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人教版高中数学必修第二册7.1 复数的概念 同步精练
【考点梳理】
考点一　复数的有关概念
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
考点二　复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
考点三　复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
考点四　复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
考点五 复数的模
1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝.
考点六　共轭复数
1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
【题型归纳】
题型一：复数的概念
1．（2021·全国·高一课时练习）设全集，实数集为，纯虚数集为，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山西柳林·高一期中）关于复数的下列说法错误的是（ ）
A．复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系
B．在复平面中，实轴上的点都表示实数
C．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数
D．复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系
3．（2021·浙江·高一单元测试）下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
题型二：复数实部和虚部
4．（2022·全国·高一）复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高一课时练习）已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A． B．-2i C．1 D．i
6．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知为虚数单位，且复数，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据相等条件求参数
7．（2021·全国·高一课时练习）复数（，，为虚数单位），若，则（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2020·天津红桥·高一期中）已知是虚数单位，，，则等于（ ）
A．1 B．1 C．3 D．4
9．（2021·上海·高一期末）已知为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则为实数
C．若，则为纯虚数 D．若，则
题型四：复数的分类问题
10．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中，真命题是（ ）．A．虚数所对应的点在虚轴上
B．“”是“复数是纯虚数”的充分非必要条件
C．若，则
D．“”是“”的必要非充分条件
11．（2021·全国·高一课时练习）设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2021·安徽·东至县第二中学高一期末）有以下四个命题：
①若复数，则；
②若复数，且，则；
③若复数，则在复平面内对应的点的坐标为；
④若复数，则的实部与虚部至少有一个为0．
其中所有真命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：复数的几何意义问题
13．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z满足=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
14．（2021·全国·高一课时练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
题型六：复数的模的问题（最值）
16．（2022·全国·高一）设复数，满足，，则的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
17．（2021·全国·高一课时练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
18．（2021·广东·深圳市富源学校高一期中）若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【双基达标】
一、单选题
19．（2021·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1 B．-2 C． D．
21．（2022·全国·高一）已知复数z满足，且z的共轭复数为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．3
22．（2022·全国·高一）以下命题中，正确的是（ ）
A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数
B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d
C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应
D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应
23．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，有下列四个命题：
甲：乙：的虚部为丙：复数对应的点位于第二象限丁：，
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
24．（2021·重庆市育才中学高一期中）已知复数对应复平面内的动点为，模为1的纯虚数对应复平面内的点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
25．（2021·云南·罗平县第二中学高一期末）当x复数 的模长的最小值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【高分突破】
一、单选题
26．（2021·福建尤溪·高一期中）已知，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
27．（2021·山西柳林·高一期中）设是虚数，是实数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．无法确定
28．（2021·广东潮州·高一期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，满足条件的点与之间的最大距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2021·安徽池州·高一期中）已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·安徽宣城·高一期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
31．（2021·山东邹城·高一期中）下列关于复数的命题中正确的是（ ）
A．若是虚数，则不是实数
B．若，且，则
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．复数对应的点在实轴上方
32．（2021·重庆市江津第五中学校高一期中）实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．|z|=
C．z的虚部是i D．z的实部是1
33．（2021·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
34．（2021·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
35．（2021·浙江·效实中学高一期中）已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数，则的值为
D．若复数满足，则的最小值为
36．（2021·浙江宁波·高一期末）已知复数（为虚数单位），复数满足，则下列结论正确的是（ ）．A．在复平面内所对的点在第四象限
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题
37．（2021·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．
38．（2021·全国·高一课时练习）若复数，则的最大值为______．
39．（2021·全国·高一课时练习）设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i，若z2<0，则实数a的值为____.
40．（2021·上海中学高一期末）已知，则的取值范围是__________．
四、解答题
41．（2021·上海·高一单元测试）实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
42．（2021·全国·高一单元测试）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）．
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
43．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x的方程有实数根b．
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数满足，求的最小值．
44．（2021·全国·高一单元测试）如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为，对应的复数为2+2i，对应的复数为4-4i.
（1）求D点对应的复数；
（2）求平行四边形ABCD的面积.
试卷第1页，共3页
【答案详解】
1．D
【详解】
由题意，全集，实数集为，纯虚数集为，
可得，所以.
故选：D.
2．C
【详解】
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系,故A正确；
在复平面中，实轴上的点都表示实数，但是虚轴上的点是除了坐标原点外，都表示纯虚数，
故B正确，C错误；
复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系，故D正确..
故选：C.
3．A
利用特列法可判断①②③都不正确.
【详解】
在①中时，不为纯虚数，故①错误；
在②中时，，但，故②错误；
在③中，时，不是纯虚数，故③也是错误的.
故选：A.
4．A
【详解】
因为，因此，复数的虚部为.
故选：A.
5．A
【解析】
【详解】
解：因为，，所以，所以
所以复数的虚部为；
故选：A
6．D
【解析】
【分析】
首先化简求得，由此求得的虚部.
【详解】
，
，
所以的虚部是.
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
根据复数相等求出，即可得出所求.
【详解】
，，解得，
，.
故选：D.
8．A
【详解】
，
.
故选：.
9．B
【详解】
A：时，，显然，错误；
B：则虚部为0，即为实数，正确；
C：为非零实数时，也成立，错误；
D：，时，，错误.
故选：B.
10．D
【详解】
复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A错；
表示纯虚数的条件是且，因此B错；
时，也有，C错；
时有，但时也有，D正确．
故选：D．
11．C
【详解】
，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件
故选：C
12．C
【详解】
因为，所以①是假命题；
因为，所以，所以由可得，故②为真命题；
易知命题③为真命题；
设，则由，可得，
所以的实部与虚部至少有一个为0，故④为真命题．
综上，真命题的个数为3，
故选：C．
13．D
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算，可得z=2-i，则 z的对应点为(2,-1)，即得解
【详解】
∵=1+i,
∴z-2==-i,
∴z=2-i,
∴z的对应点为(2,-1)
故选：D.
14．A
【解析】
【分析】
根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
，
因为，所以，则，
所以复数z的模的取值范围是.
故选：A.
15．D
【解析】
【分析】
利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z，再逐项判断.
【详解】
因为，所以，
A.复数z的模为，故错误；
B.复数z的共轭复数为，故错误；
C.复数z的虚部为，故错误；
D.复数z在复平面内对应的点为，所以在第一象限，故正确；
故选：D
16．B
【解析】
【分析】
设，，其中a，b，c，d都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得，从而可得选项.
【详解】
解：设，，其中a，b，c，d都是实数，
所以①，②.
又，所以，
所以③，④.
由①+②-③×2，得，所以，.
所以，由①知，故.
故选：B.
17．D
【解析】
【分析】
设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.
【详解】
设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
18．B
【解析】
【分析】
设，根据条件可得，表示点与点间的距离，转化为求圆上及其内部的点与点间的距离的最大值，由圆的性质可得答案.
【详解】
设，则由，可得
所以点在圆上及其内部.
表示点与点间的距离.
即求圆上及其内部的点与点间的距离的最大值.
圆心与点间的距离为2
所以圆上及其内部的点与点间的距离的最大值为
故选：B
19．B
【解析】
【分析】
根据复数的定义、复数的分类判断．
【详解】
根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．
因此只有B正确．
故选：B．
20．B
【解析】
【分析】
结合复数概念直接判断即可.
【详解】
的虚部是.
故选：B
21．B
【解析】
【分析】
根据共轭复数的概念可求出，从而根据复数模的公式可求出答案.
【详解】
因为，所以，所以．
故选：B.
22．D
【解析】
【分析】
根据复数的定义和几何意义即可解答.
【详解】
A：，当时,不是纯虚数，故A错误；
B：如果a＋bi＝c＋di，当且仅当a、b、c、d∈R时，a＝c，b＝d，故B错误；
C：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误；
D：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D正确.
故选：D.
23．D
【解析】
【分析】
先等价转化各个命题，再逐一验证哪一个命题为假命题.
【详解】
等价于：，
的虚部为等价于：，
复数对应的点位于第二象限等价于：，
等价于：，
显然命题丙与丁矛盾，
两者一定有一个假命题；
若丙为假命题，
则，但不符合（舍）；
若丁为假命题，
则由，得：（符合题意）；
终上所述，丁为假命题.
故选：D.
24．B
【解析】
【分析】
根据已知条件结合复数的几何意义确定所对应点的轨迹方程，然后确定，结合复数几何意义及圆的切割线定理即可求出结果.
【详解】
设（），则，
即所对应点在以为圆心，1为半径的圆上，
设该圆与轴交点，
因为模为1的纯虚数对应复平面内的点为，即，
若，则为的中点，故对应的点不合题意，舍去，
因此，由圆的切割线定理可得，
设，则，则，则.
故选：B.
25．B
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义求出复数z的模，结合二次函数的性质即可求出模的最小值.
【详解】
由题意得，
所以，
令，，
当时，函数y有最小值，且，
所以.
故选：B
26．C
【解析】
【分析】
利用复数相等列方程组，由此求得.
【详解】
由于，
所以.
故选：C
27．A
【解析】
【分析】
利用复数和模的定义，即可求解
【详解】
设，且，
，
为实数，则，得
则，
则的值为
故选：A
28．C
【解析】
【分析】
由复数的运算化简，由为纯虚数可求得的值，从而可求得，，设且，，由两点间的距离公式即可求解点与之间的最大距离.
【详解】
由，
因为复数（是虚数单位，）是纯虚数，
所以，解得，
所以，则，
由于，故设且，，
所以，
故点与之间的最大距离为3.
故选：C.
29．B
【解析】
【分析】
结合复数在平面内所对应的点的特征，得到不等式组，解之即可求出结果.
【详解】
因为在复平面内对应的点在第三象限，所以
，则实数的取值范围是，
故选：B.
30．B
【解析】
【分析】
根据欧拉公式代入求解即可.
【详解】
解：根据欧拉公式，
得，
即它在复平面内对应的点为，
故位于第二象限.
故选：B.
31．AD
【解析】
【分析】
由虚数的概念可判断ABC，由复数的几何意义可判断D.
【详解】
对于A，根据虚数的定义，A正确；
对于B，虚数不能比较大小，B错误；
对于C，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C错误；
对于D，对应点的坐标为，因为，所以点在轴上方，D正确．
故选：AD．
32．ABD
【解析】
【分析】
根据题意先求出z，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.
【详解】
实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，
∴z=x+yi=1+i.
对于A，z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确.
对于B，|z|=，故B正确.
对于C，z的虚部是1，故C错误.
对于D，z的实部是1，故D正确.
故选：ABD.
33．AC
【解析】
【分析】
由，得，然后逐个分析判断即可
【详解】
由，得，
对于A，当时，，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，
对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，
对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，
对于D，由，得，则，由，得，，得或，所以D错误，
故选：AC
34．BC
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.
【详解】
对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；
对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；
对于C，，最大值为，故C正确；
对于D，的共轭复数为，故D错误.
故选：BC.
35．BD
【解析】
【分析】
举反例判断；根据复数代数形式证明判断；计算复数模判断；根据点轨迹方程判断．
【详解】
解：对于，当时，，但，所以错；
对于，设，，因为，所以，于是，所以对；
对于，因为，所以，所以错；
对于，设，，由，所以，整理得，即的轨迹是直线，所以的最小值为点到直线的距离，即，所以对．
故选：．
36．AC
【解析】
【分析】
复数i在复平面内对应的点为，故选项A正确；
复数在复平面内对应的点是以为圆心，1为半径的圆，故在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；
的最大值为，故选项C正确；
的最小值为，故选项D错误．
【详解】
复数i在复平面内对应的点为，则，所以点在第四象限，故选项A正确；
复数满足i|=1，则在复平面内对应的点是以为圆心，1为半径的圆，
故在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；
表示点，之间的距离，所以的最大值为，故选项C正确；
表示点与点之间的距离，所以的最小值为，故选项D错误．
故选：AC
37．或6
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.
【详解】
复数对应点的坐标为，，
若点在虚轴上，
则，解得或．
故答案为：或6.
38．2
【解析】
【分析】
根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
，当时，，
故答案为：
39．
【解析】
【分析】
由知一定为纯虚数,可得，即可得到答案；
【详解】
由知一定为纯虚数,
所以得解得
故答案为：
40．
【解析】
【分析】
根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．
【详解】
由题意，
，，所以．
故答案为：．
41．（1）m＝6；（2）m≠﹣3且m≠6；（3）m＝1或m．
【解析】
【分析】
（1）根据复数是实数，得虚部为零即可．
（2）根据复数是虚数，则虚部不为零即可．
（3）根据复数是纯虚数，得实部为零，虚部不为0．
【详解】
解：（1）若复数是实数，则，
即，得m＝6；
（2）如复数是虚数，则，
即，则m≠﹣3且m≠6；
（3）如复数是纯虚数，则，
则，
即m＝1或m．
42．（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解.
【详解】
∵，∴.∴.
又∵为纯虚数，∴，解得．∴.
（1），∴；
（2）∵，∴，
又∵复数所对应的点在第一象限，
∴，解得：．
【点睛】
如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限;②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．
43．（1）；（2）．
【解析】
（1）复数方程有实根，方程化简为、，利用复数相等，即解方程组即可．
（2）先把、代入方程，同时设复数，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，
再数形结合，求出，得到．
【详解】
解：（1）是方程的实根，
，
解得．
（2）设，由，
得，
即，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，
当点在的连线上时，有最大值或最小值，
，
半径，
当时．
有最小值且．
【点睛】
本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．属于中档题．
44．（1）3﹣4i；（2）16.
解：（1）依题点A对应的复数为，对应的复数为2+2i，
得A(-1，0)， =(2，2)，可得B(1，2).
又对应的复数为4-4i，得=(4,-4)，可得C(5,-2).
设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R.
得=(x-5，y+2)，=(-2，-2).
∵ABCD为平行四边形，∴=，解得x=3，y=-4，
故D点对应的复数为3-4i.
（2）=(2，2)，=(4,-4)，
可得：，∴
，
故平行四边形ABCD的面积为

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