ω2的关系图像应当为一条倾斜直线．
(3)在证实了Fn∝ω2之后，他们将砝码做圆周运动的半径r再分别调整为0.04 m、0.12 m，又得到了两条Fn－ω图像，他们将三次实验得到的图像放在一个坐标系中，如图所示．通过对三条图线的比较、分析、讨论，他们得出Fn∝r的结论，你认为他们的依据是
_________________________________．
解析：他们的依据是：作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图线的交点中，力的数值之比是否为1：2：3，如果比例成立则说明向心力与物体做圆周运动的半径成正比．
作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图像的交点中，力的数值之比是否为1：2：3
(4)通过上述实验，他们得出：做圆周运动的物体受到的向心力大小Fn与角速度ω、半径r的数学关系式是Fn＝kω2r，其中比例系数k的大小为________，单位是________．
解析：做圆周运动的物体受到的向心力大小Fn与角速度ω、半径r的数学关系式是Fn＝kω2r，代入(1)题中Fn－ω的关系图像中任意一点的坐标数值，比如：(20，1.2)，此时半径为0.08 m，可得：1.2 N＝k×202(rad/s)2×0.08 m，解得：k＝0.037 5 kg.
0.037 5
kg
考点二　探索创新实验
考向1　实验器材的创新
例1 某同学利用图甲中所示的DIS向心力实验器来探究圆周运动向心力的影响因素．实验时，砝码随旋臂一起做圆周运动，其受到的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋臂另一端的挡光杆每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力Fn和挡光时间Δt，换算生成ω.保持砝码的质量和转动半径不变，改变其转速得到多组Fn、ω的数据后，作出了Fn－ω2图线如图乙所示．牵引杆的质量和一切摩擦可忽略．
(1)该同学采用的主要实验方法为________．
A．等效替代法
B．控制变量法
C．理想化模型法
(2)实验中，某次挡光杆经过光电门时的挡光时间为Δt.已知挡光杆到转轴的距离为d，挡光杆的挡光宽度为Δs，则可得挡光杆转动角速度ω
的表达式为________．
(3)根据图乙，得到的实验结论是：___________________________ __________________________.
B
ω＝
在质量和转动半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比
解析：(1)实验中保持砝码的质量和转动半径不变，改变其转速，所以采用的是控制变量法，故本题答案为选项B.
(2)挡光杆处的线速度为v＝，角速度为ω＝＝.
(3)在质量和转动半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比．
考向2　实验原理的创新
例3 某同学做验证向心力与线速度关系的实验，装置如图所示，一轻质细线上端固定在力传感器上，下端悬挂一小钢球．钢球静止时刚好位于光电门中央．主要实验步骤如下：
①用游标卡尺测出钢球直径d；
②将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F1，
用米尺量出线长L；
③将钢球拉到适当的高度处由静止释放，光电门
计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示数的
最大值为F2；
已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
(1)钢球经过光电门时的线速度表达式v＝________，
向心力表达式Fn＝m___________；
(2)钢球经过光电门时所受合力的表达式F合＝________；
(3)若在实验误差允许的范围内Fn＝F合，则验证了向心力与线速度的关系．该实验可能的误差有：___________________．(写出一条即可)
F2－F1
摆线的长度测量有误差
解析：(1)钢球的直径为d，遮光时间为t，所以钢球通过光电门的速度：v＝，根据题意知，钢球做圆周运动的半径为：R＝L＋，钢球质量：m＝，则向心力表达式：
Fn＝m＝.
(2)钢球经过光电门时只受重力和细线的拉力，由分析可知，钢球通过光电门时，细线的拉力最大，大小为F2，故所受合力为F合＝F2－F1.
(3)根据向心力表达式知，可能在测量摆线长度时存在误差．
考向3　实验目的的创新
例4 如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置．已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速．在电脑上记录如图乙所示图像，换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系．回答下列问题：
(1)物块没有看作质点对实验是否有影响？________(选填“是”或“否”)．
(2)物块a、b、c的密度之比为________．
(3)物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为________．
否
2：2：1
1：2：2
解析：(1)物块的形状和大小相同，做圆周运动的半径相同，所以物块没有看作质点对实验没有影响．
(2)当物块随转盘缓慢加速过程中，物块所需的向心力先由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后则由绳子的拉力和最大静摩擦力提供，即：Fn＝F＋μmg＝mrω2，所以有F＝mrω2－μmg，图像的斜率为mr，与纵轴的截距为－μmg，根据图像知a的斜率ka＝mar＝1，b的斜率kb＝mbr＝1，c的斜率kc＝mcr＝，所以a、b、c的质量之比为2：2：1，因为体积相同，所以物块a、b、c的密度之比为2：2：1.
(3)由图像知a的纵截距－μamag＝－1，b的纵截距－μbmbg＝－2，c的纵截距－μcmcg＝－1，结合质量之比得到物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1：2：2.
针 对 训 练
2.在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，悬点刚好与一个竖直的刻度尺零刻度线对齐．将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心．用手带动钢球，设法使它刚好沿纸上某个半径r做圆周运动，钢球的质量为m，重力加速度为g.
(1)用秒表记录运动n圈的总时间为t，那么小球做圆周运动中需要的
向心力表达式为Fn＝________．
(2)通过刻度尺测得小球轨道平面距悬点的高度为h，那么小球做圆
周运动中外力提供的向心力表达式为Fn＝________.
(3)改变小球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示 － h的关系图像，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率
表达式为________．
mr
mg
k＝
解析：(1)根据向心力公式：
Fn＝m，而v＝，T＝
得：Fn＝mr.
(2)如图由几何关系可得：
Fn＝mg tan θ＝mg.
(3)由上面分析得：mg＝mr，
整理得：＝·h
故斜率表达式为：k＝.

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