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专题强化二　追及相遇问题
【素养目标】　
1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.
2.会在图像中分析追及相遇问题．
题型一　追及相遇问题
1．追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
2．追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例．
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变．
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离不断减小．
3．追及、相遇问题的处理方法
(1)解题思路
(2)追及、相遇问题的核心要素
①两个关系
②
例1 一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
[试答]
针 对 训 练
1.[2023·山西临汾模拟]在“车让人”交通安全活动中，交警部门要求汽车在斑马线前停车让人．如图，以8 m/s的速度匀速行驶的汽车，当车头离斑马线8 m时驾驶员看到斑马线上有行人通过，刹车礼让行人，已知该车刹车时的加速度大小为5 m/s2，驾驶员反应时间为0.2 s．则(　　)
A．在驾驶员反应时间内汽车行驶的距离是1 m
B．从驾驶员看到行人到汽车停下，汽车通过的距离是6.4 m
C．从驾驶员看到行人到汽车停下，汽车运动的时间是1.6 s
D．汽车能保证“车让人”
2．如图所示，OB为接力赛跑道，AB为长L＝20 m的接力区，两名运动员的交接棒动作没有在20 m的接力区内完成则为犯规．假设训练中甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持11 m/s的速度跑完全程，乙运动员从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为2.5m/s2，乙运动员在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙两运动员相遇时完成交接棒．
(1)第一次训练，甲运动员以v＝11 m/s的速度跑到接力区前端A处左侧s0＝17 m的位置向乙运动员发出起跑口令，求甲、乙两运动员交接棒处离接力区前端A处的距离；
(2)第二次训练，甲运动员在接力区前端A处左侧25 m的位置以v＝11 m/s的速度跑向接力区，乙运动员恰好在速度达到与甲运动员相同时被甲运动员追上，则甲运动员在距接力区前端A处多远时对乙运动员发出起跑口令以及棒经过接力区的时间，并判断这次训练是否犯规．
题型二　运动图像中的追及相遇问题
例2[2021·广东卷](多选)赛龙舟是端午节的传统活动．下列v t和x t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
例3[2023·河南名校高二联考]如图a所示，均视为质点的甲、乙两辆汽车沿平直公路同向行驶，如图b所示是两车在某段时间内的v t图像，则关于两车运动状况的描述，下列判断正确的是(　　)
A．乙车在t＝5 s时改变运动方向
B．若t＝0时刻，甲车在前，则在0～5 s时间段，甲、乙两车间距增大；在5 s～10 s时间段，甲、乙两车间距减小
C．甲、乙两车在第10 s末相遇
D．若t＝0时刻乙车在前，则两车可能相遇两次
针 对 训 练
3.(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移时间(x t)图像和速度—时间(v t)图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是(　　)
专题强化二　追及相遇问题
题型一
例1　解析：(1)设汽车的加速度大小为a，
初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，
初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10 m
从汽车刹车开始计时，
自行车的位移为：x自＝v自t
汽车的位移为：x汽＝v汽t－at2
假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′
代入数据整理得：at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
则：Δ＝102－20a≤0，
解得：a≥5 m/s2.
汽车的加速度大小至少为5 m/s2.
(2)设自行车加速度为a′，同理可得：
x′汽＝x′自＋d′
x′自＝v自t＋t2
整理得：t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
则：Δ′＝102－20a′－80≤0
解得：a′≥1 m/s2.
自行车的加速度大小至少为1 m/s2.
答案：(1)5 m/s2　(2)1 m/s2
针对训练
1．解析：汽车在驾驶员反应时间内做匀速直线运动，则反应时间内汽车行驶的距离为x＝v0t0＝8×0.2 m＝1.6 m，A错误；刹车后汽车做匀减速运动，根据速度公式v＝v0＋at，可得当汽车速度减为零时，t＝1.6 s，则汽车运动总时间为1.8 s，设汽车做匀减速运动的位移为s，则＝2as，解得s＝6.4 m，汽车通过的总位移x总＝x＋s＝8 m，到达斑马线时刚好停下，行人可以安全通过，即汽车能保证“车让人”，D正确，B、C错误．
答案：D
2．解析：(1)第一次训练，设乙运动员加速到交接棒处时运动的时间为t，则在甲运动员追乙运动员的过程中，有s0＋at2＝vt
代入数据得
t1＝2 s
t2＝6.8 s
乙运动员加速的时间tm＝＝4.4 s
t2>tm，故舍去
交接棒处离接力区前端A处的距离为x＝at2＝5 m.
(2)第二次训练，乙运动员恰好与甲运动员共速时v乙＝at乙
乙运动员加速的时间t乙＝4.4 s
设甲运动员在距离接力区前端A处s时对乙运动员发出起跑口令，则在甲运动员追乙运动员的过程中，有＝vt乙
代入数据得s＝24.2 m
棒经过接力区的时间为t棒＝＝ s
乙运动员恰好达到与甲运动员相同速度时的位移x乙＝＝24.2 m>20 m
两名运动员的交接棒动作没有在20 m的接力区内完成，所以第二次训练犯规．
答案：(1)5 m　(2)见解析
题型二
例2　解析：从v t图像上看，由于所有龙舟出发点相同，故只要存在甲龙舟与其他龙舟从出发到某时刻图线与t轴所围图形面积相等，就存在船头并齐的情况，故A错误，B正确．从x t图像上看，图像的交点即代表两龙舟船头并齐，故D正确，C错误．
答案：BD
例3　解析：A错：由题图b可知，在10 s内，乙车一直沿正方向运动，运动方向没有改变．
B错：在0～10 s时间段，甲的速度始终比乙的大，甲车在前，所以甲、乙两车间距一直在增大．
C错：由于不知道初始位置甲、乙相距多远，所以无法判断在第10 s末能否相遇．
D对：若刚开始乙车在前，且到甲车的距离较近，则甲车在0～10 s内的某时刻追上乙车，因t＝10 s乙车速度又超过甲车，在某时刻又会与甲车再次相遇．
答案：D
针对训练
3．解析：该图中，甲乙在t0时刻之前位移没有相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能相遇，选项A错误；该图中，甲乙在t0时刻之前图像有交点，即此时位移相等，即两人在t0时刻之前能再次相遇，选项B正确；因v t图像的面积等于位移，则甲乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人能再次相遇，选项C正确；因v t图像的面积等于位移，由图像可知甲乙在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人不能相遇，选项D错误．故选BC.
答案：BC课时分层作业(五)　追及相遇问题
?基础强化练?
1.如图所示，直线a和曲线b分别代表在平直公路上行驶的汽车甲和乙的位移—时间图像，则由图像可知(　　)
A．在t1时刻，乙车追上甲车
B．甲车做匀变速直线运动，乙车做变加速直线运动
C．从t1到t2这段时间内，乙车的速率先减小后增大，方向保持不变
D．从t1时刻之后(不包含t1时刻)到t2时刻这段时间内，甲、乙两车相遇两次
2．(多选)2020东京奥运会田径男子4×100米接力比赛，由汤星强、谢震业、苏炳添和吴智强组成的中国队取得优异成绩．如图(a)所示，假设某接力比赛中甲、乙两运动员在直道交接棒过程的v t图像大致如图(b)所示．设t1时刻为交接棒时刻，下列说法正确的是(　　)
A．甲为交棒运动员，乙为接棒运动员
B．0～t1过程中，甲在前，乙在后，二者距离越来越小
C．t1～t2过程中，接棒运动员的加速度越来越小
D．交接棒时的速度越大，因交接棒而损失的时间越少
3．如图所示为A、B两辆摩托车沿同一直线运动的v t图像，已知t＝0时刻二者同时经过同一地点，则下列说法正确的是(　　)
A.摩托车B在0～6s内一直在做加速度减小的加速运动
B．摩托车A在0～12s内的平均速度大小为10m/s
C．t＝12s时A、B两辆摩托车相距最远
D．t＝6s时A、B两辆摩托车恰好相遇
4．冬季浓雾天气频繁出现．某日早晨浓雾天气中道路能见度只有30m，且路面湿滑．一辆小汽车以15m/s的速度由南向北行驶，某时刻，司机突然发现正前方浓雾中有一辆卡车正以3m/s的速度同向匀速行驶，于是鸣笛示警同时紧急刹车，但路面湿滑，只能以2m/s2的加速度减速行驶，前车于2s后以2m/s2的加速度加速行驶，以下说法正确的是(　　)
A．因两车采取了必要的加、减速措施，所以两车不会追尾
B．虽然两车采取了加、减速措施，但加速度过小，两车仍会追尾
C．在前车开始加速时，两车仅相距9m
D．两车距离最近时只有12m
5.
如图所示，隧道是高速公路上的特殊路段也是事故多发路段．某日，一轿车A因故恰停在隧道内离隧道入口d＝50m的位置，此时另一辆轿车B正以v0＝90km/h的速度匀速向隧道口驶来，轿车B的驾驶员在进入隧道口时，才发现停在前方的轿车A，并立即采取制动措施．假设该驾驶员反应时间t1＝0.57s，轿车制动系统响应时间(开始踏下制动踏板到实际制动)t2＝0.03s，轿车制动时产生的加速度为7.5m/s2.
(1)试通过计算说明该轿车B会不会与停在前面的轿车A相撞？
(2)若会相撞，那么撞前瞬间轿车B的速度大小为多少？若不会相撞，那么轿车B停止时与轿车A的距离为多少？
?能力提升练?
6．城市高层建筑越来越多，高空坠物事件时有发生．如图所示，某高楼距地面高H＝47m的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看做自由落体运动(花盆可视为质点).现有一辆长L1＝8m、高h＝2m的货车，正以v0＝9m/s的速度驶向阳台正下方的通道．花盆刚开始掉落时，货车车头距花盆的水平距离为L2＝24m，由于道路限制，汽车只能直行通过阳台的正下方的通道．
(1)若司机没有发现花盆掉落，货车保持v0＝9m/s的速度匀速直行，通过计算说明货车是否会被花盆砸到？
(2)若司机发现花盆开始掉落，采取制动的方式来避险，货车最大加速为4.5m/s2，使货车在花盆砸落点前停下，求货车司机允许反应的最长时间；
(3)若司机发现花盆开始掉落，司机反应时间Δt＝1s，则司机采取什么方式可以避险(货车加速减速可视为匀变速).
课时分层作业（五）
1．解析：由图可知，在t1时刻，甲、乙两车的位置坐标相同，即到达同一位置，而开始时乙车的位移大于甲车的位移，所以在t1时刻，乙车追上甲车，A正确；由图可知，甲车做匀速运动，加速度为零，乙车做变速运动，加速度不为零，B错误；x t图线的斜率表示速度，在t1到t2这段时间内，乙车的x t图线的斜率先减小后增大，则乙车的速度先负向减小后正向增大，C错误；由图可知，从t1时刻之后到t2时刻这段时间内，甲车和乙车仅在t2时刻位置相同，故只相遇一次，D错误．
答案：A
2．解析：由图（b）可知，交接棒过程中，接棒运动员在前，从静止开始向前加速运动，交棒运动员在后，开始时交棒运动员速度大于接棒运动员速度，二者之间的距离越来越小，当二者速度相等时，二者距离达到最小，此时要完成交接棒动作．交接棒完成后，接棒运动员继续加速直到达到最大速度，交棒运动员继续减速直到停下，综上分析，甲为交棒运动员，乙为接棒运动员，A正确.0～t1过程中，乙在前，甲在后，二者距离越来越小，B错误．由图（b）可知，t1～t2过程中，接棒运动员乙做加速度逐渐减小的加速运动，C正确．交接棒时的速度越大，移动相同位移所需时间越短，因交接棒而损失的时间越少，D正确．
答案：ACD
3．解析：v t图线的斜率表示加速度，由题图可知，摩托车B在0～6s内先做加速度减小的减速运动，然后反向做加速度减小的加速运动，选项A错误；摩托车A在0～12s内的平均速度大小为＝＝m/s＝10m/s，选项B正确；v t图像与时间轴围成图形的面积表示位移，由题图可知0～6s内，B图像与时间轴围成图形的面积小于A图像与时间轴围成图形的面积，位移不相等，不能相遇，t＝6s时，两者速度相等，位移差最大，相距最远，选项C、D错误．
答案：B
4．解析：设小汽车匀速行驶的速度为v1，减速时的加速度大小为a1；卡车匀速行驶时的速度为v2，加速运动时的加速度大小为a2，后车刹车后经过时间t两者共速，则有v1－a1t＝v2＋a2（t－2s），解得t＝4s，在时间t内小汽车的位移为x1＝v1t－a1t2＝44m，前车加速行驶的时间为t′＝t－2s＝2s，在时间t内，前车的位移为x2＝v2t＋a2t′2＝16m，因x2＋30m>x1，故两车不会追尾，此时两车相距最近，距离为Δx＝x2＋30m－x1＝2m，选项A正确，B、D错误．在前车开始加速时，两车相距Δx′＝（30＋3×2）m－m＝10m，选项C错误．
答案：A
5．解析：（1）轿车B制动前做匀速直线运动，
匀速运动的位移为x1＝v0（t1＋t2）＝15m
若不相撞，制动过程的位移为
x2＝＝m＝m
由于x1＋x2＝m>50m
故B会与停在前面的轿车A相撞．
（2）设与A相碰时的速度为v，根据运动学公式有v2－v＝－2a（d－x1）
解得v＝10m/s
所以撞前瞬间轿车B的速度大小为10m/s.
答案：（1）会相撞　（2）10m/s
6．解析：（1）花盆从47m高处落下，到达离地高2m的车顶过程中位移为h＝（47－2）m＝45m
根据位移公式，有h＝gt2
得t＝＝3s
3s内汽车位移为x＝v0t＝27m
有24m则货车会被花盆砸到
（2）货车匀减速的最小距离为x1＝＝9m
制动过程中反应通过的最大距离为
x2＝l2－x1＝15m
货车司机允许反应的最长时间为t＝＝s
（3）货车司机允许反应时间通过的距离为x1＝v0Δt＝9m
货车司机反应后立即加速，最小的加速度a1，有
L1＋L2－x1＝v0t2＋a1t
其中t2＝3s－Δt＝2s
得a1＝2.5m/s2
货车司机反应后立即减速，最小的加速度a2，则有
L2－x1＝v0t2－a2t
得a2＝1.5m/s2
货车司机反应后立即以至少a1＝2.5m/s2加速或立即以至少a2＝1.5m/s2减速能避险．
答案：（1）货车会被花盆砸到　（2）s　（3）减速或加速能避险(共18张PPT)
专题强化二　追及相遇问题
【素养目标】　
1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.
2.会在图像中分析追及相遇问题．
题型一　追及相遇问题
1．追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
2．追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例．
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变．
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离不断减小．
3．追及、相遇问题的处理方法
(1)解题思路
(2)追及、相遇问题的核心要素
①两个关系
②
例1 一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
答案：5 m/s2　
解析：设汽车的加速度大小为a，
初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，
初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10 m
从汽车刹车开始计时，
自行车的位移为：x自＝v自t
汽车的位移为：x汽＝v汽t－at2
假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′
代入数据整理得：at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
则：Δ＝102－20a≤0，
解得：a≥5 m/s2.
汽车的加速度大小至少为5 m/s2.
(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
解析：设自行车加速度为a′，同理可得：
x′汽＝x′自＋d′
x′自＝v自t＋t2
整理得：t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
则：Δ′＝102－20a′－80≤0
解得：a′≥1 m/s2.
自行车的加速度大小至少为1 m/s2.
答案：1 m/s2
针 对 训 练
1.[2023·山西临汾模拟]在“车让人”交通安全活动中，交警部门要求汽车在斑马线前停车让人．如图，以8 m/s的速度匀速行驶的汽车，当车头离斑马线8 m时驾驶员看到斑马线上有行人通过，刹车礼让行人，已知该车刹车时的加速度大小为5 m/s2，驾驶员反应时间为0.2 s．则(　　)
A．在驾驶员反应时间内汽车行驶的距离是1 m
B．从驾驶员看到行人到汽车停下，汽车通过的距离是6.4 m
C．从驾驶员看到行人到汽车停下，汽车运动的时间是1.6 s
D．汽车能保证“车让人”
答案：D
解析：汽车在驾驶员反应时间内做匀速直线运动，则反应时间内汽车行驶的距离为x＝v0t0＝8×0.2 m＝1.6 m，A错误；刹车后汽车做匀减速运动，根据速度公式v＝v0＋at，可得当汽车速度减为零时，t＝1.6 s，则汽车运动总时间为1.8 s，设汽车做匀减速运动的位移为s，则＝2as，解得s＝6.4 m，汽车通过的总位移x总＝x＋s＝8 m，到达斑马线时刚好停下，行人可以安全通过，即汽车能保证“车让人”，D正确，B、C错误．
2．如图所示，OB为接力赛跑道，AB为长L＝20 m的接力区，两名运动员的交接棒动作没有在20 m的接力区内完成则为犯规．假设训练中甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持11 m/s的速度跑完全程，乙运动员从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为2.5m/s2，乙运动员在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙两运动员相遇时完成交接棒．
(1)第一次训练，甲运动员以v＝11 m/s的速度跑到接力区前端A处左侧s0＝17 m的位置向乙运动员发出起跑口令，求甲、乙两运动员交接棒处离接力区前端A处的距离；
解析：第一次训练，设乙运动员加速到交接棒处时运动的时间为t，则在甲运动员追乙运动员的过程中，有s0＋at2＝vt
代入数据得
t1＝2 s
t2＝6.8 s
乙运动员加速的时间tm＝＝4.4 s
t2>tm，故舍去
交接棒处离接力区前端A处的距离为x＝at2＝5 m.
答案：5 m　
(2)第二次训练，甲运动员在接力区前端A处左侧25 m的位置以v＝11 m/s的速度跑向接力区，乙运动员恰好在速度达到与甲运动员相同时被甲运动员追上，则甲运动员在距接力区前端A处多远时对乙运动员发出起跑口令以及棒经过接力区的时间，并判断这次训练是否犯规．
解析：第二次训练，乙运动员恰好与甲运动员共速时v乙＝at乙
乙运动员加速的时间t乙＝4.4 s
设甲运动员在距离接力区前端A处s时对乙运动员发出起跑口令，则在甲运动员追乙运动员的过程中，有＝vt乙
代入数据得s＝24.2 m
棒经过接力区的时间为t棒＝＝ s
乙运动员恰好达到与甲运动员相同速度时的位移x乙＝＝24.2 m>20 m
两名运动员的交接棒动作没有在20 m的接力区内完成，所以第二次训练犯规．
题型二　运动图像中的追及相遇问题
例2 [2021·广东卷](多选)赛龙舟是端午节的传统活动．下列v t和x t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
答案：BD
解析：从v t图像上看，由于所有龙舟出发点相同，故只要存在甲龙舟与其他龙舟从出发到某时刻图线与t轴所围图形面积相等，就存在船头并齐的情况，故A错误，B正确．从x t图像上看，图像的交点即代表两龙舟船头并齐，故D正确，C错误．
例3 [2023·河南名校高二联考]如图a所示，均视为质点的甲、乙两辆汽车沿平直公路同向行驶，如图b所示是两车在某段时间内的v t图像，则关于两车运动状况的描述，下列判断正确的是(　　)
A．乙车在t＝5 s时改变运动方向
B．若t＝0时刻，甲车在前，则在0～5 s时间段，甲、乙两车间距增大；在5 s～10 s时间段，甲、乙两车间距减小
C．甲、乙两车在第10 s末相遇
D．若t＝0时刻乙车在前，则两车可能相遇两次
答案：D
解析：A错：由题图b可知，在10 s内，乙车一直沿正方向运动，运动方向没有改变．
B错：在0～10 s时间段，甲的速度始终比乙的大，甲车在前，所以甲、乙两车间距一直在增大．
C错：由于不知道初始位置甲、乙相距多远，所以无法判断在第10 s末能否相遇．
D对：若刚开始乙车在前，且到甲车的距离较近，则甲车在0～10 s内的某时刻追上乙车，因t＝10 s乙车速度又超过甲车，在某时刻又会与甲车再次相遇．
针 对 训 练
3.(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移时间(x t)图像和速度—时间(v t)图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是(　　)
答案：BC
解析：该图中，甲乙在t0时刻之前位移没有相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能相遇，选项A错误；该图中，甲乙在t0时刻之前图像有交点，即此时位移相等，即两人在t0时刻之前能再次相遇，选项B正确；因v t图像的面积等于位移，则甲乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人能再次相遇，选项C正确；因v t图像的面积等于位移，由图像可知甲乙在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人不能相遇，选项D错误．故选BC.

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