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人教版高中数学必修第二册7.3 复数的三角形式 同步精练
【考点梳理】
考点一、复数的三角形式的概念
1.复数的辐角
(1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角。
(2)辐角主值
[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。
(3)常用的有关辐角主值的结论
当aR+ 时arg a=0 ，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。
2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
3.复数的三角形式
复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。
考点二、复数的三角形式的乘除法
1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式 (cosθ2+isin。则 。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘：
=。
因此，如果
就有 [。
这就是说，复数的 次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。
2.复数的除法
设 则z 除以z 的商：)]。
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
【题型归纳】
题型一：复数的三角表示
1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·上海市延安中学高一期末）的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：复数的辅角
4．（2021·全国·高二课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A．－40° B．310° C．50° D．130°
5．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知复数 满足，若和的幅角之差为，则___________.
6．（2021·全国·高二单元测试）当实数k取什么值时，复数的辐角主值是？
题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义
7．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
9．（2021·全国·高一课时练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【双基达标】
一、单选题
10．（2022·吉林吉林·高三期末（理））若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·全国·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）.
A． B．
C． D．
12．（2021·全国·高三阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（，自然对数的底数，虚数单位）．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·福建安溪·高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
14．（2021·广东惠州·高一期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·吉林·长春十一高高一阶段练习）任何一个复数 (其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）
（2）当时，
（3）当时，
（4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2022·全国·高三专题练习（文））设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（　　）
A． B．
C． D．
17．（2021·广东惠州·高一期末）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
18．（2021·全国·高一课时练习）已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（2020·河北正中实验中学高三阶段练习）棣莫弗定理：若两个复数，，则，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·全国·高三专题练习（理））大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1 B． C．i D．
21．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2020·江苏省郑梁梅高级中学高三期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，（ ）
A．1 B．0
C． D．
23．（2021·上海·高一课时练习）复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2021·上海·高一课时练习）如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（ ）
A．辐角唯一 B．辐角主值唯一
C．辐角主值为 D．辐角主值为
25．（2020·河北冀州中学高三阶段练习）任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
26．（2022·山西·临县第一中学高三期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
27．（2021·全国·高一课时练习）是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
28．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于
C．为纯虚数 D．
29．（2021·湖南·高二期末）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
30．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式(其中i为虚数单位，)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项能确的是（ ）
A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数
C．的共轭复数为； D．复数的模长等于
三、填空题
31．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式是______．
32．（2021·全国·高一单元测试）设，，则的三角形式为___________.
33．（2021·全国·高二课时练习）若复数的辐角为，的辐角为，则______．
34．（2021·湖南·高一阶段练习）欧拉公式（其中为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当时，，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，则将复数表示成三角形式为________．
四、解答题
35．（2021·全国·高一课时练习）已知，，其中，且，，求的值．
36．（2021·全国·高一课时练习）（1）计算：；
（2）若复数z满足，，求复数的三角形式.
（3）利用复数证明余弦定理.
37．（2021·全国·高一课时练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
38．（2021·全国·高一课时练习）已知
（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；
（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.
试卷第1页，共3页
【答案详解】
1．B
【解析】
【分析】
复数的三角表示为，对比选项得到答案.
【详解】
复数的三角表示为：，其中，B选项满足.
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.
【详解】
，
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．
【详解】
解：．
故选：．
4．B
【解析】
【分析】
将复数写成（）即可求出所求复数的辐角.
【详解】
复数，所以该复数的辐角主值是.
故选：B
5．
【解析】
【分析】
分别设，，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解.
【详解】
因为，设，，
所以
由题意可知或，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述：，
故答案为：.
6．
【解析】
【分析】
根据复数的三角形式和辐角主值的概念即可求解.
【详解】
因为的辐角主值是，
所以，
所以.
所以当时，所给复数的辐角主值是.
7．C
【解析】
【分析】
根据题意，先求出复数，再结合，即可求出.
【详解】
由得，
故，
所以.
故选C．
8．
【解析】
【分析】
根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解.
【详解】
由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.
故答案为：.
9．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
(1)
(2)
.
(3)
(4)
.
10．A
【解析】
【分析】
根据复数的三角形式的定义直接判断.
【详解】
复数的模为1，辐角为，
所以复数的三角形式为.
故选：A
11．B
【解析】
【分析】
根据三角形式的表达式知，的三角形式是，根据诱导公式判断选项符合的即可.
【详解】
由题知，的三角形式是，
结合诱导公式知，，
故选：B
12．D
【解析】
【分析】
根据欧拉公式求得，再根据复数的乘方求得，即可得复数，再根据共轭复数的定义和复数虚部的定义即可得出答案.
【详解】
解：∵，∴．
又∵，∴复数，∴，
则的虚部为.
故选：D．
13．A
【解析】
【分析】
将复数写成三角形式，可得结果.
【详解】
复数，因此，复数的辐角主值为.
故选：A.
14．B
【解析】
【分析】
先对，然后再化为复数的三角形式可得答案
【详解】
所以 ，
故选：B
15．B
【解析】
【分析】
直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可
【详解】
解：对于（1），因为，所以，
所以，所以，所以（1）正确，
对于（2），当时，，则，所以（2）错误，
对于（3），当时，，则，所以（3）正确，
对于（4）， 当时，，则当时， ，所以（4）错误，
所以正确的有2个，
故选：B
16．C
【解析】
【分析】
首先利用诱导公式将复数化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数，即可求出其共轭复数；
【详解】
解：因为
所以
所以的共轭复数是，
故选：C
17．C
【解析】
【分析】
由棣莫弗公式对复数化简可得答案
【详解】
由己知得，
∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
18．B
【解析】
【分析】
对于①，的实部为1，虚部为；对于②，直接计算判断即可；对于③，由点的对称关系判断即可；对于④，由辐角的定义求解即可
【详解】
解：对于①，复数的虚部为，所以①错误；
对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；
对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，
故选：B
19．B
【解析】
【分析】
推导出，求出的值，即可得出的值.
【详解】
由已知条件可得，
，，
以此类推可知，对任意的，，
，
所以，
，
因此，.
故选：B.
20．D
【解析】
【分析】
先根据公式将原式变为，再根据注释将原式变为，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.
【详解】
因为，
所以，
故选：D.
21．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式可得结果.
【详解】
由诱导公式可知，
，
因此，.
故选：B.
22．C
【解析】
【分析】
根据欧拉公式直接求出.
【详解】
根据，
可知.
故选：C
23．C
【解析】
【分析】
结合复数的三角形式的概念可以直接求解.
【详解】
因为，辐角主值为，所以
故选：C.
24．B
【解析】
【分析】
由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案．
【详解】
解：辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．
故选：B．
25．D
【解析】
【分析】
把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．
【详解】
，
所以辐角主值为．
故选：D．
26．ABC
【解析】
【分析】
若 ，则， ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.
【详解】
对于A：
若 ，则，故，
所以A正确；
对于B：
若，则，
所以B正确；
对于C：
设 ，
则 ，故 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若 ，，则，，故 ，
所以D错误.
故选：ABC
27．BCD
【解析】
【分析】
利用平方关系及二倍角的余弦公式可求得，再根据复数的乘法运算及，可求得的范围，再根据欧拉公式及复数的几何意义即可得出答案.
【详解】
解：
，
由，，
则，，
所以，
又因为恒成立，
所以，所以，
根据，
则，
因为，则，所以，
所以表示的复数位于复平面中的第一象限.
故选：BCD.
28．BD
【解析】
【分析】
根据欧拉公式的定义，有、、、，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.
【详解】
A：，而，则、，故位于第二象限，错误；
B：，则其模长为，正确；
C：，则为实数，错误；
D：，正确；
故选：BD
29．ABD
【解析】
【分析】
对于A：根据已知得，再由对数运算可判断；
对于B：由已知计算得，由此可判断；
对于C：由已知得对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，根据垂直的坐标表示可判断；
对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．
【详解】
∵，∴，故A正确；
∵，∴．故B正确；
∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，
∴，即，又，，∴，或．故C不正确；
∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．故D正确，
故选：ABD.
30．BCD
【解析】
【分析】
对于，，根据，，即可判断出；对于，根据欧拉公式逐项计算，然后判断正误即可．
【详解】
解：对于，由于，
，，
，，
表示的复数在复平面中位于第二象限，故错误；
对于，，可得为纯虚数，故正确；
对于，，的共轭复数为，故正确．
对于，，
可得其模的长为
，故正确；
故选：．
31．
【解析】
【分析】
直接利用辅助角公式计算得到答案.
【详解】
.
故答案为：.
32．
【解析】
【分析】
先将化简，然后计算，再转化为三角形式即可
【详解】
因为，
，
所以
，
故答案为：
33．
【解析】
【分析】
设，可得，，由已知条件可得，，解得和的值即可求解.
【详解】
设，，则，，
因为复数的辐角为，所以，①
因为复数的辐角为，所以，②
由①②可得：，，
所以，
故答案为：.
34．
【解析】
【分析】
根据欧拉公式，先求出，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：
35．
【解析】
【分析】
结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角恒等变换即可求出结果.
【详解】
因为，，又，则，，得，所以，．由，，得，．又，所以．又由，得，所以．所以
36．（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由， ，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；
（2）由题意得，进而得到 、代入目标式化简后转化为三角形式即可.
（3）在复平面内建立直角坐标系，利用坐标法证明.
【详解】
解：（1）因为， ，
所以，
；
（2）由题意知：，所以 ，，
∴
（3）如图，已知是复平面内的任意三角形，角对应的边分别为.
证明：.
证明：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立复平面内的直角坐标系，
则点对应的复数分别为，
则复数的模，复数的模，幅角为，
因为，，
所以，
所以
，
所以，证毕.
37．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用复数三角形式的乘除法法则运算即可.
(1)
原式
(2)
原式
(3)
原式
(4)
原式
38．（1）时，取最大值；（2）当时，；当时，.
【解析】
【分析】
（1）求出，即得解；
（2）设，，再对分 和两种情况讨论得解.
【详解】
（1）
所以，当时，即时，取最大值.
（2）要求，可以把写成三角形式，但较为困难，故可先求出的正切值.
设，则由于
所以.
因为，所以的实部，的虚部.
当时，，所对应的点位于第四象限.
由于，所以.
当时，，所对应的点位于第一象限（或轴正半轴）.
由于，所以.

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