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人教版高中数学必修第二册6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法、
向量在物理中的应用举例 同步精练
【考点梳理】
考点一　向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点二　向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
技巧：(1)用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
【题型归纳】
题型一：用向量证明线段垂直问题
1．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
题型二：用向量解决夹角问题
3．（2021·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·四川·绵阳中学高一阶段练习）直角三角形中，，，，M为的中点，，且P为与的交点，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：用向量解决线段的长度问题
5．（2021·江西·九江一中高一期中）在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·重庆南开中学高一期中）如图所示在四边形中，是边长为4的等边三角形，，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
题型四：向量与几何最值问题
7．（2021·江西·九江一中高一期中）在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河北邢台·高一阶段练习）在平面四边形中，，，，，，若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：向量在物理中的应用
9．（2021·山东潍坊·高一期中）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当角越大时，用力越省 D．当时，
10．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为分钟
题型六：平面向量应用的综合问题
11．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：
（1）BE⊥CF;
（2）AP=AB.
12．（2021·江苏·高一课时练习）如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.
（Ⅰ）求与的数量积；
（Ⅱ）求与的数量积.
13．（2018·全国·高一单元测试）如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.
(1)求证:M是CD的中点;
(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.
【双基达标】
一、单选题
14．（2021·全国·高一课前预习）在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
15．（2021·全国·高一课时练习）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3N B． C．2N D．
16．（2021·全国·高一课时练面上有三点A，B，C，设， ，若的长度恰好相等，则有（ ）
A．A，B，C三点必在同一条直线上
B．ABC必为等腰三角形，且∠B为顶角
C．ABC必为直角三角形，且∠B=90°
D．ABC必为等腰直角三角形
17．（2021·吉林·延边二中高一期中）在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
18．（2021·江西·九江一中高一阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
19．（2021·全国·高一课时练习）用力推动一物体水平运动，设与水平面的夹角为，则对物体所做的功为（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）扇形的半径为1，圆心角为，是上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
21．（2021·湖南省邵东市第三中学高一期中）在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
22．（2021·全国·高一期中）已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【高分突破】
一：单选题
23．（2021·福建·福州三中高一期中）已知是所在平面内的一点，若|，则一定为（ ）
A．以为底边的等腰三角形
B．为底边的等腰三角形
C．以为斜边的直角三角形
D．以为斜边的直角三角形
24．（2021·全国·高一课时练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为g=10，≈1.732）
A．81 B．87 C．89 D．91
25．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）已知点满足，，，则点依次是的（ ）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
26．（2021·江苏通州·高一期中）如图所示，在中，为中点，过点的直线分别交于不同的两点，设，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确定
27．（2021·山西太原·高一期中）已知，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．（2021·山西运城·高一期末）已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·全国·高一课前预习）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·河南驻马店·高一期末（文））在菱形中，，，，是菱形内部及边界上一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
31．（2021·江苏泰州·高一期末）已知外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边，，的距离分别为，，.若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
二、多选题
32．（2021·山东邹城·高一期中）已知外接圆的圆心为，半径为2，且，，则有（ ）
A． B．
C．点是的垂心 D．在方向上的投影向量的长度为
33．（2021·重庆·西南大学附中高一阶段练习）已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．与的夹角是钝角
34．（2021·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
35．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与不共线
C．若，记三角形的面积为，则的最大值为
D．若，且，分别是，边的中点，则的最小值为
36．（2021·广东广州·高一期末）中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为边上的一个动点，则为定值4
C．若、为边上的两个动点，且则的最小值为
D．已知Q是内部（含边界）一点，若，且，则的最大值是1
三、填空题
37．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.
38．（2021·全国·高一课时练习）已知为的外心，且，则________.
39．（2021·全国·高一课时练习）如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
40．（2021·全国·高一课时练习）已知，作用于同一质点，使其由原点移动到点，则合力对质点所做的功为___________.
41．（2021·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设为内一点，且满足关系式，则__．
四、解答题
42．（2021·全国·高一课时练习）如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.
43．（2021·全国·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
44．（2021·全国·高一课时练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．
（1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
（3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
45．（2021·广东·仲元中学高一期末）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）求证：；
（2）设，，，，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.
【答案详解】
1．B
【分析】
由已知平方可得，得出可判断.
【详解】
，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.
故选：B.
2．C
【分析】
由推出，由推出，则可得答案.
【详解】
由，得，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以为等腰直角三角形.
故选：C
3．C
【分析】
建立平面直角坐标系，写出坐标表示，利用二次函数求出最小值时的坐标，最后利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】
建立如图所示平面直角坐标系：
则,
设，
因为动点位于直线上，
直线的方程为：，
所以
，
当时，取得最小值，此时，
，
所以，
又因为，
所以，
故选：C.
4．C
【解析】
【分析】
设， 且与的夹角为， 由此可表示出和；结合已知可求出和，由此可求出，接下来根据向量数量积的运算公式即可解答.
【详解】
设， ，则，，，
设与的夹角为，
∵，，
∴，
∴|，，
∴，.
∵，∴.
∵即为向量与的夹角，
∴，
故.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的计算，掌握向量数量积的运算公式是关键，属于常考题.
5．C
【分析】
取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得.
【详解】
取中点O，连接，
，即，M为BC边上靠近C的三等分点，
，
，，，
又，，.
故选：C.
6．C
【分析】
根据可得，再利用余弦定理可求的长度.
【详解】
取的中点为，
因为，故即，
故，所以三点共线，故与重合，所以，
故，解得或，
因为且，故，故，
故选：C.
7．D
【分析】
如图建立直角坐标系，设，则由已知条件可求出点的坐标，再由，求出的值，则可得点的坐标，，则可表示，，从而可得，进而利用二次函数的性质可求得答案
【详解】
如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
因为直角梯形中，，，，，，
所以，则
，，，，，
所以，，
设，则，
因为，所以，解得，
所以，则，，
因为，所以，得，则，
设，则，
，
所以，
当时，取得最大值，
故选：D
8．C
【分析】
作图，以为原点，、所在的直线分别为轴，轴建立直角坐标系；
由题意可得点A、D的坐标，设()，利用向量数量积的坐标表示得出
，结合二次函数的性质求出最大值即可.
【详解】
如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立直角坐标系．
作，，垂足分别为，，
在中，因为，所以，．
在中，因为，，所以，，
则，．设，，
则，，
所以，
当时，取得最大值，且.
故选：C
9．B
【分析】
根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可得：，
则，
当时，，故A错误；
当时，，及，故B正确；
，因为在上递减，
又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误；
当时，即，解得，
又因，所以，故D错误.
故选：B.
10．B
【分析】
分析可知，当船的航程最短时，，利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.
【详解】
由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，
由，可得，，A选项错误，B选项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.
故选：B.
11．（1）见试题解析；（2）见试题解析
【分析】
(1) 如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出和的坐标，再计算得=0即证
BE⊥CF.(2) 设P(x,y),再根据已知求出P，再求=4=，即证明AP=AB.
【详解】
如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).
∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P.
∴=4=,
∴||=||,即AP=AB.
【点睛】
（1）本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，考查向量垂直和平行的坐标表示，考查模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）向量，则.
12．(Ⅰ)-18；(Ⅱ).
【详解】
试题分析：
(Ⅰ)在中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得，由数量积的定义可得．(Ⅱ)根据所给的向量式可得点在的角平分线上，故可得，所以，因为，所以得到．设设，则得到，，根据数量积的定义及运算率可得所求．
试题解析：
（Ⅰ）在中，
由余弦定理得，
所以，
所以是等腰三角形，且，
所以,
所以
（Ⅱ）由,
得，
所以点在的角平分线上，
又因为点是边上的一点，
所以由角平分线性质定理得，
所以.
因为，
所以.
设，
则，．
由，得，
所以，
又，
所以
点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：
（1）在中，若或，则点是的外心；
（2）在中，若，则点是的重心；
（3）在中，若，则直线一定过的重心；
（4）在中，若，则点是的垂心；
（5）在中，若，则直线通过的内心.
13．（1）见解析；（2）0
【分析】
(1) 设=m=n,再根据向量的线性运算化简=,再求出=(1-n)+n,解方程组所以=m,即M是CD的中点.（2）先利用向量的数量积和向量的线性运算求得==-,再利用二次函数求出函数的最小值.
【详解】
(1)设=m=n,
由题意知)
=+m)=,
又+n+n()
=(1-n)+n,
∴
∴=m,即M是CD的中点.
(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中点,
∴MB=,∠ABM=45°,
∴=()·=-()·=--||2
=-||||cos(180°-∠ABH)-||2
=||||cos 45°-||2
=|-||2=-,
又0<||≤,∴当||=,即H与M重合时,取得最小值,且最小值为0.
【点睛】
(1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量，则平面的任意一个向量总可以表示成，其中是基底.
14．B
【分析】
由，可得，分析即得解
【详解】
由题意，
，又
为钝角
则的形状是钝角三角形
故选：B
15．C
【分析】
如图所示，，即得解.
【详解】
由题得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都为2.
故选：C
16．C
【分析】
根据的长度相等，由||=||得到ABCD是矩形判断.
【详解】
如图：
因为的长度相等，
所以||=||，
即||=||，
所以ABCD是矩形，
故ABC是直角三角形，且∠B=90°.
故选：C
17．B
【分析】
利用向量的减法可得，从而可得为斜边的中线，即可求解．
【详解】
解：，
，，
为斜边的中线，．
故选：B．
18．B
【分析】
先利用平面向量的线性运算法则，将用来表示，然后将所求式子表达成来表示，进而求出范围.
【详解】
如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得，
又
.
根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时有最小值为，此时，当点P位于正六边形的顶点时有最大值为2，此时，
所以，.
故选：B.
19．D
【分析】
直接用向量的数量积即可求得.
【详解】
力对物体所做的功为.
故选：D.
20．C
【分析】
由题设有，，，，即可得，分析使的最小时的位置关系，进而求的最小值.
【详解】
由题设，，，
∴，
∴，，
∴，要使的最小，即同向共线.
又，
∴.
故选：C
21．C
【分析】
由向量数量积的定义式可得，即可判断.
【详解】
∵，∴，
又∵为三角形内角，∴是钝角，即是钝角三角形.
故选：C.
22．D
【分析】
先根据M，N满足的条件，将化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将，左边用表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值.
【详解】
当M，N分别是边BC，DC的中点时，
有
所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，则
则，又x+y＝3，所以λ+μ＝1.
故NC+MC＝4，则
（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）.
故线段MN的最短长度为
故选：D.
23．C
【分析】
根据向量的线性运算，先得到，再由向量数量积的运算，化简整理，即可得出结果.
【详解】
由得，
则，
所以，则，
所以，则，
所以是以为斜边的直角三角形.
故选：C.
24．B
【分析】
可设两只胳膊的拉力分别为，，根据， 进行数量积的运算即可求出重力的值，进而可得出学生的体重的值．
【详解】
解：设两只胳膊的拉力分别为，，，，
，
，解得．
学生的体重约为．
故选：B．
25．A
【分析】
将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．
【详解】
解：若，则，取的中点，则，所以，所以点N是AB中线上的点，同理可得N也是AC、BC中线上的点，所以是的重心．
因为且，所以O到顶点，，的距离相等，所以为的外心．
由得，即，所以．
同理可证，所以为的垂心．
故选：A．
26．C
【分析】
根据题意，利用作为基底表示向量，进而根据向量相等求解即可.
【详解】
解：因为在中，为中点，，，
所以，
设，
所以，即
所以.
故选：C
27．B
【分析】
利用向量不等式式，即可得到答案；
【详解】
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
故选：B.
28．B
【分析】
设，，，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标表示整理出x，y的关系，结合圆的性质及几何意义可求解
【详解】
设，，，
以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为，，与的夹角为，
所以，，设，
因为，所以，即，
圆心坐标为，半径，
表示点C到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，
因为圆心到原点的距离为，所以.
故选：B.
29．C
【分析】
利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角
【详解】
解：当航线垂直于河岸时，航程最短，
如图，在中，，所以，
所以，所以，
故选：C
30．B
【分析】
根据已知条件得出，、分别为、的中点，建立平面直角坐标系将转化为坐标运算，利用几何意义即可求解.
【详解】
因为四边形为菱形，所以，
由，所以，
因为，所以，
因为，所以为的中点，
因为，所以为的中点，
如图以为原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，，
则，，
所以
表示点到定点距离的平方减去，
由图知当点与点重合时距离的平方减去最大，即最大，
所以最大为，
故选：B
31．B
【分析】
根据题意：，则有，进而移项进行两两组合，
，进一步可以化简为：，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.
【详解】
∵外接圆半径为1，∴，∴，
∴，
∴，设边，，的中点分别为M,N,P，
∴,同理：，如图1：
若点O不与M,N,P任何一点重合，则，同时成立，显然不合题意；
如图2：
不妨设点O与点M重合，由，根据中位线定理有由AB⊥AC，则，
∴.
故选：B.
【点睛】
类似这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.
32．ABD
【分析】
由条件可得，判断A，进而可得四边形是边长为2的菱形，可判断BC，然后利用向量的几何意义可判断D.
【详解】
因为，
所以，
所以，故A正确；
由，可得，
所以四边形为平行四边形，
又为外接圆的圆心，所以，
又，所以为正三角形，
因为外接圆的半径为2，
所以四边形是边长为2的菱形，
所以，所以，即，
所以，故B正确；
由以上分析可得，为钝角三角形，
故的外心不是垂心，故C错误；
由四边形是边长为2的菱形，可得，
所以在方向上的投影向量的长度为，故D正确．
故选：ABD．
33．BC
【分析】
利用平面向量的数量积运算可判断AB选项的正误；作，，，分析得出点的轨迹，求出的最大值，可判断C选项的正误；以、为邻边作平行四边形，考查取最大值时点的位置，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，故，A错；
对于B选项，，故，B对；
对于CD选项，作，，，
则，，，
所以，，故点的轨迹是以为直径的圆，如下图所示：
设线段的中点为点，则，，
所以，，C对，
以、为邻边作平行四边形，则，
则为向量与的夹角，
当与圆相切时（此时点与点重合），此时，取得最大值，
连接，则，则为锐角，即与的夹角是锐角，D错误.
故选：BC.
34．AC
【分析】
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由题设不等式恒成立，得出或，然后根据所在区域内点判断各选项．
【详解】
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，
则，，，
由得，，
对任意，恒成立，则，即或，
此时（当时取得），A正确；
若，则，，B错；
（时等号成立），C正确；
例如点坐标是时， ，，D错，
故选：AC．
35．ACD
【分析】
由，得到，即可判定A正确；当时，，可判定B不正确；由的面积为，结合基本不等式，可判定C正确；建立平面直角坐标系，得到，，结合，即可判定以D正确.
【详解】
对于A中，因为，，且，
可得，所以，其中，
所以，即，所以A正确；
对于B中，当时，，
可得与为共线向量，所以B不正确；
对于C中，在等腰直角中，，，且，，所以的面积为，
又由，可得，所以，
当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D中，如图所示，以A为原点，以分别为轴建立直角坐标系，
可得，
则，，可得，
因为别是，边的中点，所以，，
又因为，可得点在单位圆上，，
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ACD.
36．BC
【分析】
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出的坐标即可判断A；将用基底表示，再利由数量积运算计算可判断B；不妨设靠近点，，则，用表示两点坐标，计算 求最值，可判断C；设，，可得，利用向量相等，坐标相等可得与的关系，将表示为关于的函数，即可求最值判断D，进而可得正确选项.
【详解】
如图：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，
对于A：由重心坐标公式可得 所以，而，
所以，故选项A不正确；
对于B：设，则
，所以
，故选项B正确；
对于C：不妨设靠近点，，则，可得，
，
则，当时，
取得最小值为，故选项C正确；
对于D：设，由可得，
所以，设，所以，
，
由可得，所以，此时无最大值，故选项D不正确，
故选：BC.
37．
【分析】
设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解.
【详解】
设，，，，，，
则，，
整理得：，所以，
则，解得：，
所以，
故答案为：.
38．##
【分析】
根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案.
【详解】
设圆为三角形的外接圆，半径为，
由于，
所以，.
设，则，
在三角形中，由余弦定理得.
故答案为：.
39．大小为，方向与相同
【分析】
从点处进行受力分析，进而画出受力图，即可得出结果.
【详解】
解：如图，在点处进行受力分析，由已知条件有，
根据平衡条件有，，
则，方向水平向右.
则边上点处的受力情况是大小为，方向与相同.
故答案为：大小为，方向与相同.
40．60
【分析】
先求合力，然后根据公式即可求出合力对质点做的功.
【详解】
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
41．
【分析】
由题意将已知中的向量都用为起点来表示，从而得到，分别取的中点为，可得，利用平面知识可得S△AOB与S△AOC及S△BOC
与S△ABC的关系，可得所求.
【详解】
∵，
∴，
∴，分别取的中点为，
∴，
∴；
；
.
∴
故答案为：．
42．
【分析】
设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，根据力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解.
【详解】
设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，
由已知得，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有.
又，，，
所以绳的拉力为.
43．证明见解析
【分析】
利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.
【详解】
∵·＝·＝2－2，而，
∴·＝0，
∴⊥，即DE⊥AF.
44．
（1）的左侧.
（2），航行小时.
（3）
【分析】
（1）只需确定在反方向上的分速度与的大小，即可判断游船航行到达的位置.
（2）要使游船能到达处则在反方向上的分速度与相等，列方程即可求，进而求垂直方向上的分速度，即可知航行时间.
（3）根据题设，求出水平方向上的位移大小，结合勾股定理即可求实际航程.
（1）
由题设，在反方向上的分速度为，
∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧.
（2）
要使能到达处，则在反方向上的分速度为，
∴，故，又，此时，
∴垂直方向上的速度，
∴.
（3）
由（1）知：垂直方向航行时间为，
∴水平方向航行距离为，
∴游船航行到达北岸的实际航程.
45．
（1）见详解
（2）3
（3）
【分析】
（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用和表示， 结合，，三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.
（1）
证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.
（2）
因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.
（3）
设，，，，由（1）（2）可知，，即.
因，，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，
所以，
令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.
因此，
又因，所以，所以.
试卷第1页，共3页

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