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人教版高中数学必修第二册6.2.3 向量的数乘运算 同步精练
【考点梳理】
考点一　向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
考点二　向量数乘的运算律
1 .(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
考点三　向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【题型归纳】
题型一：向量的线性运算
1．（2021·山东邹城·高一期中）已知向量，，实数，（，），则下列关于向量的运算错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
2．（2021·全国·高一课前预习）若，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高一阶段练习）已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ）
①；②；
③若，则；④若，则．
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
题型二：平面向量的混合运算
4．（2021·全国·高一课时练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
5．（2021·福建福州·高一期中）在五边形中，，，分别为，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·全国·高一课时练习）在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且若，，则＝（ ）
A． B．
C． D．
题型三：向量的线性运算的几何应用
7．（2021·四川·宁南中学高一阶段练习（文））如图， 中，、、分别是、、上的中线， 它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）
A． B．；
C． D．
8．（2021·四川资阳·高一期末）如图，在中，为线段上一点，，为的中点．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·内蒙古·林西县第一中学高一期中（文））已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）
A． B．
C． D．
题型四：三角形的心的向量表示
10．（2021·陕西渭滨·高一期末）已知为三角形所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·山东师范大学附中高一期中）如图，是的重心，，，是边上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·全国·高一课时练习）已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【双基达标】
一、单选题
13．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（ ）
①；②；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（2021·全国·高一课时练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
15．（2021·全国·高一课时练习）若，则下列各式中不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
16．（2021·上海·高一课时练习）已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A． B． C．3 D．2
17．（2021·全国·高一课时练习）设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））下列叙述不正确的是（ ）
A．若共线，则存在唯一的实数λ，使．
B．(为非零向量)，则共线
C．若，则
D．若，则
19．（2021·福建浦城·高一阶段练习）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为（ ）．
A． B． C． D．
20．（2021·云南隆阳·高一期中）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接交于点，且满足，，，则（ ）
A．-3 B．1 C． D．
21．（2021·河南郑州·高一期末）已知的边上有一点满足，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021·江西宜春·高一期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．3
【高分突破】
一：单选题
23．（2021·全国·高一专题练习）已知点在△所在平面内，且，则点依次是△的（ ）
A．重心 外心 B．重心 内心 C．外心 重心 D．外心 内心
24．（2021·湖南·常德市第二中学高一期末）在等边中，点E在中线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2021·全国·高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A． B． C． D．
26．（2021·江苏省梅村高级中学高一阶段练习）在中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
27．（2021·全国·高一课时练习）设，都是非零向量.下列四个条件中，使成立的条件是（ ）
A． B．
C． D．且
28．（2020·全国·高一）点M，N，P在所在平面内，满足，，且，则M、N、P依次是的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心
C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心
二、多选题
29．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线
C． D．
30．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，分别表示△，△的面积，则
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若向量，则与一定不是共线向量
31．（2021·河北承德第一中学高一阶段练习）对于非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同
B．的长度是的长度的，且与方向相反
C．若，则等于零
D．若，则是与同向的单位向量
32．（2021·湖南·高一期末）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
33．（2021·福建三明·高一期中）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
34．（2021·全国·高一课时练习）已知D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，，．给出下列五个命题：①；②；③；④；⑤．其中正确的命题是________．（填序号）
35．（2021·全国·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=_______.
36．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知△ABC中，点D在边AB上，且，设，，那么等于________（结果用、表示）
37．（2021·全国·高一课时练习）设平面内四边形及任一点O，．．若且．则四边形的形状是_________．
四、解答题
38．（2021·全国·高一课时练习）在四边形ABCD中，已知，，，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状．
39．（2021·全国·高一课时练习）计算：
（1）；
（2）．
40．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知，，求.
（2）已知向量，且，，求，.
41．（2021·全国·高一课时练习）如图，在中，，分别是，的中点，，，．
（1）用，表示，，，，；
（2）求证：，，三点共线．
42．（2021·全国·高一课时练习）如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，.
（1）用向量，表示.
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案详解】
1．D
【分析】
根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性.
【详解】
由题意，向量，，实数，（，），
由向量的运算律可得，，故选项A正确；
由向量的运算律可得，，故选项B正确；
若，因为，则，故选项C正确；
当时，，此时和不一定相等，故选项D错误．
故选：D．
2．A
【分析】
根据已知条件结合，利用向量的线性运算即可求解.
【详解】
，
故选：A.
3．B
【分析】
①②结合平面向量的数乘运算即可判断，③④举出反例即可说明.
【详解】
对于①：根据数乘向量的法则可得：，故①正确；
对于②：根据数乘向量的法则可得：，故②正确；
对于③：由可得，当m＝0时也成立，所以不能推出，故③错误；
对于④：由可得，当，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故④错误；
故选：B
4．A
【分析】
利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，
,
，
所以，所以三角形是等腰三角形.
故选：A
5．C
【分析】
由向量的加法运算得到，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.
【详解】
,
故选：C
6．A
【分析】
由已知得到利用，得到，利用及和平面向量的线性运算法则运算即得.
【详解】
由已知可得
，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基底向量表示，即可得解.
7．B
【分析】
利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意中，、、分别是、、上的中线，
所以是三角形的重心.
所以，A选项正确.
，B选项错误.
，C选项正确.
，D选项正确.
故选：B
8．C
【分析】
根据平面图形的性质以及平面向量的基本定理和线性运算，对应系数相等即可求出的值，进而求出结果.
【详解】
因为为线段上一点，，所以，且为的中点，所以，又因为，因此，所以，
故选：C.
9．B
【分析】
根据向量的加法运算可得和减法运算可得，结合条件,可得答案.
【详解】
由，则
则
故选：B
10．B
【分析】
题目考察三角形四心的问题，易得：为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系
【详解】
如图所示，由得：为三角形的重心，是中线的交点，
且，所以，，底边为，
所以，
故选：B
11．A
【分析】
由是的重心，可知，又,,，化简即可.
【详解】
由是的重心，可知，
又,,,
故
，
故选：A.
12．C
【分析】
由知O是的外心；利用共起点向量加法将变形为共线的两向量关系，得到N点在中线上的位置，从而判断为重心；由移项利用向量减法变形为，得出PB为CA边上的高，同理得PC为AB边上的高，故为垂心.
【详解】
，则点O到的三个顶点距离相等，
O是的外心.
，，
设线段AB的中点为M，则，由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M)，所以N是的重心.
，.
即，同理由，可得.
所以P是的垂心.
故选：C.
【点睛】
关于四心的向量关系式：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的内心.(其中 为的三边)
13．C
【分析】
利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.
【详解】
①，由数乘运算知正确；
②，由向量的运算律知正确；
③，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.
故选：C
14．C
【分析】
取的中点，由已知条件可知动点满足，，易得，则点三点共线，进而得到点的轨迹一定通过的重心.
【详解】
解：设为的中点，则，
则，即，
三点共线，
又因为为的中点，所以是边的中线，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：C.
15．D
【分析】
根据向量的数乘的定义判断．
【详解】
如图，由知在延长线上，且，
因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误．
故选：D．
16．C
【分析】
由已知可得，即，从而可得答案.
【详解】
解：由，得，即，
所以，即，
故选：C.
17．C
【分析】
根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项.
【详解】
由，
∴.
故选：C
18．A
【分析】
选项A：要注意时不成立；
选项B：由得到方向相同，从而得到共线；
选项C：由条件得到，从而；
选项D：通过移项可知选项D显然正确.
【详解】
选项A：当时，满足共线，但不满足存在唯一的实数λ，使成立，此时不存在实数λ，使成立，所以选项A错误；
选项B：若，则方向相同，所以共线，所以选项B正确；
选项C：因为，所以，所以选项C正确；
选项D：若，则，选项D正确.
故选：A．
19．A
【分析】
由向量的线性运算可得，再由平面向量共线定理的推论即可得解.
【详解】
因为，所以，
所以，
又P是BN上一点，所以，解得.
故选：A.
20．D
【分析】
因为，，三点共线，故可考虑将用表示，再结合三点共线满足的性质计算即可
【详解】
因为，
所以.
因为，，故,
所以.
因为，，三点共线，所以，，所以.
故选：D
21．A
【分析】
由已知得出向量与向量的关系，再利用平面向量基本定理即可求解．
【详解】
因为的边上有一点满足，
所以，则，
所以，
故选：A
22．A
【分析】
利用向量的线性运算将条件化为，再根据、、三点共线，得出，解得.
【详解】
由题意可知，，所以，
又，即.
因为、、三点共线，所以，解得.
故选：A．
23．C
【分析】
由外心到三角形顶点距离相等、重心的性质：且，结合题设即可判断是△的哪种心.
【详解】
∵，
∴到△的三个顶点的距离相等，故是△的外心，
如下图，若是△三条中线的交点，是上的中线，
∴，又，
∴，故题设中的是△的重心.
故选：C
24．A
【分析】
利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.
【详解】
因为，，
所以.
故选：A
25．C
【分析】
由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.
【详解】
对于①，，①正确；
对于②，，②正确；
对于③，，③错误.
故选：C.
26．C
【分析】
设，可得，由，，三点在同一条直线上，可求得的值，即可得解．
【详解】
设，
因为，
所以，
因为，，三点在同一条直线上，
所以，所以，
所以．
故选：C
27．C
【分析】
根据、的含义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
、分别表示与、同方向的单位向量，
对于A：当时，，故A错误；
对于B：当时，若反向平行，则单位向量方向也相反，故B错误；
对于C：当时，，故C正确；
对于D：当且时，若满足题意，此时，故D错误.
故选：C
28．B
【分析】
由三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】
解：，，
设的中点，则，
，，三点共线，即为的中线上的点，且．
为的重心．
，
，
为的外心；
，
，
即，，
同理可得：，，
为的垂心；
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．
29．BD
【分析】
由可得，从而可对ABD进行判断，再对变形化简可对C进行判断
【详解】
因为，所以，
所以，
因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误，
由，得，所以，所以C错误，
故选：BD
30．AD
【分析】
A向量平行传递性的前提是都为非零向量；B若分别是的中点，结合已知得，再过作上的高，由线段比例确定高的比例关系即可；C由向量反向共线的性质即可判断；D根据共线向量的定义即可判断.
【详解】
A：如果都是非零向量，而，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；
B：若分别是的中点，由题设有，即，，所以三点共线且，过作上的高，易知，则，所以，正确；
C：两个非零向量，若，则与共线且反向，正确；
D：若向量，则与可能是共线向量，如相反向量，错误.
故选：AD
31．ABD
【分析】
对于选项ABD可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C，等于零向量，不是零，故C错误.
【详解】
解：对于A： 的长度是的长度的2倍，且与方向相同，故A正确；
对于B：的长度是的长度的，且与方向相反，故B正确；
对于C：若，则等于零向量，不是零，故C错误；
对于D：若，则是与同向的单位向量，故D正确.
故选：ABD
32．BD
【分析】
设，利用重心的性质，把用、表示，再由，，三点共线得关于，的方程，再由三角形面积比得关于，的另一方程，联立即可求得实数的值．
【详解】
解：如图，，，即，设，则，
三点共线，，，
所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3.
故选：BD
33．ABC
【分析】
结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为 .
结合向量的计算法则，即可得出结果.
【详解】
A.正八边形ABCDEFGH中， ，那么，故A对；
B. ，故B对；
C. 与夹角为 ，故，故C对；
D. ，故D错；
故选：ABC
34．②③④⑤
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，，所以，
，，
，
，即，即正确的有：②③④⑤
故答案为：②③④⑤
35．
【分析】
利用向量的加减法及数乘化简可得=，又计算即可.
【详解】
由平面向量的加法运算，有.
因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ
=.
所以，
即解得
故答案为：或1.2
36．
【分析】
根据以及进行线性运算，由此可求得的表示.
【详解】
因为，
所以，
故答案为：.
37．菱形
【分析】
由易得，即为平行四边形，再由即可判断的形状.
【详解】
由得，即，
∴，于是平行且等于，
∴四边形为平行四边形，又，从而，
∴，即四边形为菱形．
故答案为：菱形
38．四边形是梯形
【分析】
根据共面向量基本定理可知，，即可判断四边形形状.
【详解】
如图所示，
，
所以，即，且.
所以四边形是梯形.
39．
（1）
（2）
【分析】
(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并
（1）
原式=
（2）
原式=
40．（1）--5；（2）-.
【分析】
(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；
（2）解方程即可得出结果.
【详解】
解(1)原式 =+=-+.
∵，，
∴原式=-(3+2)+(2-)= +=--5.
(2)将3-=两边同乘2，得6-2=2.
与5+2=相加，得11=+2，∴=+.
∴=3-=3-=-.
.
41．（1）答案见解析；（2） 证明见解析．
【分析】
（1）根据平面向量的线性运算即可求解；
（2）利用平面向量共线定理可得求证.
【详解】
（1）如图，
延长到点，使，连接，，得到平行四边形，
则，
因为是的中点，
所以，，
因为是的中点，所以，
，
；
（2）由（1）知，，，
所以，所以，共线，
又，有公共点，所以，，三点共线．
42．（1）；（2）是定值，定值为.
【分析】
（1）结合图形利用向量的加法运算求解；
（2）设，，则，然后根据题意将用表示出来，从而可用表示，再由三点共线可得结论
【详解】
解：（1）
.
（2）设，，则，
因为
所以
，
所以，即，
故为定值.
试卷第1页，共3页

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